【二轮复习】高考数学专题14 立体几何常见压轴小题全归纳（考点专练）（原卷版+解析版）

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目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154603120" 01 球与截面面积问题 PAGEREF _Tc154603120 \h 2
\l "_Tc154603121" 02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题 PAGEREF _Tc154603121 \h 2
\l "_Tc154603122" 03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题 PAGEREF _Tc154603122 \h 4
\l "_Tc154603123" 04 立体几何中的交线问题 PAGEREF _Tc154603123 \h 5
\l "_Tc154603124" 05 空间线段以及线段之和最值问题 PAGEREF _Tc154603124 \h 6
\l "_Tc154603125" 06 空间角问题 PAGEREF _Tc154603125 \h 7
\l "_Tc154603126" 07 轨迹问题 PAGEREF _Tc154603126 \h 8
\l "_Tc154603127" 08 以立体几何为载体的情境题 PAGEREF _Tc154603127 \h 10
\l "_Tc154603128" 09 翻折问题 PAGEREF _Tc154603128 \h 11
01 球与截面面积问题
1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二面角的大小为，球与直线相切，且平面、平面截球的两个截面圆的半径分别为、，则球半径的最大可能值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在正方体中，分别为的中点，该正方体的外接球为球，则平面截球得到的截面圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题
5．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则
A．当时，△的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱的各条棱的长度均相等，为的中点，，分别是线段和线段上的动点含端点，且满足，当，运动时，下列结论正确的是（ ）
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
7．（2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥外接球表面积为
B．三棱锥的体积为定值
C．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的范围为
8．（2023·广东实验中学高一期中）已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱、、相交于点、、，则（ ）
A．四边形的周长为定值
B．当时，四边形为正方形
C．当时，截球所得截面的周长为
D．，使得四边形为等腰梯形
9．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当时，存在唯一的点P，使得点P到的距离等于到的距离
03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题
10．（2022•乙卷）已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
A．B．C．D．
11．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
12．（2023·四川省内江市第六中学高二期中）已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为； ②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为； ④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为的正方体，棱中点为，动点、、分别满足：点到异面直线、的距离相等，点使得异面直线、所成角正弦值为定值，点使得．当动点、两点恰好在正方体侧面内时，则多面体体积最小值为（ ）
A．B．C．D．
04 立体几何中的交线问题
14．（2023·四川成都·高三校联考期末）在正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（ ）
A．B．C．D．
05 空间线段以及线段之和最值问题
17．（2023·河北·高一校联考期末）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 ．
18．（2023·浙江绍兴·高一统考期末）直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是 .
19．（2023·广西玉林·统考二模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑PABC中，平面ABC，，AB＝3，，PA＝4，D，E分别为棱PC，PB上一点，则AE＋DE的最小值为 ．
20．（2023·北京门头沟·统考一模）在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.
①与垂直；
②直线与直线不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是.
其中所有正确结论的序号是 .
06 空间角问题
21．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A．B．C．D．
22．（2022•甲卷）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则
A．
B．与平面所成的角为
C．
D．与平面所成的角为
23．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2023·浙江·高三专题练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．可能值为
D．当取值最大时，
25．（2023·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
07 轨迹问题
26．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点的轨迹长度为；
②线段的轨迹与平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为
A．B．C．D．
27．（2023·江西·模拟预测）已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为( )
A． B． C． D．
28．（2023·重庆·模拟预测）已知棱长为3的正四面体，是空间内的任一动点，且满足，E为AD中点，过点D的平面平面BCE，则平面截动点P的轨迹所形成的图形的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
29．（2023·浙江·模拟预测）在棱长为的正方体中，P为侧面内的动点，且直线与的夹角为30°，则点P的轨迹长为___________；若点与动点P均在球O表面上，球O的表面积为___________．
30．（2023·江苏无锡·高三期末）正四面体的棱长为，在平面内有一动点，且满足，则点的轨迹是__________；设直线与直线所成的角为，则的取值范围为__________.
08 以立体几何为载体的情境题
31．（2023·河北·高三校联考期末）由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（）
A．B．
C．D．
32．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·山西长治·高三统考阶段练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，，……，遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
09 翻折问题
34．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在菱形中，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中错误的是（ ）

A．
B．不存在某个位置，使得//平面
C．存在某个位置，使得
D．与的夹角为
35．（2023·浙江衢州·高一统考期末）在矩形中，，为的中点，将和沿，翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）

A．与平面所成角的范围是
B．三棱锥体积的最大值为
C．与所成角的范围是
D．三棱锥的外接球的表面积为定值
37．（2023·全国·高三对口高考）如图，已知矩形，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）

A．对任意位置，三组直线“与”，“与”，“与”均不垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．存在某个位置，使得直线与直线垂直