【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列的周期性

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列的周期性，共6页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30小题；共150分）
1. 已知数列 an 中，a1=1，a2=2，且 an⋅an+2=an+1n∈N*，则 a2020 的值为
A. 2B. 1C. 12D. 14

2. 若数列 an 中，a1=3，an+an−1=4n≥2，则 a2021 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

3. 若 a=i+i2+⋯+i2013（i 是虚数单位），则 a1+a21−a 的值为
A. iB. 1−iC. −1+iD. −1−i

4. 已知数列 an 中，a1=1，an+1=an2−1，则 a2017=
A. −1B. 1C. 2D. 0

5. n 个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从 2011 到 2013 箭头方向依次是
A. ↓→B. →↑C. ↑→D. →↓

6. 如图，圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从 5 这点跳起，经 2008 次跳后它将停在的点是
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 若数列 an 满足 a1=1，a2=3，anan−2=an−1n≥3，记数列 an 的前 n 项积为 Tn，则下列说法错误的是
A. Tn 无最大值B. an 有最大值C. T2020=9D. a2020=1

8. 已知数列 an 满足 an+1=an−an−1n≥2,n∈N*，a1=1，a2=2，Sn 为数列 an 的前 n 项和，则 S2020 等于
A. 3B. 2C. 1D. 0

9. 在数列 an 中，a1=−2，an+1=1−1an，则 a2019 的值为
A. −2B. 13C. 12D. 32

10. 若数列 an 满足 an+1=1−1an，且 a1=2，则 a2012 等于
A. −1B. 2C. 2D. 12

11. 已知数列 5，6，1，−5，⋯，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和 S16 等于
A. 5B. 6C. 7D. 16

12. 若数列 an 满足 a1=2，a2=3，an=an−1an−2（n≥3 且 n∈N*），则 a2018 等于
A. 3B. 2C. 12D. 23

13. 已知 f1x=csx，f2x=f1ʹx，f3x=fʹ2x，⋯，fnx=fʹn−1x，则 f2015x 为
A. sinxB. −sinxC. csxD. −csx

14. 已知数列 an 满足 an+1=2an,0≤an<12,2an−1,12≤an<1, 若 a1=67 ，则 a2011=
A. 67B. 57C. 37D. 17

15. 在数列 an 中，a1=1，a2=5，an+2=an+1−an n∈N* ，则 a100=
A. 1B. −1C. 2D. 0

16. 已知数列 an 满足 an+1=1+an1−ann∈N*，a2017=2，则 a1 等于
A. −12B. 2C. 13D. −3

17. 已知数列 an 满足 an+1=12+an−an2，且 a1=12，则该数列的前 2016 项的和等于
A. 1509B. 3018C. 1512D. 2016

18. 若数列 an 满足 an+1=2an，(0≤an<12)，2an−1，(12≤an<1)， 若 a1=67 ，则 a20 的值为
A. 67B. 57C. 37D. 17

19. 对于函数 y=fx，部分 x 与 y 的对应值如下表：
x123456789y745813526
数列 xn 满足 x1=2，且对任意 n∈N+，点 xn,xn+1 都在函数 y=fx 的图象上，则 x1+x2+x3+x4+⋯+x2012+x2013 的值为
A. 9394B. 9380C. 9396D. 9400

20. 已知数列 an 中，a1=b，b>0，an+1=−1an+1,n∈N*，能使 an=b 的 n 可以等于
A. 14B. 15C. 16D. 17

21. 一个机器猫每秒钟前进或后退 1 步，程序设计人员让机器猫以每前进 3 步后再后退 2 步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以 1 步的距离为 1 个单位长，令 Pn 表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且 P0=0 ，那么下列结论中错误的是
A. P3=3B. P5=1
C. P101=21D. P103
22. 设数列 an 满足：a2=3，an+1=1+an1−ann≥1，则 a2011=
A. 12B. 3C. −2D. −13

23. 已知数列 xn 满足 xn+1=xn−xn−1n≥2,n∈N，如果 x1=x2=1，该数列前 2008 项的和是
A. 670B. 671C. 1338D. 1339

24. 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第 36 颗珠子的颜色是
A. 白色B. 黑色
C. 白色的可能性大D. 黑色的可能性大

25. 知 a1=3，a2=6，且 an+2=an+1−an，则 a33 为
A. 3B. −3C. 6D. −6

26. 数列 an 满足 an+1=2an,0≤an<12,2an−1,12≤an<1, 若 a1=35，则数列的第 2007 项为
A. 15B. 25C. 35D. 45

27. 给定数列 xn，x1=1，且 xn+1=3xn+13−xn，则 x1+x2+⋯+x2011=
A. 1B. −1C. 2+3D. −2+3

28. 数列 an 的通项 an=n2cs2nπ3−sin2nπ3，其前 n 项和为 Sn，则 S30 为
A. 470B. 490C. 495D. 510

29. n 个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从 2010 到 2012，箭头的方向依次为
A. ↓→B. →↑C. ↑→D. →↓

30. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，⋯，则 a10+b10=
A. 28B. 76C. 123D. 199
答案
第一部分
1. B【解析】因为 an⋅an+2=an+1n∈N*，
由 a1=1，a2=2，得 a3=2，
由 a2=2，a3=2，得 a4=1，
由 a3=2，a4=1，得 a5=12，
由 a4=1，a5=12，得 a6=12，
由 a5=12，a6=12，得 a7=1，
由 a6=12，a7=1，得 a8=2，
由此推理可得数列 an 是周期为 6 的数列，
所以 a2020=a4=1．
2. C【解析】因为 a1=3，an+an−1=4n≥2，所以 an+1+an=4，所以 an+1=an−1，
所以 an=an+2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又 a1=3，所以 a2021=3．
3. D
4. A
5. D
6. A【解析】记 an 表示青蛙第 n 次跳后所在的点数，则 a1=1,a2=2,a3=4,a4=1,a5=2,a6=4,⋯, 显然 an 是一个周期为 3 的数列，故 a2008=a1=1．
7. A【解析】因为 a1=1，a2=3，anan−2=an−1n≥3，
所以 a3=3，a4=1，a5=13，a6=13，a7=1，a8=3，⋯
因此数列 an 为周期数列，an+6=an，an 有最大值 3，a2020=a4=1，
因为 T1=1，T2=3，T3=9，T4=9，T5=3，T6=1，T7=1，T8=3，⋯，
所以 Tn 为周期数列，Tn+6=Tn，Tn 有最大值 9，T2020=T4=9．
8. A
9. B【解析】由 an+1=1−1an，
得 an+2=1−1an+1=1−11−1an=11−an，
所以 an+3=1−1an+2=1−111−an=an．
所以数列 an 是以 3 为周期的周期数列，
所以 a2019=a3=11−a1=13 .
故选B．
10. D
【解析】因为 an+1=1−1an，a1=2，
所以 a2=1−12=12，a3=1−2=−1，a4=1−1−1=2．
由此可见，数列 an 的项是以 3 为周期重复出现的，
所以 a2012=a670×3+2=a2=12
11. C
12. A【解析】由已知 a3=a2a1=32，a4=a3a2=12，a5=a4a3=13，a6=a5a4=23，a7=a6a5=2，a8=a7a6=3，所以数列 an 具有周期性，T=6，所以 a2018=a336×6+2=a2=3．
13. D
14. A
15. B
【解析】因为在数列 an 中，a1=1，a2=5，an+2=an+1−an n∈N*，
所以 a3=a2−a1=4，同理可得 a4=−1，a5=−5，a6=−4，a7=1，a8=5，⋅⋅⋅，可得 an+6=an．则 a100=a16×6+4=a4=−1 .
16. B【解析】设数列 an 的首项为 a，则 a2=1+a1−a，a3=−1a，a4=a−1a+1，a5=a，所以数列 an 是周期为 4 的周期数列，所以 a2017=a1=2．
17. C【解析】因为 a1=12，an+1=12+an−an2，
所以 a2=1，
从而 a3=12，a4=1，⋯⋯，
可得 an=12,n=2k−1k∈N*1,n=2kk∈N*，
故数列的前 2016 项的和 S2016=1008×1+12=1512．
18. B
19. A【解析】因为 x1=2，由题意知 xn+1=fxn，
所以 x2=fx1=f2=4，x3=fx2=f4=8，x4=fx3=f8=2，x5=fx4=f2=4，
所以数列 xn 是周期为 3 的周期数列，
所以 x1+x2+x3+x4+⋯+x2012+x2013=671x1+x2+x3=671×2+4+8=671×14=9394．
20. C
21. D【解析】易知A、B正确，又机器猫每 5 秒钟实际向前进一步，故 P101=P5×20+1=21,P103=P20×5+3=23,P104=P20×5+3+1=23−1=22．
22. C【解析】利用递推公式求出前五项为 a1=12，a2=3，a3=−2，a4=−13，a5=12．
观察后发现该数列是以 4 为周期的周期数列，所以 a2011=−2．
23. D
24. A【解析】由题图知，这串珠子的排列规律是：每 5 个一组（前 3 个是白色珠子，后 2 个是黑色珠子）循环排列，
而 36=5×7+1，即第 36 颗珠子正好是第 8 组中的第 1 颗珠子，
其颜色与第 1 组的第 1 颗珠子的颜色相同，
故它的颜色一定是白色．
25. A
【解析】由题意知 a3=3，a4=−3，a5=−6，a6=−3，a7=3，a8=6，⋯，
故 an 是以 6 为周期的数列，故 a33=a3=3．
26. B【解析】由于 a1=35，a2=15，a3=25，a4=45，a5=35,⋯，数列 an 的项呈周期性变化，所以 a2007=a501×4+3=a3=25．
27. A【解析】x1=1，x2=2+3，x3=−2−3，x4=−1，x5=−2+3，x6=2−3，x7=1=x1，所以
x1+x2+⋯+x2011=335×x1+x2+x3+x4+x5+x6+x1=1.
28. A【解析】注意到 an=n2cs2nπ3，且函数 y=cs2πx3 的最小正周期是 3，因此当 n 是正整数时，an+an+1+an+2=−12n2−12n+12+n+22=3n+72，其中 n=1,4,7,⋯，
S30=a1+a2+a3+a4+a5+a6+⋯+a28+a29+a30=3×1+72+3×4+72+⋯+3×28+72=3×10×1+282+72×10=470.
29. C【解析】观察可知，位置相同的数字都构成以 4 为公差的等差数列，
由下图及 2010=4×502+2，2011=4×502+3，2012=4×503+0，
可知 2010 在 2 的位置处，2011 在 3 的位置处，2012 在 4 的位置处，
故从 2010 到 2012 , 箭头的方向依次为↑→．
30. C
【解析】a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，⋯，
通过观察发现，从第 3 项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，
因此，a6+b6=11+7=18，a7+b7=18+11=29，a8+b8=29+18=47，a9+b9=47+29=76，a10+b10=76+47=123．