专题05 函数与单调性（最值） 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题05 函数与单调性（最值） 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共46页。
专题05 函数与单调性（最值）

目录
常考点01 与函数相关的基本概念 1
常考点02 分段函数及其应用 5
常考点03 函数的单调性判定 7
常考点04 求函数的单调区间 10
常考点05 利用单调性确定参数取值范围 12
常考点06 利用函数的单调性解决不等式问题 15
常考点07 函数的单调性与最值问题 18
常考点08 抽象函数的单调性问题 22
易错点01 求函数单调区间忽略定义域 26
易错点02 研究分段函数的单调性考虑不全面 27
易错点03 根据抽象函数单调性求参数范围忽略定义域 27
易错点04 混淆“定义域为R”与“值域为R” 28
专项训练 （全卷共22题） 30
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写

常考点01 与函数相关的基本概念
【典例1】
1．（2020·北京高考真题）函数的定义域是____________．
【答案】
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
【典例2】
2．（多选题）（2021·山东省高三月考）已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
【答案】BC
【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，
求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，故A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，故选：BC.
【技巧点拨】
1）函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
2）已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
3）抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
4）函数值域的常见求法：
(1)配方法：是求“二次函数型函数”值域的基本方法．
(2)数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．
(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）
(4)利用函数的单调性
(5)导数法：利用导函数求出最值，从而确定值域．
【变式演练1】
1．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三模拟）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，解得，即可知选项A正确.
【详解】由抽象函数的定义域可知，，解得，
所以所求函数的定义域为.故选A.
【变式演练2】
2．（2019·上海高考真题）下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.
【解析】选项：值域为，错误 选项：值域为，正确
选项：值域为，错误 选项：值域为，错误，本题正确选项：
【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.
【变式演练3】
3．（2021·北京人大附中高三其他模拟）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
【答案】B
【分析】设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．
【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，
对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A错误；
对B、C选项：①当，，则，；
②当，，则，＝0；
③当或，则，，
所以选项B正确，选项C、D错误，故选：B.
【点睛】本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.

常考点02 分段函数及其应用
【典例1】
1．（2021·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，故答案为：2.
【典例2】
2．（2021·山东高三其他模拟）已知函数 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案.
【详解】由题意可知，.故选：C．
【技巧点拨】
1）.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2）.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.
【变式演练1】
1．（2021·辽宁高三模拟）如图所示的程序框图的功能是求函数的函数值，若，则不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据流程图写出函数的解析式，因为是分段函数，需要对自变量进行讨论，然后比较与的大小，从而解出x的取值范围.
【详解】由题中的程序框图可得
①当时，，不满足，舍去；
②当时，，不满足，舍去；
③当时，，可得，
所以不等式的解集为.故选：A.
【点睛】求得分段函数解析式，对自变量分类讨论，解不等式，求得解集.
【变式演练2】
2．（2021·福建高三三模）已知函数，若，则______.
【答案】4
【分析】根据题意，由函数的解析式分与两种情况讨论，求出的值，即可得答案.
【详解】根据题意，函数，当时，，无解；
当时，，解可得，符合题意，故，故答案为：4.
【变式演练3】
3．（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数，(a>0，a≠1)，若，则m=_______，_________.
【答案】1 2
【分析】根据函数解析式，由，求得m；由，则，求得.
【详解】，解得，
由，则，得，故答案为：1；2.

常考点03 函数的单调性判定
【典例1】
1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
【典例2】
2．（2021·湖南高三模拟）下列函数在其定义域上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的知识可选出答案.
【详解】在上单调递减，在上单调递增，故A不满足
在上单调递增，故B满足 在上单调递减，故C不满足
在定义域内不单调，故D不满足；故选：B
【技巧点拨】
掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法
（1）定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．
（2）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．
（3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.
（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
【变式演练1】
1．（2021·上海高三二模）设函数的定义域为.若对于内的任意，，都有，则称函数为“Z函数”.有下列函数：①；②；③；④.其中“Z函数”的序号是___________(写出所有的正确序号)
【答案】③④
【分析】新定义说是增函数的意思，判断各函数的是否为增函数可得．
【详解】当时，，由，得，，所以在定义域内是增函数，
①是常数函数，②是减函数，③是增函数，④是增函数，故答案为：③④
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，新定义“Z函数”即为增函数，因此只要判断函数的单调性即可得．
【变式演练2】
2．（2021·吉林松原市实验高级中学高三月考）写出一个符合“对，当时，”的函数_______________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可知，满足条件的函数是定义域为的减函数，即可写出．
【详解】设，，则，由单调性的定义可知，函数是定义域为的减函数，所以函数满足题意．故答案为：．
【变式演练3】
3．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是　　
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项：对于、、举出反例，可得其错误，对于，由单调性的定义分析可得正确，即可得答案．
【详解】解：根据题意，在上为增函数，依次分析选项：
对于，若，则，在上不是减函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，函数在上为增函数，则对于任意的、，设，必有，
对于，则有，
则在上为减函数，正确；故选：D.
【点睛】本题考查函数单调性的定义以及应用，属于基础题．

常考点04 求函数的单调区间
【典例1】
1．（2021·上海中学高三一模）函数的单调递增区间为___________．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性,结合复合函数的单调性的判断可得出选项.
【详解】因为，所以所以函数的定义域为，
设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．
【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.
【典例2】
2．（2021·广东省高三期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，在内解出即为答案.
【详解】因的定义域为，
又；由，且，解得，
从而得函数的递减区间是.故选:.
【技巧点拨】
确定函数的单调区间常见方法：
1）利用基本初等函数的单调区间
2）图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
4）导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.
【变式演练1】
1．（2021·吉林高三二模）下列区间中，函数在其上为增函数的是
A．（－ B． C． D．
【答案】D
【详解】，只有是增函数，
因此的增区间为，故选D．
考点：函数的单调性．
【变式演练2】
2．（2021·黑龙江佳木斯市·高三月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间.
【详解】由得，,所以函数的定义域为
令，则是单调递减函数
又，在上单调递增，在上单调递减
由复合函数的单调性可得函数的单调递减区间为.故选：A.
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.
【变式演练3】
3．（2021·江苏省高三月考）函数的单调减区间为_________________
【答案】和
【分析】根据绝对值的意义原函数转化为分段函数，利用二次函数图象与性质求解.
【详解】因为，
所以当时，二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减，
当时，二次函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递减.
故答案为：和
常考点05 利用单调性确定参数取值范围
【典例1】
1．（2021·济南市·山东师范大学附中高三模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.
【详解】因函数在R上单调递增，
则有在上递增，在上也递增，
根据增函数图象特征知，点不能在点上方，
于是得 ，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A
【典例2】
2．（2021·定远县育才学校高三模拟）设函数的定义域为，满足.当时，.若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知关系式可得，由此可确定和时的函数解析式，根据在区间内的函数最小值可知当时，存在，确定此时的值，由此可得范围.
【详解】由得：；
当时，，，
此时；
当时，，，
此时，令，解得：或，
则当时，恒成立，的取值范围为.故选：B.
【点睛】本题解题关键是能够根据推导得到在各个区间内的解析式，由此确定临界值点.
【技巧点拨】
1.利用单调性求参数的范围(或值)的方法
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
（2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
（3）注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式（）、x2－x1与f(x2)－f(x1)关系式.
2.利用分离参数法；
3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【变式演练1】
1．（2021·四川省遂宁市高三模拟）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数在上单调递减，则由在上单减，且恒成立求解.
【详解】因为函数在上单调递减，所以 ，
解得，所以a的取值范围是，故选：A
【变式演练2】
2．（2021·上海市建平中学高三三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.
【详解】在上单调递增，
在单调递减，则，即，
同时 需满足，即，解得，
综上可知故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.
【变式演练3】
3．（2021·江苏高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.
【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.

常考点06 利用函数的单调性解决不等式问题
【典例1】
1.（2021·江西高三其他模拟）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在R上单调递增可求解.
【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，
故不等式的解集为.故选：A．
【典例2】
2．（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件判定f(x)为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f(x)0时，00，∴0