高中数学必修一综合测试含答案解析

这是一份高中数学人教版新课标A必修1本册综合一课一练，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
2．如下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．函数y＝eq \r(x－1)＋lg(2－x)的定义域是( )
A．(1,2) B．[1,4]
C．[1,2) D．(1,2]
4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
5．(2016·开封高一检测)已知a＝0.32，b＝lg20.3，c＝20.3，则a，b，c之间的大小关系是( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
6．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ex－1x＜2，,lg32x－1x≥2，))则f(f(2))等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知函数f(x)＝ln(eq \r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg 2)＋flgeq \f(1,2)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
8．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则税率p%为( )
A．10% B．12%
C．25% D．40%
9．函数f(x)＝lg3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
10．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝lga|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
11．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(lg0.53)，b＝f(lg25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
12．已知偶函数y＝f(x)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，下列判断：
①f(5)＝0；
②f(x)在[1,2]上是减函数；
③f(x)的图象关于直线x＝1对称；
④f(x)在x＝0处取得最大值；
⑤f(x)没有最小值．
其中判断正确的序号是( )
A．②③④ B．②④⑤
C．①③⑤ D．①②④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝________.
14．计算：lgeq \f(1,2)－lgeq \f(5,8)＋lgeq \f(25,2)－lg89×lg278＝________.
15．国家规定个人稿费纳税方式为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版一本书共纳税420元，这个人的稿费为________元．
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－eq \f(1,2)的解集是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|lg2x＞1}．
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．
18．(本小题12分)已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，a＞0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明．
19．(本小题12分)某市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
20．(本小题12分)(2016·信阳高一模拟)已知函数f(x)＝lg (1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)设1－x2＝t，把f(x)表示为关于t的函数g(t)并求其值域．
21．(本小题12分)设函数f(x)＝eq \f(ax－1,x＋1)，其中a∈R.
(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．
22．(本小题12分)已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋a,2x＋1)是奇函数．
(1)求a值；
(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
答案
1．解析：选A 由M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝(0,1]，得M∪N＝{0,1}∪(0,1]＝[0,1]．
2．解析：选A 随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
3．解析：选C 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,2－x>0，))解得1≤x<2.
4．解析：选C 根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间(0，＋∞)上单调递减，D在区间(0，＋∞)上单调递增，故选C.
5．解析：选D ∵a＝0.32∈(0,1)，b＝lg20.3＜0，c＝20.3＞1.∴c＞a＞b.
6．解析：选C ∵f(2)＝lg3(22－1)＝1，∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
7．解析：选D f(x)＋f(－x)＝ln(eq \r(1＋9x2)－3x)＋ln(eq \r(1＋9x2)＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f(lg 2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)))＝f(lg2)＋f(－lg 2)＝2.
8．解析：选C 利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1 000×2%＝180(万元)，纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，∴p%＝25%.
9．解析：选B 当x＝3时，f(3)＝lg33－8＋2×3＝－1＜0，当x＝4时，f(4)＝lg34－8＋2×4＝lg34＞0, 即f(3)·f(4)＜0.又∵函数f(x)＝lg3x－8＋2x为连续函数，故函数f(x)＝lg3x－8＋2x的零点一定位于区间(3,4)，故选B.
10．解析：选B 据题意由f(4)g(－4)＝a2×lga4<0，得00时，y＝lga|x|＝lgax是减函数．
11．解析：选C ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴2|－x－m|－1＝2|x－m|－1，∴|－x－m|＝|x－m|，∴(－x－m)2＝(x－m)2，∴mx＝0，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，并且a＝f(|lg0.53|)＝f(lg23)，b＝f(lg25)，c＝f(0)，∵0＜lg23＜lg25，∴c＜a＜b.
12．解析：选D ∵f(1－x)＋f(1＋x)＝0，∴y＝f(x)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图形结合图形可知①②④正确，故选D.
13．解析：令x5＝t，则x＝teq \f(1,5).
∴f(t)＝eq \f(1,5)lg t，∴f(2)＝eq \f(1,5)lg 2.
答案：eq \f(1,5)lg 2
14．解析：lgeq \f(1,2)－lgeq \f(5,8)＋lgeq \f(25,2)－lg89×lg278
＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(8,5)×\f(25,2)))－eq \f(2lg 3,3lg 2)×eq \f(3lg 2,3lg 3)＝lg 10－eq \f(2,3)＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
15．解析：设稿费为x元，纳税为y元．由题意可知
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(00＜x≤800，,x－800·14%800＜x≤4 000，,11.2%·xx＞4 000，))
∵此人纳税为420元，
∴(x－800)×14%＝420，
∴x＝3 800.
答案：3 800
16．解析：当x>0时，由1－2－x<－eq \f(1,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \f(3,2)，显然不成立．当x<0时，－x>0，因为该函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x－1.由2x－1<－eq \f(1,2)，即2x<2－1，得x<－1.又因为f(0)＝0<－eq \f(1,2)不成立，所以不等式的解集是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
17．解：(1)A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|lg2x＞1}＝{x|x＞2}，A∩B＝{x|2＜x≤3}．(∁RB)∪A＝{x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≤3}．
(2)①当a≤1时，C＝∅，此时C⊆A；
②当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3；
综合①②，可得a的取值范围是(－∞，3]．
18．解：(1)由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,1－x>0))成立的x范围，解得－1＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}．
(2)函数f(x)为奇函数，
证明：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝lga(－x＋1)－lga(1＋x)＝－lga(1＋x)＋lga(1－x)＝－[lga(1＋x)－lga(1－x)]＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
19．解：(1)f(x)＝5x,15≤x≤40；
g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(90，15≤x≤30，,30＋2x， 30(2)①当15≤x≤30时，5x＝90，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)；
当18g(x)．
②当30g(x)，
∴当15≤x<18时，选甲家比较合算；
当x＝18时，两家一样合算；
当1820．解：(1)根据题意，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1＋x>0，))解得，－1＜x＜1，
所以，函数f(x)的定义域为(－1,1)．
由f(－x)＝lg (1＋x)＋lg (1－x)＋(－x)4－2(－x)2
＝lg (1－x)＋lg (1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，
所以，函数f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝lg (1－x)＋lg (1＋x)＋x4－2x2＝lg (1－x2)＋x4－2x2，
设t＝1－x2，由x∈(－1,1)，得t∈(0,1]．
则g(t)＝lg t＋(t2－1)，其中t∈(0,1]，
因为y＝lg t与 y＝t2－1在t∈(0,1]均是增函数，
所以函数g(t)＝lg t＋(t2－1)在t∈(0,1]上为增函数，
所以，函数g(t)的值域为(－∞，0]．
21．解：f(x)＝eq \f(ax－1,x＋1)＝eq \f(ax＋1－a－1,x＋1)＝a－eq \f(a＋1,x＋1)，
设x1，x2∈R，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(a＋1,x2＋1)－eq \f(a＋1,x1＋1)＝eq \f(a＋1x1－x2,x1＋1x2＋1).
(1)当a＝1时，f(x)＝1－eq \f(2,x＋1)，
设0≤x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1－x2,x1＋1x2＋1)，
又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)∴f(x)在[0,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝1－eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，
f(x)min＝f(0)＝1－eq \f(2,1)＝－1.
(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
只要f(x1)－f(x2)<0，
而f(x1)－f(x2)＝eq \f(a＋1x1－x2,x1＋1x2＋1)，
∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴当a∈(－∞，－1)时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．
22．解：(1)由题设，需f(0)＝eq \f(－1＋a,2)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)，
经验证，f(x)为奇函数，∴a＝1.
(2)f(x)在定义域R上是减函数．
证明：任取 x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
f(x2)－f(x1)＝eq \f(1－2x2,1＋2x2)－eq \f(1－2x1,1＋2x1)＝eq \f(22x1－2x2,1＋2x11＋2x2).
∵x1＜x2，
∴0<2x1<2x2，2x1－2x2<0，
又(1＋2x1)(1＋2x2)>0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴该函数在定义域R上是减函数．
(3)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，
∵f(x)是奇函数，
∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，
由(2)知，f(x)是减函数，
∴原问题转化为t2－2t＞k－2t2，
即3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k＜0，解得k<－eq \f(1,3)，
所以实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3))).
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27