知识讲解_几类不同增长的函数模型_提高练习题

几类不同增长的函数模型

【学习目标】

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．

3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．

【要点梳理】

   要点一：几类函数模型的增长差异

     一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．

综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有

三类函数模型增长规律的定性描述：

1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；

2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；

3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．

如图所示：

要点诠释：

当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．

要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型

   若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．

常用的函数模型有以下几类：

（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．

（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数．

（3）指数函数模型

（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．

（4）对数函数模型

（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．

（5）反比例函数模型

．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．

（6）分段函数模型

当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．

【典型例题】

类型一、研究函数的变化规律并比较其大小

例1. 当x＞0时，比较，，的大小．

【解析】作出函数，，的图象（如下图所示）．

由二分法可得，方程的解为x=0.5，方程的近似解为x=0.64118574，方程的近似解为x=0.587774756．

由图象及上述近似解可知，当0＜x＜0.5时，；当x=0.5时，；当0.5＜x＜0.587774756时，；

当x=0.587774756时，；

当0.587774756＜x＜0.64118574时，；

当x=0.64118574时，；

当x＞0.64118574时，．

【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax（0＜a＜1）、y=logax（0＜a＜1）和y=xn（n＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=logax（0＜a＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=ax（0＜a＜1）与y=xn（n＜0）的衰减速度．而y=ax（0＜a＜1），y=an（n＜0）都是在正值范围内衰减，随着x的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=an（n＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有xn＞ax＞logax．

举一反三：

【变式1】 比较、、的大小．

【答案】

【解析】分别画出的图象，可得结论．

类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型

例2．某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满足，其中，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．

【答案】9

【解析】由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A.

所以，解得a＝1，b＝8.

所以，其中.

令f(n)＝8A，得，解得，

即，所以n＝9.

答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．

【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．

举一反三：

【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例3】

【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x = t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y = f（t）的图象大致是（   ）

【答案】D

【解析】 函数   

故选 D．

【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x（x＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a元（a＞0）．

（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．

【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．

【解析】（1）由题意得，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50．

又∵x＞0，∴0＜x≤50．

（2）设这100万人农民的人均年收入为y元，则

  ，

即，0＜x≤50．

当0＜25(a+1)≤50且a＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y取最大值．

当25(a+1)＞50即a＞1时，y在（0，5]上单调递增，

∴当x=50时，y取最大值．

答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．

【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．

例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？

【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b（k≠0）；二次函数型：g (x)=ax2+bx+c（a≠0）；幂函数型：；指数函数型：m (x)=abx+c．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数．

    设月产量为y万件，月份数为x，建立直角坐标系（如右图），可得A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）．

（1）对于直线，将B、C两点的坐标代入，有，，解得k=0.1，b=1，故．

将A、D两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．

（2）对于二次函数，将A、B、C三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．

解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x2+0.35x+0.7．

将D点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．

（3）对于幂函数型，将A、B两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，．解得a≈0.48，b≈0.52．

故．

将C、D两点的坐标代入，得

，与实际误差为0.05；

h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．

（4）对于指数函数型m(x)=abx+c，将A、B、C三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab2+c=1.2，m (3)=ab3+c=1.3．

解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x+1.4．

将D点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．

比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x+1.4比较接近客观实际．

选用y=a·bx+c模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．

举一反三：

【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例4】

【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则函数y = f(x) 的图象大致为（   ）．

【答案】D

【解析】设某山区原有绿色植被为，则经过第一年增长后面积为，经过第二年增长后面积为，…，经过x年绿色植被的面积为，是指数型函数，故选D．

【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y（单位：元）．

【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．

【答案】

【解析】由题意可知：

①当x∈[0，5]时

f（x）=1.2x

②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；

即：当x∈（5，6]时

f（x）=1.2×5+（x－5）×3.6=3.6x－12

③当x∈（6，7]时

f（x）=1.2×5+1×3.6+（x－6）×6=6x－26.4

∴

【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．

例4．（2016春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，

（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？

（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）

【思路点拨】（1）设每年还款x元，由题意可得，从而解x；

（2）设每年还款y元，由题意可得，从而解y．

【答案】（1）12245；（2）12330

【解析】（1）设每年还款x元，

则，

即，

解得，；

（2）设每年还款y元，

则，

即，

则．

【总结升华】上述公式是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．

举一反三：

【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．

【答案】219.01

【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n元（n∈N*）时的销售量增加10%．

（1）写出礼品价值为n元时，利润yn（元）与n（元）的函数关系式；

（2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．

【答案】（1）；

（2）9元或10元．

【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即且．

（1）设未赠礼品时的销售量为m件，

则当礼品价值为n元时，销售量为m(1+10%)n；

利润．

（2）令，即，解得n≤9．

所以y1＜y2＜y3＜…＜y9=y10，

令，即，解得n≥8．

所以y9=y10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19，

 所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．

【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例6】

例5．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．

（Ⅰ）写出y的表达式；

（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．

【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：

      总的淋雨量为：，

      即

     （Ⅱ）①当即时

         在上单调递减

      时，最小，．

②当即时

在上单调递减，在上单调递增．

 当时，最小，．

答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．