广东省华南师范大学附属中学2022届高三1月模拟考试数学含答案

广东省华南师大附中2022届高三第一学期高三模拟考试（数学）

1．已知集合A={x|2x-1>1},B={x|x2-2x≤0},则A∩B=

2．在复平面内,复数z=(i是虚数单位)对应的点位于

3．如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,点F满足=2,那么=

4．函数y=(其中e为自然对数的底数)的图象大致是

5．在如图所示的正方形内任取一点M,其中图中的圆为该正方形的内切圆,图中的圆弧为以正方形的顶点为圆心,正方形边长的一半为半径的圆弧,则点M恰好取自阴影部分的概率为

6．(3x+1)(-1)5的展开式中的常数项为

7．已知α为锐角,且cos α(1+tan 10°)=1,则α的值为

8．设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(0<t<b),已知动点P在椭圆上,且点P,E,F2不共线,若△PEF2的周长的最小值为3b,则椭圆C的离心率为

9．设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=90°,AA1=3,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是

10．设Sn是数列{an}的前n项和,若an+Sn=2n,=2an+2-an+1(n∈N*),则数列{}的前99项和为

11．已知函数f(x)=,若f(a)=f(b)(a<b),则ab的最小值为

12．已知双曲线E:=1(a>0,b>0),过其右焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为B,交y轴于点C,交另一条渐近线于点A,并且点C位于点A,B之间,O为坐标原点,若|OA|=a,则=

第II卷（非选择题）

13．已知函数f(x)=ax-log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数,则a=　　　　.

14．已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=6,则a8=　　　　.

15．若f(x)=2sin(2x+φ)(φ>0)的图象关于直线x=对称,且当φ取最小值时,x0∈(0,),使得f(x0)=a,则a的取值范围是　　　　.

16．在四面体PABC中,△ABC为等边三角形,边长为6,PA=6,PB=8,PC=10,则四面体PABC的体积为　　　　.

17．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).

(1)求角C的值;

(2)若2a+b=6,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.

18．如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C是菱形,其对角线的交点为O,且AB=AC1,AB⊥B1C.

(1)求证:AO⊥平面BB1C1C;

(2)设∠B1BC=60°,若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°,求二面角A1-B1C1-B的余弦值.

19．已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.

(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.

(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.

20．某市有一家大型共享汽车公司,在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车,已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3∶1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量,决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验,假设每辆汽车被抽取的可能性相同.

(1)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率.

(2)在试驾体验过程中,发现蓝色汽车存在一定质量问题,监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测,并规定:若抽到的是黄色汽车,则将其放回市场,并继续随机地抽取下一辆汽车;若抽到的是蓝色汽车,则抽样结束.抽样的次数不超过n(n∈N*)次.在抽样结束时,若已抽到的黄色汽车数以ξ表示,求ξ的分布列和数学期望.

21．已知函数f(x)=aex-e-x-(a+1)x(a∈R),f(x)既存在极大值,又存在极小值.

(1)求实数a的取值范围;

(2)当0<a<1时,x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,且f(x1)+kf(x2)>0,求实数k的取值范围.

22．[选修4-4:坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设直线l1与l2的交点为P,当k变化时点P的轨迹为曲线C1.

(1)求出曲线C1的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=3,点Q为曲线C1上的动点,求点Q到直线C2的距离的最大值.

23．[选修4-5:不等式选讲]

已知函数f(x)=|x-1|.

(1)求不等式f(x)≥3-2|x|的解集;

(2)若函数g(x)=f(x)+|x-5|的最小值为m,正数a,b满足a+b=m,求证:≥4

（数学）答案

1.D

2.D

3.C

4.D

5.C

6.A

7.B

8.D

9.C

10.C

11.B

12.B

13.

14.3

15.(-,2]

16.8

17.解:(1)由正弦定理得sin Asin(π-2C)=sin Csin(π-A)=sin Csin A,

因为sin A≠0,所以sin(π-2C)=sin C,

即sin 2C=2sin Ccos C=sin C.

因为sin C≠0,所以cos C=,

因为0<C<π,所以C=.

(2)由S△ABC=absin C=,可得ab=4.

因为2a+b=6,所以2a+=6,解得a=1或2.

当a=1时,b=4,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得c=,

所以△ABC的周长为5+.

当a=2时,b=2,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得c=2,所以△ABC的周长为6.

综上,△ABC的周长为6或5+.

18.解:(1)∵四边形BB1C1C是菱形,∴B1C⊥BC1.

∵AB⊥B1C,AB∩BC1=B,

∴B1C⊥平面ABC1,∴B1C⊥AO.

∵AB=AC1,O是BC1的中点,∴AO⊥BC1,

又B1C∩BC1=O,∴AO⊥平面BB1C1C.

(2)∵AB∥A1B1,∴直线A1B1与平面BB1C1C所成的角等于直线AB与平面BB1C1C所成的角.

∵AO⊥平面BB1C1C,∴直线AB与平面BB1C1C所成的角即∠ABO,

∴∠ABO=45°.

不妨设菱形BB1C1C的边长为2,则在等边三角形BB1C中,BO=,CO=B1O=1,在Rt△ABO中,AO=BO=.             

如图,以O为坐标原点,分别以OB,OB1,OA所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则B1(0,1,0),C(0,-1,0),C1(-,0,0),A(0,0,),A1(-,1,),

=(,0,-),=(-,-1,0).

设平面A1B1C1的法向量为n1=(x,y,z),

则,令x=1,则y=-,z=1,可得n1=(1,-,1).

易知平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,0,1),

则cos<n1,n2>=,

由图可知二面角A1-B1C1-B为钝二面角,∴二面角A1-B1C1-B的余弦值为-.             

19.解:(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=,则C2:y2=4ax,

代入x=c,得y2=4ac,即y=±2,所以4=4,

则有,所以a=2,b=,

所以椭圆C1的方程为=1,抛物线C2的方程为y2=8x.

(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,

由,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,

且y1+y2=,y1y2=.

根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).

因为kNQ=kEQ,所以,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,

即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,

即2t·-(m+4)·=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,

由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).

当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),

所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).

20.解:(1)随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为,

用X表示“抽取的5辆汽车中蓝色汽车的个数”,则X服从二项分布,即X~B(5,),

所以抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率P=()3()2=.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.

P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=()2×,…,

P(ξ=n-1)=()n-1·,P(ξ=n)=()n.

所以ξ的分布列为

ξ的数学期望E(ξ)=1×+2×()2×+3×()3×+…+(n-1)×()n-1×+n×()n①,

E(ξ)=1×()2×+2×()3×+…+(n-2)×()n-1×+(n-1)×()n×+n×()n+1②.

①-②得

E(ξ)=+()2×+()3×+…+()n-1×+[n×()n-(n-1)×()n×-n×()n+1]=+()2×+()3×+…+()n-1×+()n×,

所以E(ξ)=+()2+()3+…+()n-1+()n==3[1-()n]=3-3×()n.

21.解:(1)由f(x)=aex-e-x-(a+1)x得f'(x)=aex+e-x-(a+1),

即f'(x)=e-x(ex-1)(aex-1).

由f(x)既存在极大值,又存在极小值,知f'(x)=0必有两个不相等的实数根.

由ex-1=0得x=0,所以aex-1=0必有一个非零实数根,

∴a≠0,ex=,∴>0且≠1,∴0<a<1或a>1.

∴实数a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞).

(2)当0<a<1时,由(1)可知f(x)的极大值点为x1=0,极小值点为x2=-ln a,此时f(x1)=a-1,f(x2)=1-a+(a+1)ln a,

依题意得a-1+k[1-a+(a+1)ln a]>0对任意0<a<1恒成立,

由于此时f(x2)<f(x1)<0,所以k<0,

所以k(a+1)ln a>(a-1)(k-1),即ln a<(1-).

设g(x)=ln x-(1-),x∈(0,1),

则g'(x)=-(1-),

令x2+x+1=0(*),则其判别式Δ=-4.

①当k≤-1时,Δ≤0,所以g'(x)≥0,g(x)在(0,1)上单调递增,

所以g(x)<ln 1-(1-)=0,即ln a<(1-),符合题意;

②当-1<k<0时,Δ>0,设(*)的两根为x3,x4,且x3<x4,

则x3+x4=->0,x3x4=1,因此0<x3<1<x4,

则当x3<x<1时,g'(x)<0,g(x)在(x3,1)上单调递减,

所以当x3<a<1时,g(a)>ln 1-(1-)=0,即ln a>(1-),不合题意.

综上,k的取值范围是(-∞,-1].

22.解:(1)分别消去l1,l2的参数方程中的参数,得l1,l2的普通方程为

l1:y=k(x+),

l2:y=(-x),

两式相乘消去k可得+y2=1,

因为k≠0,所以y≠0,所以曲线C1的普通方程为+y2=1(y≠0).

(2)因为ρsin(θ+)=3,所以ρsin θ+ρcos θ=6,

将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得直线C2的直角坐标方程为x+y-6=0.

结合(1)知曲线C1与直线C2无公共点.

曲线C1的参数方程为(α为参数,α≠kπ,k∈Z),

所以曲线C1上的点Q(cos α,sin α)到直线x+y-6=0的距离

d=,

所以当sin(α+)=-1时,d取得最大值,为4.

23.解:(1)当x≥1时,x-1≥3-2x⇒x≥,∴x≥;

当0<x<1时,1-x≥3-2x⇒x≥2,∴无解;

当x≤0时,1-x≥3+2x⇒x≤-,∴x≤-.

综上,原不等式的解集为{x|x≥或x≤-}.

(2)∵g(x)=|x-1|+|x-5|≥|(x-1)-(x-5)|=4,∴m=4,即a+b=4.

由基本不等式得+b≥2a,+a≥2b,

两式相加得+b++a≥2a+2b,∴≥a+b=4.