2022届初中数学一轮复习 课时作业15 三角形的基本概念与性质

课时作业15　三角形的基本概念与性质

1.(2020·广东深圳)如图，已知AB=AC，BC=6，由尺规作图痕迹可求出BD=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

2.(2020·山东枣庄)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为(　　)

A.8 B.11 C.16 D.17

3.(2020·北京)如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是(　　)

A.∠1=∠2

B.∠2=∠3

C.∠1>∠4+∠5

D.∠2<∠5

4.(2020·甘肃武威)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB=20 cm，则∠DAB的度数是(　　)

A.90° B.100° C.120° D.150°

5.(2020·陕西)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为(　　)

A. B.

C. D.

6.(2020·甘肃天水)一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，则该三角形的周长为　　　　. 

7.(2020·新疆建设兵团)如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA，OB，使OA=OB；再分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C.若点C的坐标为(a，2a-3)，则a的值为　　　　. 

8.(2020·青海)已知a，b，c为△ABC的三边长.b，c满足(b-2)2+|c-3|=0，且a为方程|x-4|=2的解，则△ABC的形状为　　　　. 

9.(2020·江苏南京)如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=　　　　. 

10.(2020·贵州安顺)如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD=8，AC=11，则边BC的长为　　　　. 

11.(2020·江西)如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为　　　　. 

12.(2020·安徽合肥瑶海二模)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD=5，CD=7，则AE=　　　　. 

13.(2020·浙江绍兴)问题：如图，在△ABD中，BA=BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC，若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数.

答案：∠DAC=45°.

思考：

(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由；

(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数.

14.(2020·北京) 在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点.E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.

(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长(用含a，b的式子表示)；

(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明.

　　　　图1　　　　　　　图2

参考答案

1.B　解析 由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC中点，

∴BD=3，故选B.

2.B　解析 ∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，

∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=

AC+BC=5+6=11.

3.A　解析 由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知，B选项为∠2>∠3，

C选项为∠1=∠4+∠5，D选项为∠2>∠5.

故选A.

4.C　解析 如图，连接AC

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=20 cm，AD∥BC

∵如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，AE=60 cm，

∴AC=AE=20 cm，∴AB=BC=AC

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，∵AD∥BC，

∴∠DAB=180°-∠B=180°-60°=120°.

5.D　解析 由勾股定理得AC=，

∵=3×3-×1×2-×1×3-×2×3=，

∴AC·BD=，∴·BD=7，

∴BD=.

6.13　解析 ∵x2-8x+12=0，

∴(x-2)(x-6)，∴x1=2，x2=6.

∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2<5，不符合题意，∴三角形的第三边长是6，

∴该三角形的周长为2+5+6=13.

7.3　解析 ∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，

∴a=2a-3，解得a=3.

8.等腰三角形　解析 ∵(b-2)2+|c-3|=0，

∴b-2=0，c-3=0，∴b=2，c=3.

又∵|x-4|=2，∴x1=6，x2=2.

∵a是方程的解且a，b，c为△ABC的三边长，∴a=2，

∴△ABC是等腰三角形.

9.78°　解析 过O作射线BP，∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2，相交于点O，

∴AO=OB=OC，∠BDO=∠BEO=90°，

∴∠DOE+∠ABC=180°.

∵∠DOE+∠1=180°，∴∠ABC=∠1=39°.

∵OA=OB=OC，

∴∠A=∠ABO，∠OBC=∠C.

∵∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，

∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=

2×39°=78°.

10.4　解析 延长BD到F，使BD=DF，过点C作CH∥AB，交BF于点H.

∵BD=DF，CD⊥BF，

∴BC=CF，

∴∠CBE=∠F.

∵∠A=2∠CBE，

∴∠A=2∠F.

∵CH∥AB，

∴∠ABE=∠BHC.

∵AE=BE，

∴∠A=∠ABE，

∴∠A=∠BHC，

∴∠BHC=2∠F.

∵∠BHC=∠F+∠FCH，

∴∠F=∠FCH，

∴HF=CH.

∵CH∥AB，

∴∠ABE=∠BHC，∠A=∠HCE，

∴∠BHC=∠HCE，

∴EH=EC.

∴AE+EC=BE+EH，即BH=AC=11.

∴DH=BH-BD=AC-BD=11-8=3，

∴CH=HF=BF-BH=2BD-BH=2×8-11=5.

在Rt△CDH中，由勾股定理，得

CD==4，

在Rt△CDB中，由勾股定理，得

BC==4.

11.82°　解析 ∵CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠B=∠D.设∠ACB=α，∠B=β，则∠ACD=α，∠D=β，∠EAC为△ACD的一个外角，∴α+β=49°.∵在△ABC中内角和为180°，

∴α+β+∠BAC=180°，

∴∠BAC=131°，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°.

12.6　解析 如图，

取BD中点H，连接AH，EH.

∵AB⊥AD，

∴AH=DH=BH=BD=2.5.

∴∠HDA=∠HAD.

∵DA平分∠FDB，

∴∠FDA=∠HDA.

∴∠FDA=∠HAD，

∴AH∥DF.

∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，

∴EH∥CD，EH=CD=3.5.

∴A，H，E三点共线.

∴AE=AH+EH=2.5+3.5=6.

13.解 (1)∠DAC的度数不会改变.

∵EA=EC，∴∠AED=2∠C.①

∵∠BAE=90°，

∴∠BAD=[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C.

∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C.②

由①②，得∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°.

(2)设∠ABC=m°，

则∠BAD=(180°-m°)=90°-m°，∠AEB=180°-n°-m°，

∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+m°.

∵EA=EC，

∴∠CAE=AEB=90°-n°-m°.

∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+m°+90°-n°-m°=n°.

14.解 (1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，且CE=AE=a，

∴DE∥BC，DE=BC.

∵∠C=90°，∴∠DEC=180°-∠C=90°.

∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，

∴四边形DECF为矩形，

∴DE=CF，∴CF=BC=(BF+CF)，

∴CF=BF=b.

则在Rt△CEF中，EF=.

(2)EF2=AE2+BF2，证明如下，

过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG.

∵BG∥AC，

∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB，

∵D是AB的中点，∴AD=BD，

在△EAD和△GBD中，

∴△EAD≌△GBD(AAS)，

∴ED=GD，AE=BG.

又∵DF⊥DE，

∴DF是线段EG的垂直平分线，

∴EF=FG.

∵∠ACB=90°，BG∥AC，

∴∠GBF=∠ACB=90°.

在Rt△BGF中，由勾股定理得

FG2=BG2+BF2，

∴EF2=AE2+BF2.