2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试（一）数学试题含解析

2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的交集运算可得选项.

【详解】解：因为集合，所以，

故选：B.

2．函数的定义域是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】列出使函数有意义的不等式组，进而可解得结果.

【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域是.

故选：D.

3．已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】满足，但不满足，因此不充分，但时，一定有，即成立，必要的，因此题中应是必要不充分条件．

故选：B．

4．命题“，”的否定是（       ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可求解.

【详解】解命题为全称命题，则命题的否定为，.

故选：D．

5．函数（且）的图象可以是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性的定义求得函数为奇函数，排除A、B，再结合，即可求解.

【详解】由题意，函数定义域为关于原地对称，

可得，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A、B；

又由，所以选项D不符合题意.

故选：C.

6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.

【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，

当时，，，

当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，

，，则在上值的集合为，

因函数的值域为，于是得，则，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D

7．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】通过指、对、幂函数的单调性即可得到结论.

【详解】，，

又，，

.

故选：A．

8．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出函数的图象，则函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，考查直线与圆相切，且切点位于第三象限时以及直线过点时，对应的值，数形结合可得出实数的取值范围．

【详解】解：当时，，则，等式两边平方得，

整理得，

所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示，

由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，

直线过定点，

当直线过点时，则，可得；

当直线与圆相切，且切点位于第三象限时，，

此时，解得．

由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点．

因此，实数取值范围是．

故选：．

【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题．

二、多选题

9．给定下列命题，其中真命题为（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．，不等式成立

【答案】BD

【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用不等式的性质可判断B选项；利用作差法可判断CD选项.

【详解】对于A选项，若，取，，则，A错；

对于B选项，若，由不等式的性质可得，B对；

对于C选项，若，则，即，C错；

对于B选项，，，即，D对.

故选：BD.

10．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强

B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强

C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标

D．甲企业在，，这三段时间中，在内的污水治理能力最强

【答案】ABC

【分析】根据题意可知，该题是函数与导数的实际应用问题，把实际问题翻译成数学问题，再逐一对四个结论分析即可得出答案.

【详解】解：表示区间端点连线斜率的相反数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，A正确；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，B正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，C正确；

甲企业在，，这三段时间中，在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在内的污水治理能力最强，D错误．

故选：ABC

11．已知函数，，下列说法正确的是（       ）

A．当时，函数有两个极值点

B．当时，函数在上有最小值

C．当时，函数有三个零点

D．当时，函数在上单调递增

【答案】ABD

【分析】利用判别式和函数极值点的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断D选项的正误.

【详解】因为，则.

对于A选项，当时，，即方程有两个不等的实根，

此时，函数有两个极值点，A对；

对于B选项，当时，设的两个不等的实根分别为、，且，

由韦达定理可得，必有，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故函数在上有最小值，B对；

对于C选项，当时，，，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增.

所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数只有两个零点，C错.

对于D选项，当且时，，故函数在上单调递增，D对.

故选：ABD.

12．已知函数，若函数有两个零点，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知得出，化简变形后可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用构造函数法证明CD选项中的不等式，可判断CD选项的正误.

【详解】解：由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点，，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，则，且当时，，如下图所示：

当时，直线与函数在上的图象有两个交点.

对于A选项，由已知可得，消去可得，故A正确；

对于B选项，设，取，则，所以，，故，故B错；

对于C选项，设，因为，则，

所以，，，

则，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递增，故，故C正确；

对于D选项，，

构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递减，则，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

三、填空题

13．已知直线与函数的图象相切于，则直线的方程是___________.

【答案】

【分析】求出函数的导数，借助导数的几何意义即可求出直线的方程.

【详解】函数的定义域为，求导得：，则，直线的斜率为1，

所以直线的方程是：.

故答案为：

14．若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据二次函数的图象与性质即可解出．

【详解】因为，当且仅当时取等号，

而函数的定义域为，值域为，

所以，又，所以，解得，综上可知．

故答案为：．

15．当时，不等式成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据给定条件可得，构造函数，利用导数求出的最小值即可作答.

【详解】当时，，令，则，

当时，，当时，，因此，在上单调递减，在上单调递增，

当时，，因当时，不等式成立，则有，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

16．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是____.

【答案】

【解析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，利用的单调性可得：在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，对分类讨论即可得出．

【详解】解：求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，

令，，

在递减，在递增，显然在取得最小值，

作的图象，并作的图象，注意到，，

（原定义域，这里为方便讨论，考虑，

当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；

当时在两侧附近同号，不是极值点；

当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

四、解答题

17．已知等差数列和等比数列满足

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)an=2n，bn=2n，n∈N.

(2).

【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据对数运算求得b1，a2，从而由等差数列、等比数列的通项公式可求得答案；

（2）由（1）求得，运用错位相减法可求得答案.

(1)

解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a1=2，b2=4，an=2log2bn，得b1=2，a2=4，

则d=2，q=2，an=2n，bn=2n，n∈N；

(2)

解：由（1）得，则

，

，

，

.

18．在中，已知角所对的边分别是，且.

(1)求和角的值；

(2)求的面积.

【答案】(1)，；

(2)或3.

【分析】(1)在中利用正弦定理边化角，结合已知计算即可得解.

(2)利用余弦定理结合(1)的结论求出边c，再用三角形面积公式即可计算作答.

(1)

在中，由正弦定理得：，

则有，而，解得，

又，即为锐角，于是得，

所以，.

(2)

在中，由余弦定理得：，

整理得：，解得或，

当时，，

当时，，

所以的面积为或3.

19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记表示了解，表示不了解，统计结果如下表所示：

（表一）

（表二）

（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;

（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为．试求出与，并比较与的大小．

附：临界值参考表的参考公式

，其中）

【答案】（1）表格见解析，有；（2），，.

【分析】（1）依据题中数据直接填写，然后根据公式计算即可.

（2）先计算男性了解“云课堂”倡议的概率，女性了解“云课堂”倡议的概率，然后可得，进行比较即可.

【详解】（1）

．

对照临界值表知，有99％的把握认为对“云课堂”倡议了解情况与性别有关系．

（2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出，

男性了解“云课堂”倡议的概率为，

女性了解“云课堂”倡议的概率为：，

故，，

显然．

20．如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）过点作交于点，连接、、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

(1)

证明：过点作交于点，连接、、，

平面平面，平面平面，平面，

所以，平面，

又是正三角形，，则为的中点，所以，

平面，，且，

所以，四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

(2)

解：因为四边形是菱形，，，，且平面，

以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，.

则，，，，

设平面的一个法向量为，

由得，令，可得，

设平面的法向量为，

由得，令，可得，

，

所以，.

21．已知椭圆经过点，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆相交于两点，求的最大值.

【答案】(1).

(2)32.

【分析】（1）由已知得建立关于a，b，c的方程组，求解即可；

（2）直线与椭圆的方程联立整理得，设，由向量的数量积运算求得，得三角形MAB为直角三角形，运用等面积法求得，设，由二次函数的性质可求得其最大值.

(1)

解：由已知得解得，

因此椭圆C的方程为；

(2)

解：由整理得，

设，则，

因为

，

所以MA⊥MB，三角形MAB为直角三角形，

设d为点M到直线的距离，故，

又因为，

，

所以，

设，则，由于，

所以，当，即k=0时，等号成立.

因此，的最大值为32.

22．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若且，证明：，．

【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为；（2）证明见解析.

【分析】（1）首先求函数的导数，，比较导数的零点，求解函数的单调区间；（2）利用二次导数，可转化为证明恒成立，再利用，可证明，只需证，化简后，构造函数，证明不等式.

【详解】解：（1）函数的定义域为，

∵，∴

∴由得或

由得；

∴的单调递增区间为和；单调递减区间为．

（2）欲证，，即证，，

令，，则，

令，则，

因为，所以，所以在上单调递增，所以，

所以，所以在上单调递增，

所以，

所以欲证，，只需证，①

因为，所以，

即，②

令，则，当时，

所以在上单调递增，所以，即，

所以，故②式可等价变形为：

所以，欲证①式成立，只需证成立

所以仅需证，

令，（），则，

∴在上单调递增，

故，即，

∴结论得证．

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式恒成立，本题的关键是利用，变形，计算求得，从而转化为证明成立.