专题04 复数 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题04 复数 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共31页。

目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc75979892" 常考点01 复数的相关概念 PAGEREF _Tc75979892 \h 1
\l "_Tc75979893" 常考点02 复数的几何意义 PAGEREF _Tc75979893 \h 3
\l "_Tc75979894" 常考点03 复数的运算 PAGEREF _Tc75979894 \h 6
\l "_Tc75979895" 常考点04 复数的三角形式 PAGEREF _Tc75979895 \h 8
\l "_Tc75979896" 常考点05 复数的最值 PAGEREF _Tc75979896 \h 12
\l "_Tc75979897" 易错点01 对复数的相关概念混淆不清 PAGEREF _Tc75979897 \h 14
\l "_Tc75979898" 易错点02 方程有解的条件判断出错 PAGEREF _Tc75979898 \h 15
\l "_Tc75979899" 易错点03 忽略虚数不能比较大小 PAGEREF _Tc75979899 \h 16
\l "_Tc75979900" 易错点04 复数相等的条件应用出错 PAGEREF _Tc75979900 \h 17
\l "_Tc75979901" 易错点05 复数的“模”与“绝对值”混淆出错 PAGEREF _Tc75979901 \h 17
\l "_Tc75979902" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc75979902 \h 19
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 复数的相关概念
【典例1】
1．（2020·江苏高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
【答案】3
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为：3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
【典例2】
2. （2021.八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【分析】取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误.故选：BC
【技巧点拨】
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
【变式演练1】
1．（2021·福建高三模拟）已知复数，为z的共轭复数，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数，得到，进而得到，根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】由题意，复数，可得，则.故选：B.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
【变式演练2】
2．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）设是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则B．若的实部为，则为纯虚数
C．若，则是实数D．若，则是纯虚数
【答案】C
【分析】利用复数的乘法可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；设，利用复数的减法可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若为纯虚数，可设，则，A选项错误；
对于B选项，取，则为实数，B选项错误；
对于C选项，设，则，则，，C选项正确；
对于D选项，取，则，但，D选项错误.故选：C.
【变式演练3】
3．（2021·浙江高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.
常考点02 复数的几何意义
【典例1】
1. （2021.全国新高考2卷）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，故选：A
【典例2】
2．（2020年新课标Ⅱ高考数学（理科））设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，

.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
【技巧点拨】
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
4.提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
【变式演练1】
1.（2019·全国高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】则．故选C．
【变式演练2】
2.（2020·山西省高三模拟）设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，∵，∴，
即，化简得．
【变式演练3】
3.（2020·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，.故选：B.
常考点03 复数的运算
【典例1】
1. （2021·全国高考真题（理））已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，.故选：B.
【典例2】
2．（2020·海南高考真题）=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接计算出答案即可.
【详解】故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
【技巧点拨】
复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
【变式演练1】
1．（2020·天津高考真题）是虚数单位，复数_________．
【答案】
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】.故答案为：.
【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.
【变式演练2】
2. （2021·全国新高考2卷真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.故选：D.
【变式演练3】
3．（2021·全国高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.故选：C.
常考点04 复数的三角形式
【典例1】
1．（2021·广东省高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4； （2）2
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）复数4为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；（2）先把复数，转化为三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；
【详解】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝.
.
（2），
复数的模为2，辐角的主值为θ＝，
.
【典例2】
2．（2021·重庆一中高三模拟）在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cs(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.
【答案】
【分析】当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.
【详解】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.
因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.故答案为：.
【点睛】本题的关键点是：由“的面积等于的面积”得到“向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积”.
【技巧点拨】
1.复数的三角形式z＝r（cs θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.
2.复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.（2）决定辐角所在的象限.（3）根据象限求出辐角.（4）求出复数的三角形式.
3.三角形式运算：
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
拓展：(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z1·z2…zn＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)…rn(cs θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．
【变式演练1】
1．（2021·福建省福州第一中学高三模拟）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.
【详解】解：根据复数乘方公式：，得
.故选：D.
【变式演练2】
2．（2021·聊城市·山东聊城一中高三其他模拟）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据可判断ABD，根据复数的乘法运算可判断C.
【详解】因为所以，故A正确
，，故B正确
，故C错误
，故D正确故选：ABD
【变式演练3】
3．（2021·陕西榆林市（理））在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）
A．B．4C．D．16
【答案】D
【分析】根据复数乘方公式：，直接求解即可.
【详解】， .故选：D
【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
常考点05 复数的最值
【典例1】
1．（2021·黄梅国际育才高级中学）已知复数满足，则的最大、最小值为 。
【答案】6，4
【解析】因的几何意义是以原点为圆心,为半径的圆,而的几何意义是圆上的动点与复平面上的定点的距离.所以的最大值是,最小值是
【典例2】
2．（2021·辽宁大连）如果复数满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设，由，则，即，
即复数在复平面内的点是以为圆心，以为半径的圆，如图：
，即、两点间的距离，
圆心到点的距离，所以到点的距离的最小值为.
故答案为：
【技巧点拨】
处理复数的最值(范围)问题一般有两种方法：（1）将复数与几何图形结合，再利用向量的加减运算加以解决。（2）将复数转化为坐标，利用向量的坐标运算，转化为函数的最值问题解决。
【变式演练1】
1．（2021·河北唐山市·唐山一中高三模拟）已知复数满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】设，由可得圆的方程，再由的几何意义即原点到圆上的最短距离，即可得解.
【详解】设，，
由可得，故对应点的轨迹为圆心,半径为的圆C，
表示原点到圆C上的最短距离，而原点在圆内，由原点到圆心的距离，
所以原点到圆C上的最短距离为，故答案为：.
【变式演练2】
2．（2021·枣庄市第三中学）已知复数满足，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】表示对应的点是单位圆上的点.的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，所以最小距离为，最大距离为.所以的取值范围为.故答案为：
【变式演练3】
3．（2020·江苏高三月考）对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标和半径，用表示点到1对应的点的距离，由这点到圆心的距离加减半径可得．
【详解】满足的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是，半径为2，
表示点到1对应的点的距离，又，∴，故选：A．
【点睛】本题考查复数的几何意义，考查圆上的点到定点距离的最值问题，解题方法是把圆上的点到定点的距离转化为求定点到圆心距离．
易错点01 对复数的相关概念混淆不清
【例1】 以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则；（3）若且，则;（4），则．其中正确的有 个．
【错解】4个
【错因】（1）当得到时就认为是纯虚数，忽略了b可以为0的条件．（2）认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中．（3）认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中．（4）把实数等式性质错误的推广到复数中．
【正解】（1）错，设互为共轭复数的两个复数分别为及（），则或，当时，是纯虚数，当时，；
（2）错，反例设则；（3）错，反例设满足但不能比较大小；（4）错，设，，，则，但它们并不相等．故答案是0个．
【例2】复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【错解】因为,故选B.
【错因】虚部是,不是.
【正解】A
【点睛】复数的虚部是,不是.
【例3】【2016新课标理】设其中,实数,则( )
（A）1 （B） （C） （D）2
【错解】因为所以，，故选D.
【答案】不理解复数的模的公式
【正解】因为所以故选B.
【例4】若复数是纯虚数,则实数（ ）
A. B. C. D.
【错解】由复数是纯虚数,得,解得：,故选A．
【错因】忽略.
【正解】B
【点睛】复数为纯虚数的充要条件是.
易错点02 方程有解的条件判断出错
【例1】已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.
【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：,解得：或.
【错因】注意题中所给一元二次方程,其中含有虚数单位,则首先要将其整理成复数的形式：,利用复数相等的条件有：,进而可求出.
【正解】设方程的实数根为,代入方程有：,整理化简可得：,则有：,可解得：或.
【点睛】对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了.
【例2】已知关于x的方程有实数根，求实数k应满足的条件．
【错解】由于方程有实数根，得，解得或
【错因】误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件，方程有实数根时，可把实数根代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出和的值即可．
【正解】设是方程的实数根，代入方程并整理得，
由复数相等的充要条件，得，解得或．
易错点03 忽略虚数不能比较大小
【例1】给出下列命题： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③,其中正确命题的个数为 .
A.0 B.1 C.2 D. 3
【错解】D
【错因】本题易出现的错误是误认为 = 2 \* GB3 ②正确.
【正解】 = 1 \* GB3 ①正确； = 2 \* GB3 ②错误,因为虚数不能比较大小；, = 3 \* GB3 ③错误.故选B.
【点睛】两个复数如果不全是实数,不能比较大小.
易错点04 复数相等的条件应用出错
【例1】已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值.
A. B. C. D.
【错解】由得,所以.
【错因分析】忽略y为纯虚数.
【正解】因为x为实数,y为纯虚数,设,由得,所以,所以.
【纠错笔记】当为实数时.
【例2】已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值．
【错解】根据复数相等的充要条件，可得，解得．
【错因】误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解。
【正解】依题意设，带入关系式，整理得：
，根据根据复数相等的充要条件，可得，
解得，则有．
易错点05 复数的“模”与“绝对值”混淆出错
【例1】在复数范围内解不等式．
【错解】原不等式，，．
即有．
【错因】把实数中绝对值的性质“”生搬硬套到复数模中来．
【正解】原不等式，，，且．
其解为以点（3，0）为圆心，1为半径的圆内部，且去除点（1，0）．
2．（2021·广东广州市·高三二模）已知，都是复数，的共轭复数为，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则为实数
【答案】D
【分析】先设，（），则；通过特殊值法，可判断ABC选项错误；根据复数相等，以及复数的运算，可判断D正确.
【详解】设，（），则；
A选项，若，则，此时不一定有（如），故A错；
B选项，若，则，都是实数，所以，若，，则，故B错；
C选项，若，则；若，则，即C错；
D选项，若，则，所以，故D正确.故选：D.
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （2021.北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.故选：D.
2．（2021·武汉市第一中学高三二模）已知复数满足，，则正数（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】将复数化简利用求模公式计算即可.
【详解】解：，∴，
∵，∴，解得正数．故选：A．
3．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三模拟）集合的实部为0}，，，i为虚数单位，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出集合，，，求出补集即可得解.
【详解】由的实部为0},则，，
所以，故选：A.
4．（2021·福建厦门市·厦门双十中学高三模拟）已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】设复数，根据题意可得，，即可解决.
【详解】设复数，∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为，
∴，，∴．故选:D.
5．（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．1010D．1011
【答案】B
【分析】用错位相减法求得复数后可得虚部．
【详解】因为，
所以，
相减得，
所以，虚部为．
故选：B．
6．（2021·湖北武汉市·华中师大一附中高三模拟）已知复数为虚数单位，则下列说法错误的是（ ）
A．的虚部为B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的概念，可判断A错误；根据复数的几何意义，结合三角函数的性质，可判定正确；根据复数的运算，可判定C、D正确.
【详解】由题意，复数，可得复数的虚部为，所以A错误；
由复数在复平面内对应的点为，
又由，所以复数对应的点位于第二象限，所以B正确；
由
，即，所以C正确；
由，即，所以D正确.故选：A.
7．（2021·上海高三二模）设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（ ）
A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0 B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤a D．如果|z1|＝a，a是正实数，那么
【答案】D
【分析】通过举反例或一般性推理可作出选择.
【详解】选项A，若，则有，但，故A不正确；
选项B，若，则有，但，故B不正确；
选项C，若为虚数，显然不可能有，故C不正确；
选项D，因为，则，若，即，
而，故D正确.故选：D.
8．（2021·江苏苏州市·高三三模）欧拉公式(其中i为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”．根据上述材料可知的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据题意得，进而根据复数的模的公式并结合三角函数的范围求解即可得答案.
【详解】根据和得，
所以，由于，所以，
所以所以的最大值为.故选：B
【点睛】本题考查数学文化，复数的模的计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得，进而根据复数的模的公式求解.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·山东高三其他模拟）设复数且，则下列结论正确的是（ ）
A．可能是实数 B．恒成立 C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】化简为的形式，根据复数为实数、复数的模、共轭复数、复数的平方等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对选项A，若是实数，则，与已知矛盾，故A错；
对选项B，由A知，所以，故B正确；
对选项C，，
则，因为，所以，故C正确；
对选项D，，则，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC
10．（2021·福建龙岩市·高三三模）下列命题中正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部是
C．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D．满足的复数在复平面上对应点的轨迹是双曲线
【答案】AB
【分析】根据复数代数形式的运算及复数的几何意义一一判断即可；
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：故其虚部为，故B正确；
对于C：，
所以在复平面内所对应的点的坐标为位于第四象限，故C错误；
对于D：根据复数的几何意义可知，
表示在复平面内点到与的距离之差为常数，
所以复数的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，故D错误；故选：AB.
11．（2021·重庆八中高三其他模拟）设复数的共辄复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则的最大值为2
【答案】ABD
【分析】对于A，B，由共轭复数的性质判断即可；对于C，直接求即可；对于D，由复数的几何意义可知表示圆上的点到原点的距离，从而可求出其最大值
【详解】若，即，，则，A正确；
若，即的虚部为0，则，B正确；
若，则，C错误；
若，设（），即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确，故选：ABD．
12．（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（ ）
A．当为纯虚数时，三点共线 B．当时，为等腰直角三角形
C．对任意复数， D．当为实数时，
【答案】ABD
【分析】设，则，对A、C、D按要求写出复数对应的坐标，即可判断正误；对B写出，坐标并求出各边的长度即可判断C的正误.
【详解】设，则，对A：当为纯虚数时，，对应的点分别为、，均在轴上，所以三点共线，故A正确；
对B: 当时，，所以，，所以，而，
所以，所以为等腰直角三角形，故B正确；
对C：,,当时，，故C错误；
对D：当为实数时，，此时，故D正确.故选：ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2017·浙江高考真题）已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ______，ab=________．
【答案】5, 2
【解析】由题意可得，则，解得，则．
【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．
13．（2021·浙江高三模拟）设复数是虚数单位），则________；________.
【答案】2
【分析】第一空利用复数的除法以及加法运算即可求出结果；第二空根据复数的模长公式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
.故答案为：2；.
14．（2021·福建厦门市·厦门一中高三模拟）在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则______；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的______．
【答案】16
【分析】由已知可得，则，再由求解，由题意知，设，即可取一个符合题意的，即可得解．
【详解】解：，，则．
由题意知，设，则，所以，又，所以，故可取，则 故答案为：，（答案不唯一）．
15．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三模拟）若复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数________，________．
【答案】2
【分析】由复数为纯虚数的充要条件求出m的值，再由模的意义即可得解.
【详解】因复数为纯虚数，且m为实数，
则有，解得，此时，
故答案为：2；
16．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）已知复数满足，则的最小值为_________ .
【答案】
【分析】首先求出复数的轨迹，再根据复数的几何意义计算可得；
【详解】解：设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和；
显然当，即时，故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意，从而，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案.（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可得答案.
【详解】由题意知，，则，，
（1），
因为，所以，故的取值范围是.
（2）
因为，所以，所以.
18．（2021·湖南株洲市·高三二模）复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数.（1）求的值；（2）求.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将代入中，可得，利用复数的模长公式求解即可；
（2）由以及，可得出和，代入可得．
【详解】（1）由题意知，，,；
（2）；
，
又，
则是以为首项，为公差的等差数列，
， 故．
19．（2021·河南南阳市·高二二模）设复数.
（1）若为纯虚数，求；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）由实部等于0且虚部不为0列式求出的值，进而可；
（2）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组得答案.
【详解】（1）若为纯虚数，则，所以，故，， ；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，则， 得.
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，是基础题.
20．（2020·上海市新场中学高三月考）已知复数
（1）若，求角；（2）复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）由题意可得：，由，可得：，即可得解；（2）由题意可得，，
根据，即可得解.
【详解】（1）由，
可得，
由，可得：，所以，所以或；
（2）由题意可得，，
由，所以，所以，
所以的取值范围为.
【点睛】本题考了复数的乘积运算，以及对实数的虚部为0的考查，同时考查了求三角函数的取值范围和辅助角公式的应用，属于基础题.
21．（2021·浙江高三期末）在复平面中原点为O，已知A对应的复数为，点B对应的复数为，，点C对应的复数为，且，且B，C均在实轴上方，（1）求的取值范围； （2）当时，P是线段上的动点，求的取值范围；（3）求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由知点B在圆上，再根据圆外一点到圆上的距离即可得解；
（2）根据求出，进而求出，即可得解；
（3）设，则，由可得，点在以为圆心，半径的圆上，利用圆的性质即可得解.
【详解】（1）由，所以对应的点为， 设即对应的点为，
由，所以，即对应的点在圆上，，
即点到的距离，即圆外一点到圆上的距离，
所以，，
由，所以的取值范围为，
（2）由，，联立，
可得，或者（舍），所以，
，
此时，故到点最近，到A点最远，的取值范围为；
（3）由，设，
所以，
所以， ，带入可得：
，即，
故对应的点在以为圆心，半径的圆上，
所以的最大值为圆心到的距离加上半径，所以.
【点睛】本题考查了复数和复平面上的点的对应，考查了复数的几何意义，同时考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）掌握复数的概念和几何意义；（2）掌握利用圆的性质解决复数相关问题.
22．（2021·全国高三专题练习）已知复数，，且.（1）若复数对应的点在曲线上运动，求复数z所对应的点的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一个定点，并求出此定点的坐标.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，.
【分析】（1）首先用的式子表示，再根据点在曲线上运动，代入求出的轨迹方程；（2）依题意可得向x方向移动个单位，向y方向移动个单位，按照函数的平移规则计算可得；（3）设，设过的切线为，，联立切线方程和抛物线方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根的判别式为0可求，求出圆的方程后可求定点坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴⇒，
∵复数对应的点在曲线上运动，
∴⇒.
复数z所对应的点的轨迹方程.
（2）∵按向量方向平移个单位，
故可将（1）的轨迹向右平移，上平移个单位，
故的方程为：即.
（3）解：设，设过的切线为，，则.
由可得，
整理得到.
故即.
所以，
整理得到，故，所以.
故以为直径的圆的方程为：，
令，，则，
故点在以为直径的圆上，故以线段AB为直径的圆恒过一个定点且定点坐标为.
【点睛】解题的关键是利用函数的平移原则求C的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，本题巧妙地把点的轨迹方程和复数有机地结合在一起，解题时要注意复数的合理运用．