【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列，共9页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共27小题；共135分）
1. 在等比数列 an 中，首项 a1=12，公比 q=12，an=132，则项数 n 为
A. 3B. 4C. 5D. 6

2. 若 b≠0，则“a，b，c 成等比数列”是“b=ac”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

3. 有下面四个结论，其中正确的为
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③若用图象表示数列，则其图象是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④

4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：“一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少?”现有类似问题：一座 5 层塔共挂了 363 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 3 倍，则塔的中间一层共有灯
A. 3 盏B. 9 盏C. 27 盏D. 81 盏

5. 在等比数列 an 中，若 a1+a4=18，a2+a3=12，则这个数列的公比为
A. 2B. 12C. 2 或 12D. −2 或 12

6. 在数列 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 中，x 等于
A. 11B. 12C. 13D. 14

7. 若数列 an 的前 4 项依次是 2，0，2，0，则这个数列的通项公式不可能是
A. an=1+−1n+1
B. an=1−csnπ
C. an=2sin2nπ2
D. an=1+−1n−1+n−1n−2

8. 已知等比数列 an 中，a4=27，公比 q=−3，则 a1=
A. 1B. −1C. 3D. −3

9. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a2+a4+a6=12，则 S7 的值为
A. 14B. 28C. 42D. 56

10. 设 an 是公差 d=−2 的等差数列，如果 a1+a4+a7+⋯+a97=50 ，那么 a3+a6+a9+⋯+a99=
A. −182B. −78C. −148D. −82

11. 已知等比数列 an 为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a2=2，S3=7，则 a5=
A. 16B. 32C. 8D. 14

12. 在 1 和 2 之间插入 10 个数，使它们与 1，2 组成等差数列，则该数列的公差为
A. 19B. 110C. 111D. 112

13. 在等差数列 an 中，若 a4=5，则数列 an 的前 7 项和 S7=
A. 15B. 20C. 35D. 45

14. 已知等差数列 an 的前 5 项和为 25，且 a1=1，则 a7=
A. 10B. 11C. 12D. 13

15. 已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，即此数列第一项是 20，接下来两项是 20，21，再接下来三项是 20，21，22，依此类推，⋯⋯，设 Sn 是此数列的前 n 项的和，则 S2017=
A. 264−26B. 263−26C. 264−25D. 263−25

16. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a2=4，a4=2，则 S5=
A. 0B. 10C. 15D. 30

17. 已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn，公差 d≠0，a1d≤1．记 b1=S2，bn+1=S2n+2−S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是
A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. a42=a2a8D. b42=b2b8

18. 定义：在数列 an 中，若 an2−an−12=p（n≥2，n∈N*，p 为常数），则称 an 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若 an 是“等方差数列”，则数列 1an 是等差数列；
② −2n 是“等方差数列”；
③若 an 是“等方差数列”，则数列 akn（k∈N*，k 为常数）也是“等方差数列”；
④若 an 既是“等方差数列”又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确命题的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

19. 《九章算术》的盈不足章第 19 个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里 ⋯”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是 3000 里．良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里．驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里 ⋯”试问前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为
A. 1235B. 1800C. 2600D. 3000

20. 已知等比数列 an 公比为 q，其前 n 项和为 Sn，若 S3，S9，S6 成等差数列，则 q3 等于
A. −12B. 1C. −12 或 1D. −1 或 12

21. 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，其中 n∈N+，则下列说法正确的是
A. 若 a3>a1>0，则 an>0
B. 若 a3>a1>0，则 Sn>0
C. 若 a3+a2+a1>a2+a1>0，则 an>0
D. 若 a3+a2+a1>a2+a1>0，则 Sn>0

22. 在等比数列 an 中，Sn 为其前 n 项和，且 S4=1，S8=3，则 a13+a14+a15+a16 的值是
A. 8B. 15C. 18D. 20

23. 在等差数列 an 中，a1=−2022，其前 n 项和为 Sn，若 S20222022−S1010=2012，则 S2024=
A. 2021B. −2022C. 2024D. −2023

24. 数列 an 满足 2an=an−1+an+1（n≥2，且 n∈N+），Sn 是数列 an 的前 n 项和，a2，a2019 是函数 fx=x2−6x+5 的两个零点，则 S2020 的值为
A. 6B. 12C. 2020D. 6060

25. 在等差数列 an 和 bn 中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，则数列 an+bn 的前 100 项的和为
A. 10000B. 8000C. 9000D. 11000

26. 已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和，a1=−2，an+1=Sn，那么 a5=
A. −4B. −8C. −16D. −32

27. 有两个等差数列 2，6，10，⋯，190 和 2，8，14，⋯，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为
A. 15B. 16C. 17D. 18

二、选择题（共3小题；共15分）
28. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是
A. 此人第三天走了四十八里路
B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C. 此人第二天走的路程占全程的 14
D. 此人前三天走的路程是后三天走的路程的 8 倍

29. 已知数列 0，2，0，2，0，2，⋯，则前六项适合的通项公式为
A. an=1+−1n
B. an=2csnπ2
C. an=2sinn+1π2
D. an=1−csn−1π+n−1n−2

30. 在数列 an 中，若 an2−an−12=p（n≥2，n∈N*，p 为常数），则称 an 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是
A. 若 an 是等差数列，则 an2 是等方差数列
B. −1n 是等方差数列
C. 若 an 是等方差数列，则 akn（k∈N*，k 为常数）也是等方差数列
D. 若 an 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】b≠0，则“a，b，c 成等比数列”⇔b=±ac．
因此 b≠0，则“a，b，c 成等比数列”是“b=ac”的必要不充分条件．
3. B【解析】①数列的通项公式不一定唯一，故错误；易知②，③正确；④数列不一定有通项公式，故错误．
4. C【解析】根据题意，设塔的底层共有 x 盏灯，则每层灯的数目构成以 x 为首项，13 为公比的等比数列，
则有 S=x×1−1351−13=363，
解可得：x=243，
所以中间一层共有灯 243×132=27 盏．
5. C
【解析】设等比数列 an 的公比为 q，
因为 a1+a4=18，a2+a3=12，
所以 a11+q3=18，a1q+q2=12，q≠−1．
化为：2q2−5q+2=0．
联立解得 q=2或12．
6. C【解析】观察可知，该数列从第 3 项开始，每一项都等于它前面与它相邻两项的和，故 x=5+8=13．
7. D【解析】将数列 an 的前 4 项代入选项中检验，可得D不符合，故选D．
8. B【解析】因为数列 an 是等比数列，
所以 a4=a1q3=27，
又 q=−3，
所以 a1=−1．
9. B【解析】因为 a2+a4+a6=12，
所以 3a4=12，即 a4=4，
所以 S7=a1+a7×72=7a4=28．
10. D
【解析】a3+a6+a9+⋯+a99=a1+2d+a4+2d+a7+2d+⋯+a97+2d=a1+a4+⋯+a97+2d×33=50+2×−2×33=−82.
11. A【解析】设等比数列 an 的首项为 a1，公比为 q．
因为等比数列 an 为单调递增数列，a2=2，
所以 q>1，
又 S3=7，
所以 a2=a1q=2,S3=a11−q31−q=7,q>1,
所以 a1=1,q=2,
所以 a5=a1q4=1×24=16．
12. C【解析】设该等差数列为 an，其公差为 d．
由题意可知 a1=1，a12=2，
所以公差 d=a12−a112−1=111．
13. C【解析】因为数列 an 是等差数列，故可得 S7=7a4=35．
14. D【解析】因为 a1+a2+a3+a4+a5=5a3=25，
所以 a3=5，则公差 d=5−12=2，
故 a7=a3+4d=13．
故选：D．
15. A
16. C【解析】由等差数列性质可知：a1+a5=a2+a4=4+2=6，
所以 S5=5a1+a52=5×62=15．
17. D【解析】对于A，因为数列 an 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，
由 4+4=2+6 可得，2a4=a2+a6，A正确；
对于B，由题意可知，bn+1=S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2，b1=S2=a1+a2，
所以 b2=a3+a4，b4=a7+a8，b6=a11+a12，b8=a15+a16．
所以 2b4=2a7+a8，b2+b6=a3+a4+a11+a12．
根据等差数列的下标和性质，由 3+11=7+7，4+12=8+8 可得 b2+b6=a3+a4+a11+a12=2a7+a8=2b4，B正确；
对于C，a42−a2a8=a1+3d2−a1+da1+7d=2d2−2a1d=2dd−a1，
当 a1=d 时，a42=a2a8，C正确；
对于D，b42=a7+a82=2a1+13d2=4a12+52a1d+169d2，b2b8=a3+a4a15+a16=2a1+5d2a1+29d=4a12+68a1d+145d2，
b42−b2b8=24d2−16a1d=8d3d−2a1．
当 d>0 时，a1≤d，所以 3d−2a1=d+2d−a1>0 即 b42−b2b8>0；
当 d<0 时，a1≥d，所以 3d−2a1=d+2d−a1<0 即 b42−b2b8>0，
所以 b42−b2b8>0，D不正确．
18. B
19. A【解析】因为长安和齐的距离是 3000 里．良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里．
驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里，
所以前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=4×193+4×32×13+4×97+4×32×−12=1235．
20. A
21. D【解析】对于A，若 an=−2n−1，满足 a3>a1>0，但 an>0 不一定成立，故A错误．
对于B，若 an=−2n−1，满足 a3>a1>0，但 S2=−20+−21=−1，不满足 Sn>0，故B错误．
对于C，若 an=−12n−1，满足 a3+a2+a1>a2+a1>0，但 an>0 不一定成立，故C错误．
对于D，设等比数列 an 的公比为 q，因为 a3+a2+a1>a2+a1，所以 a3>0，
即 a1q2>0⇒a1>0．
又 a2+a1>0⇒a2>−a1⇒q>−1．
则当 0<∣q∣<1 时，Sn=a11−qn1−q>0，
当 q=1 时，Sn=na1>0，
当 q>1 时，Sn=a11−qn1−q=a1qn−1q−1>0．
综上有 Sn>0．故D正确．
22. A【解析】因为 S4，S8−S4，S12−S8，S16−S12 成等比数列，且 S4=1，S8−S4=2，
所以 S12−S8=4，S16−S12=8，即 a13+a14+a15+a16=8．
23. C【解析】设等差数列 an 的公差为 d，则 Sn=na1+nn−12d，
所以 Snn=a1+n−1d2，
所以数列 Snn 是首项为 −2022，公差为 d2 的等差数列．
因为 S20222022−S1010=2012，
所以 2022−10d2=2012，
所以 d2=1，
所以 S2024=na1+nn−1d2=na1+d2n−1=2024×−2022+2024−1×1=2024．
24. D【解析】因为数列 an 满足 2an=an−1+an+1（n≥2，且 n∈N+），
所以数列 an 为等差数列．
又因为 a2，a2019 是函数 fx=x2−6x+5 的两个零点，
所以 a2，a2019 是方程 x2−6x+5=0 的两个实数根，
所以 a2+a2019=6，
所以
S2020=a1+a2020×20202=a2+a2019×20202=6060.
25. A
【解析】因为 an，bn 均为等差数列，
所以 an+bn 为等差数列，故其前 100 项的和为 100a1+b1+a100+b1002=50×25+75+100=10000．
26. C【解析】当 n≥2 时，an+1=Sn，an=Sn−1，
因此 an+1−an=Sn−Sn−1=an，
整理得 an+1=2an．
当 n=1 时，a2=a1=−2，不满足 a2=2a1．
故数列 an 从第二项起各项构成等比数列，公比为 2，a2=−2．
那么 a5=−2×23=−16．
27. B【解析】易知等差数列 2，6，10，⋯，190 的公差为 4,
等差数列 2，8，14，⋯，200 的公差为 6，
设将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成的新数列为 an，
则其公差为 12，首项为 2，
所以其通项公式为 an=12n−10，n∈N+，
令 12n−10≤190，解得 n≤503，
又 n∈N+，
所以 n 的最大值为 16，
即新数列的项数为 16．
第二部分
28. A， B， D
【解析】根据题意知，此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第 n 天走 an 里路，则 an 是首项为 a1，公比为 q=12 的等比数列．
所以 S6=a11−q61−q=a11−1261−12=378，
解得 a1=192．
所以 a3=a1q2=192×14=48，
所以A正确．
由 a1=192，S6=378，得 a2+a3+a4+a5+a6=S6−a1=378−192=186，
又 192−186=6，
所以B正确．
因为 a2=a1q=192×12=96，14S6=94.5，
所以 a2>14S6，
所以C不正确．
因为 a1+a2+a3=a11+q+q2=192×1+12+14=336，
所以后 3 天走的路程为 378−336=42，而且 42×8=336，
所以D正确．
29. A， C
【解析】对于选项A，an=1+−1n 取前六项得：0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选项B，an=2csnπ2 取前六项得：0，−2，0，2，0，−2，不满足条件；对于选项C，an=2sinn+1π2 取前六项得：0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选项D an=1−csn−1π+n−1n−2 取前六项得：0，2，2，8，12，22，不满足条件．
30. B， C， D
【解析】在选项A中，取 an=n，则 an 是等差数列，且 an2=n2，则 an+12−an2=n+12−n2=2n+1，不是常数，
所以 an2 不是等方差数列，
所以A错误．
在选项B中，an2−an+12=−1n2−−1n−12=1−1=0，是常数，
所以 −1n 是等方差数列，
所以B正确．
在选项C中，由 an 是等方差数列，得 an2−an+12=p，从而 an2=an−12+n−1p．
所以 akn+12−akn2=a12+kn+k−1p−a12kn−1p=kp，是常数，
所以 akn 是等方差数列，
所以C正确．
在选项D中，由 an 是等差数列，可设公差为 d，则 an−an−1=d，
又 an 是等方差数列，
所以 an2−an−12=p．
所以 an2−an−12=an+an−1an−an−1=an+an−1d=p，
从而 an+1+and=p．
两式相减得，d+dd=0，解得 d=0，
所以 an 是常数列，
所以D正确．