广东省佛山市南海区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

南海区2021～2022学年度第一学期期末考试

九 年 级 数 学 试 卷

试卷说明：

本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟.答题前，学生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）

1．下列方程中没有实数根的是（    ）

A．      B．      C．      D．

2．矩形、菱形都具有的性质是（    ）

A．对角线互相垂直              B．对角线互相平分              

C．对角线相等                  D．对角线互相垂直且相等

3．已知反比例函数经过点A、B，则m的值为（    ）

A．          B．           C．           D．6

4．身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，

则旗杆高为（    ）

A．14米        B．16米         C．18米         D．20米

5．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（    ）

A．           B．           C．           D．

6．如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件

不能判定△ABC∽△BDC的是（    ）

A．      B．     C．∠ABC=∠BDC      D．∠A=∠CBD

7．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，

这样的几何体最少需要正方体个数为a，最多需要正方体个数为b，

则a+b的值为（    ）

A．14         B．15         C．16         D．17

8．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（     ）

A．          B．          C．         D．

9．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家

赵爽画的“弦图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图

中四边形ABCD与EFGH均为正方形，若

且正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积

的一半，则a：b的值为（     ）

A．        B．          C．2          D．

10．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，

AF与DE交于点M，则下列结论：①AF⊥DE；②；

③AM=MF；④．其中正确的结论有（    ）

A．4个          B．3个          C．2个        D．1个

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．如果，那么=_________．

12．矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB=40°，则∠AOB=_________°．

13．一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：

则袋中原有红色小球的个数约为__________个．

14．正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1, 2)，若，则x的取值范围是__________________．

15．已知．则．

16．如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，，，连接EF交菱形的对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于________________．

17．如图，△ABC中AB=AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为____________．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

18．解方程：．

19．小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况．

（1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为___________．

（2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯

和走廊灯同时亮的概率是多少?请用树状图法或列表法说明．

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=，D、E为AB上两点，且∠DCE=45°，

（1）求证：△ACE∽△BDC．

（2）若AD=1，求DE的长．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于C、D两点，与x、y轴分别交于B、A两点，CE⊥x轴，且OB=4，CE=3，.

（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式．

（2）求△OCD的面积．

22．为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件．

（1）售价为850元时，当天的销售量为多少件？

（2）如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？

23．如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．

（1）在图中画出小明的位置(用线段FG表示)．

（2）若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高．

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24．如图，四边形OABC为正方形，反比例函数的图象过AB上一点E，BE=2，

（1）求k的值．

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．

（3）点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．

25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且，连接BE．

（1）当DP=2时，求BE的长．

（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．

（3）如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．

南海区2021—2022学年第一学期期末考试

九年级数学参考答案与评分标准

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共28分）

11．5；  12．80°；  13．40； 14．x＜-1或0<x<1；  15．；  16．；   17．．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

以下评分细则仅供参考．

18．解： ………………1分

  ………………2分

      即 ………………3分

∴或，………………4分

∴或．   ………………6分

19．解：（1）．  …………………2分

（2）

共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种：(B,C), (C,B)

∴P= ．……6分（列表或树状图2分，满足要求的结果1分，概率1分）

20．(1)证明：∵∠ACB=90°，CA=CB ，  

        ∴，    ………………1分

又∵，  ………………2分

∴△ACE∽△BDC．   ………………3分

(2)解：由勾股定理得，………………4分

设DE长为x，

∵AD=1

∴BD=3，AE=1+x

∵△ACE∽△BDC，

∴，

即 ，………………5分

解得，即．………………6分（其他解法酌情给分）

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

21．解：(1)∵，CE=3，

∴，

∵OB=4

∴，   ………………1分

∴C，B

将C代入得：，………………2分

将C，B代入y=ax+b得，解得，………4分

一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．………5分

（2）∵

∴A（0,2）

由，解得，，…………6分

∵C

∴D（6,﹣1）

．…………8分

22．解：(1)，

（件）．

答：售价为850元时，当天的销售量为70件． …………………2分

(2) 方法一：设每件服装售价x元

(x﹣500)×[(40+（1000﹣x）]=40×(1000﹣500)+4000

x2﹣1700x+7200=0

解得：x1=800，x2=900，

∵使顾客得到尽可能大的实惠

∴x=800

方法二：设每件服装降价x元．

(1000﹣500﹣x)×(40+x)=40×(1000﹣500)+4000，……………………4分

解得：x1=100，x2=200，                    ……………………6分

∵使顾客得到尽可能大的实惠

∴x=200                                 ……………………7分

．

答：每件应定价800元．            ……………………8分．

23．解：(1)如图，FG就是所求作的线段. ……………4分

（BE、DE、CF、FG每条线1分）

(2)∵上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，

   ∴，      ……………5分

         ∵FG∥CD，

         ∴∠EFG=∠D，∠EGF=∠ECD，

         ∴△EFG∽△EDC，    ……………6分

         ∴即，  ……………7分

             解得．          ……………8分

∴路灯高3.75米．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24．(1)证明：∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB，∠OAB=90°，

∵，

设，则，

由勾股定理得，…………1分

∴．

∴，

∴，，

∴点E坐标为，…………2分

∴．…………3分

(2) OF⊥DF，理由如下：

将代入得，

∴D（8,6）

∴

∵点F是线段AB的中点，

∴，

∵，∠OAF＝∠FBD=90°

∴△AOF∽△BFD，      ………………5分

∴∠AOF＝∠BFD，

∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°，

∴∠OFD=180°-(∠AFO+∠BFD)=90°,

∴OF⊥DF．     ……………………6分

(本小题也可以用勾股逆定理解决，酌情给分。若用斜率积为-1解决，也给满分）

(3)延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点

∵四边形OABC为正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF，

∴△AFG≌△BFD（AAS）

∴FG=FD=2

由（2）得OF⊥DF

∴OF为线段DG的垂直平分线，……………………7分

∴OC=OG=8

∴，

设直线CG解析式为y=mx+ n，代入，得

，解得，………………8分

设直线OF为y=ax，代入得，  ………………9分

∴y=2x

联立直线OF、CG得，解得，

∴点P的坐标为．……………………10分

25．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，

∴∠DAB＝90°，，

∴，

∵AP⊥AE，

∴∠PAE＝90°，

∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，

∴∠DAP＝∠BAE，

∴△ADP∽△ABE，   ………………2分

∴，

∴．   ………………3分

（2）四边形AEBP可能为矩形   ………………4分（没答但能给出证明，不扣分）

由（1）得△ADP∽△ABE，

∴∠ABE＝∠ADB，

∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠ADB=90°，

当∠APB=90°时，

∵∠APB=∠PAB=∠PBE=90°，

∴四边形AEBP为矩形，         ………………5分

这时，由勾股定理得，

，，………………6分

．            ………………7分

（3）8．            ………………10分

解析：易证△ADB∽△APE，∴∠ADB＝∠APE，

∵∠AQ1D=∠AQ2P=90°，∴△ADQ1∽△APQ2，∴，

∵∠DAP=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2，

∴△ADP∽△AQ1Q2，∴∠AQ1Q2=∠ADP，

∴∠BQ1Q2=90°-∠AQ1Q2=90°-∠ADP=∠ABD，

因此点Q在直线Q1Q2上运动，

不难证明图2中四边形AQ1BQ2是矩形，Q1Q2=AB=8．