2020-2021学年厦门市同安区八年级上学期期中联考数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年厦门市同安区八年级上学期期中联考数学试题（含答案与解析），共19页。试卷主要包含了可以直接使用2B铅笔作图等内容，欢迎下载使用。

1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题
1. 下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．对各图形分析后即可得解A、是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故不符合题意
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 5cm 2cm 3cmB. 5cm 2cm 2cmC. 5cm 2cm 4cmD. 5cm 12cm 6cm
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3＋2＝5，不能组成三角形；
B中，2＋2＝4＜5，不能组成三角形；
C中，4＋2＝6＞5，能够组成三角形；
D中，5＋6＝11＜12，不能组成三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3. 如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A. 9B. 7C. 12D. 9或12
【答案】C
【详解】试题分析：当2为腰时，三角形的三边是2,2,5，因为2+2＜5，所以不能组成三角形；当2为底时，三角形的三边是2,5,5，所以三角形的周长=12，故选C．
考点：等腰三角形的性质、三角形的三边关系．
4. 若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是( )
A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正八边形
【答案】C
【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形内角和公式：（n-2）180°，列出方程进行计算即可．
【详解】设这个正多边形的边数为n，由题意得：

解得：n=6.
故选C.
【点睛】考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.
5. 可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据整式的运算逐一计算即可．
【详解】A，，故正确；
B，不能合并同类项，故错误；
C，，故错误；
D，，故错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，测得 BC=9，BD=5，则 DE 的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【分析】先根据角平分线的性质，得出DE=DC，再根据BC=9，BD=5，得出DC=9-5=4，即可得到DE=4．
【详解】∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE=DC，
∵BC=9，BD=5，
∴DC=9-5=4，
∴DE=4，
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质的运用，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】
A. 45B. 60 C. 75D. 90
【答案】C
【详解】如图，
∵∠1=90°-60°=30°，
∴∠α=45°+30°=75°．故选C．
8. 如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用三角形的判定定理结合题目所给条件进行分析即可．
【详解】A、添加后，利用ASA定理判断，故A选项不合题意；
B、添加，利用SAS定理判定，故B选项不合题意；
C、添加，两边一角对应相等，但角不是两边的夹角，不能判断两个三角形全等，故C选项正确；
D、添加，利用AAS定理判定，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9. 如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9cm2，则的面积为（ ）
A. 1cm2B. 2cm2C. 3cm2D. 4cm2
【答案】C
【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点E是AB的中点，
∴△AED的面积=△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD=2：1，
∴△ABD的面积=△ABC的面积×
∴△AED的面积=3cm2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
10. 如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，， 则以，，为边长的三角形的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随，，的值而定
【答案】C
【解析】分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120，HN＝MN＝x即可解决问题；
【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60得到△CBH．连接HN．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60，
∵∠MON＝30，
∴∠ABM＋∠CBN＝30，
∴∠NBH＝∠CBH＋∠CBN＝30，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60，CH＝AM＝n，
∴∠NCH＝120，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11. （1）=____；
（2）=______；
（3） =______．
【答案】 ①. ②. ③.
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则计算即可；
（3）根据积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
故答案为：；；．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方的运算法则是关键．
12. 点A（1，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是_____．
【答案】（1，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求出.
【详解】解：∵点A（1，2）与点B关于x轴对称
∴点B的坐标是（1，﹣2）
故答案为（1，﹣2）
【点睛】此题考查的是求一个点关于x轴对称的对称点的坐标，掌握关于x轴对称的两点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解决此题的关键.
13. 在中，，，则＝______°．
【答案】60
【分析】首先根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：，
．
，
，
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是关键．
14. 如图，AB∥CD，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E=____度．
【答案】12
【分析】利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答．
【详解】∵ AB∥CD，∴ ∠BFC=∠ABE=66°.
在△EFD中，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠BFC=∠E+∠D,
∴ ∠E=∠BFC-∠D=12°．
故答案是：12.
【点睛】本题考查了三角形外角与内角关系及平行线的性质，比较简单．
15. 如图，在中，，，是的角平分线，CE // AB交的延长线于点，则的长为__．
【答案】4.5
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AC的长，然后证明∠E=∠CAD，利用等角对等边可得AC=CE，进而可得答案．
【详解】解：∵AB=9，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB=4.5，∠CAB=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵CE // AB，
∴∠E=∠BAD=30°，
∴∠E=∠CAD=30°，
∴AC=CE=4.5．
故答案为4.5．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定．关键在于掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．
16. 已知中，，，，任作一条直线将分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有___条．
【答案】7
【分析】分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得答案．
【详解】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，如图1，
分别为△ABD、△ABE、△ABF、△ACG，
∴满足条件的直线有4条；
分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，如图2，
分别△ABH、△ACM、△BCN，
∴满足条件的直线有3条，
综上可知满足条件的直线共有7条，
故答案为：7
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，正确画出图形是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：
【答案】
【分析】按顺序先分别进行积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，然后再合并同类项即可.
【详解】
=
.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
18. 如图，和相交于点，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据全等三角形的判定证明，则有，再根据平行线的判定解答即可．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
19. 一个多边形的内角和是它外角和的3倍，它是几边形？
【答案】这个多边形是八边形
【分析】根据任意凸多边形的外角和都为，内角和都为（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，则依题意得：
，
解得，
故这个多边形是八边形．
【点睛】本题考查凸多边形的外角和与内角和，熟记任意凸多边形的外角和都为以及其内角和公式为（其中n为边数）是解答本题的关键．
20. 如图，在中，．
（1）尺规作图：在AC上找一点D，使得（不写作法，保留作图迹）；
（2）连接BD，若，请直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30°．
【分析】（1）如图，作线段的垂直平分线交于 利用线段的垂直平分线的性质，从而可得答案；
（2）由，利用等腰三角形的性质求解，再证明，从而可得．
【详解】解：（1）如图，点D为所作；
（2）∵，
∴
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于轴对称的；
（2）在轴上求作一点，使的周长最小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先找出点A、B、C关于y轴的对称点，在顺次连接即可．
（2）作出点A关于x轴的对称点，连接，则线段与x轴的交点即为P点．
【详解】（1）如图，即为所求作．
（2）如图，点为所求作．
【点睛】此题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称的性质以及了解两点之间，线段最短．
22. 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点作，垂足为，求线段的长．
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
（2）利用面积法求CD的长．
【详解】（1）∵，，.
∴，
∴
∴的面积是6
（2）如图过点作，垂足为，
∵
∴是的高
∵
∵
∴.
【点睛】本题考查了求算术平方根和阅读理解能力，解题关键是理解题意，准确应用公式进行计算．
23. 如图1，已知中，点在边上，交边于点，且平分．
(1)求证：；
(2)如图2，在边上取点，使，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）DF＝3．
【分析】（1）如图，根据平行线的性质可得∠1＝∠B，∠2＝∠3，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，等量代换得到∠B＝∠3，即可证明DB＝DC；
（2）作DG⊥BC于点G，易求GB、GF的长，再根据在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半即可求出DF的长．
【详解】解：（1）如图，∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠3，
∴DB＝DC；
（2）作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB＝BC＝×7＝3.5，
∴GF＝GB−BF＝3.5−2＝1.5，
∵Rt△DGF中，∠DFG＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴DF＝2GF＝2×1.5＝3．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质以及在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
24. 如图所示，CN是等边的外角ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形．
（2）若ACN＝，求BDC的大小（用含的式子表示）．
（3）用等式表示线段 PB，PC 与PE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）60；（3）PB=PC+2PE
【分析】（1）正确画图；
（2）根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA=CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；
（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF=PC，如右图，连接CF，先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF=PD=2PE，根据线段的和可得结论．
详解】(1)根据题意补全图形如下：
(2)∵D为A点关于CN的对称点，
∴CN垂直平分AD
∴AC=CD，∠ACN=∠DCN=∠α
∵等边三角形ABC
∴AB=AC
∴BC=CD
∴∠CBD=∠BDC
∵∠CBD+∠BDC=（180°-60°-∠ACN-∠DCN）=120°-2α
∴∠BDC=60°-α
（3）
方法1：等线段共端点，构造手拉手模型
∵∠PCD=α，∠BDC=60°-α
∴∠HPC=60°
截取在BP上截取PH，使得PH=PC
∴△PHC为等边三角形
∴∠PCH=60°
∴∠ACB-∠ACH=∠PCH-∠ACH
∴∠BCH=∠PCA
在△BHC和△APC中
BC=AC
∠BCH=∠PCA
CH=PC
∴△BHC ≌ △APC（SAS）
∴BD=AP
在直角△PED中，
∵∠PED=∠HPC=60°
∴∠APE=∠EDP=30°
∴AP=2PE（直角三角形30°所对的边的长度是斜边的一半）
∴BP=BH+PH=AP+PC=2PE+PC
方法2：对称法
证明：
∵∠PCD=α，∠BDC=60°-α
∴∠HPC=60°
截取在BP上截取PH，使得PH=PC
∴△PHC为等边三角形
∴∠PHC=∠HPC
∴∠BHC=∠CPD
在△BHC和△DPC中
∠HBC=∠PDC
∠BHC=∠CPD
BC=CD
∴△BHC ≌ △DPC（AAS）
∴BH=PD
在直角△PED中，
∵∠PED=∠HPC=60°
∴∠EDP=30°
∴PD=2PE（直角三角形30°所对的边的长度是斜边的一半）
∴BP=BH+PH=PD+PC=2PE+PC
【点睛】本题主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解本题的关键．
25. 对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”.
(1)如图1，点A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在，，， 中，线段AB的“近轴点”是 .
(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°.
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围 ；
②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB)，若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.
【答案】(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．
【分析】（1）利用近轴点的意义即可得出结论；（2）①根据远轴点的定义通过图像判断即可；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB＋QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA＝QC＋AQ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．
【详解】(1)P2 , P3．
(2)①t＜0或t＞3．
②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．
当点B，C在直线l的同侧时，
对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．
∵QA+QC≥AC，AC≥AO
∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．
∵∠OAB=30°，AQ=BQ，
∴∠QBA=∠QBO=30°．
∴OQ=BQ．
在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．
∴3x=3．
解得 x=1．
∴Q(1，0)．
当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．
综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．
【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力、垂直平分线的性质以及运用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是正确理解题中所给“远轴点”、“近轴点”的意义，并利用所学灵活解决问题.