知识讲解_ 奇偶性_基础练习题

函数的奇偶性

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.

要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，

   f(-x)=-f(x)的等价形式为：；

（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；

（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.

若=-，则是奇函数；

若=，则是偶函数；

若，则既不是奇函数，也不是偶函数；

若且=-，则既是奇函数，又是偶函数

要点二、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.

（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、判断函数的奇偶性

例1. 判断下列函数的奇偶性：

(1)；      (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；          (4)；           

(5)；     (6)．

【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．

【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；

(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(4)

，∴f(x)为奇函数；

(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x   ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(6)，∴f(x)为奇函数.

【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；  (2)；  (3)；

(4).

【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．

【解析】(1)的定义域是，

又，是奇函数．

（2）的定义域是，

又，是偶函数．

（3）函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数．

（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)

任取x<0，则-x>0  f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)

x=0时，f(0)=-f(0)   ∴x∈R时，f(-x)=-f(x)     ∴f(x)为奇函数.

【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)

∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】

【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论

恒成立的是 （    ）.

A．+|g(x)|是偶函数   B．-|g(x)|是奇函数

C．|| +g(x)是偶函数  D．||- g(x)是奇函数

【答案】A

类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).

【答案】-26

【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50    ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26

法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数

∴g(-2)=-g(2)   ∴f(-2)+8=-f(2)-8

∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.

【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.

举一反三：

【变式1】已知为奇函数，，则为（  ）．

【答案】6

【解析】，又为奇函数，所以．

例3.（2016春 山东临沂期中）已知f（x）的定义域为{x∈R｜x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，若f（1）=f（3），f（2）=2．

（1）求b，c的值；

（2）求f（x）在x＜0时的表达式．

【思路点拨】（1）根据f（1）=f（3）得函数图象关于直线x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值．

（2）当x＜0时，―x是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f（―x）的式子，再结合f（x）是奇函数，取相反数即可得到f（x）在x＜0时的表达式．

【答案】（1）b=4，c=－2；（2）

【解析】（1）∵f（1）=f（3），∴函数图象的对称轴，得b=4

又∵f（2）=－4+4×2+c=2，∴c=－2

（2）由（1）得当x＞0时，

当x＜0时，，

∵f（x）是奇函数，

∴当x＜0时，．

【总结升华】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x＜0时的表达式．着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法．

举一反三：

【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】

【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.

（2）已知奇函数的定义域是R，当时，，求的解析式.

【答案】（1）；（2）

例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当时，求的取值范围.

【答案】

【解析】∵f(a+1)<f(a)   ∴f(|a+1|)<f(|a|)

而|a+1|，|a|∈[0，2]

.

【总结升华】若一个函数是偶函数，则一定有，这样就减少了讨论的麻烦．

举一反三

【变式1】定义在[1+a，2]上的偶函数在区间[1，2]上是（      ）

 A． 增函数 B． 减函数 C． 先增后减函数 D． 先减后增函数

【思路点拨】根据偶函数的性质先求出a，b，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．

【答案】B

【解析】∵f（x）是定义在[1+a，2]上的偶函数，

∴区间关于原点对称，即1+a+2=0，

解得a=﹣3，

且f（﹣x）=f（x），

∴ ，

即﹣bx=bx，解得b=0，

∴ ，

∴f（x）在区间[1，2]上是减函数．

故选：B．

【总结升华】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．

类型三、函数奇偶性的综合问题

例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.

【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。

【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数. 当当.

【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；

当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.

(1)当时，

① 且

②上单调递增，

上的最小值为f(a)=a2+1.

(2)当时，

①上单调递减，上的最小值为

②上的最小值为

综上：

.

举一反三：

【变式1】（2016 上海崇明模拟）已知函数f（x）=x｜x－a｜+b，x∈R．

当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由．

【答案】非奇非偶函数

【解析】当b=0时，f（x）=x｜x－a｜，

当a=0时，f（x）为奇函数；

当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数，

理由：当a=0时，f（x）=x｜x｜，

f（－x）=－x｜－x｜=－x｜x｜=－f（x），

f（x）为奇函数；

当a≠0时，f（－x）=－x｜－x－a｜=－x｜x+a｜≠f（x），

且f（－x）≠－f（x），则f（x）为非奇非偶函数

例6.已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．

【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]

【解析】  ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．

设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．

∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．

∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．

同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．

∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．

【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．

（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．

例7．已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），又当时， ．

（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；

（2）若有f（x）+f（x﹣2）≤3成立，求x的取值范围．

【思路点拨】本题考查抽象函数及其应用；函数单调性的性质． （1）由f（xy）=f（x）+f（y），通过赋值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；

（2）由“时，”可知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，从而f[x（x﹣2）]≤f（8）可脱去函数“外衣”，求得x的取值范围．

【解析】（1）f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，

f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，

f（8）=f（2）+f（4）=2+1=3．

（2）∵f（x）+f（x﹣2）≤3，∴f[x（x﹣2）]≤f（8），

又∵对于函数f（x）有时，，

∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

∴   解得2＜x≤4

∴x的取值范围为（2，4]

【总结升华】本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的性质及函数求值，（2）中判断函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数是关键，属于中档题．