专题15.1 从分数到分式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.1 从分数到分式（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，明确一个代数式是分式的条件；
2. 能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
3. 能用分式表示现实情境中的数量关系
【要点整理】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
分式与分数的类比理解：
1、分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个
整式相除的商.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
2、 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数
更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
3、分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
特别指出
（1） 分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、
讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2） 本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的
值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
【典型例题】
类型一、分式的判断
1、 把下列各式填入相应的括号内:
－2a，，，，，，
整式集合：{ …}；
分式集合：{ …}
【答案】整式集合：{ －2a，，，，…}；分式集合：{ ，，，…}
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：－2a，的分母没有字母是整式，式子的分母含有字母是分式．
故答案为：整式集合：{ －2a，，…}；分式集合：{ ，…}
【点拨】本题考查了整式和分式的定义，熟练掌握相关概念是解题关键，注意：π不是字母，是常数．
举一反三：
【变式1】下列各式中，哪些是整式，哪些是分式，哪些是有理式？
（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）
（8） （9） （10） （11） （12）
【答案】见解析
【分析】根据整式、分式、有理式的基本概念来区分以下各式.
解：①②④⑧⑨（12）是整式，
③⑤⑥⑦⑩（11）是分式，
此12个代数式全都是有理式
【点拨】本题考查了整式、分式、有理式的概念，并区分它们的区别.
【变式2】思考：是分式还是整式？小明是这样想的：因为＝a2÷a＝a，而a是一个整式，所以是一个整式，你认为小明的想法正确吗？
【答案】不正确．
【解析】根据分式的定义即可判断.
解：小明的想法不正确．因为的分母中含有未知数，所以是分式．
类型二、分式的规律问题
2、 观察下列等式：1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…
（1）试写出第5个等式；
（2）写出第n个等式，并证明其正确性．
【答案】（1）；（2）n﹣＝，证明见解析．
【分析】
（1）根据已知的等式即可写出第5个等式；
（2）根据已知的等式即可写出第n个等式，再根据分式的运算法则即可验证．
解：（1）∵1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…，
∴第5个等式是：；
（2）1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…，
∴第n个等式是n﹣＝，
证明：左边＝
＝
＝
＝＝右边，
即n﹣＝成立．
【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知的式子写出第n个等式．
举一反三：
【变式1】观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式： ；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：_____________________；
（2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】
（1）根据规律写出第5个等式即可；
（2）依据（1）中的规律，将特殊转化为一半即可；
解：（1）；
（2）；
证明：右边左边；
∴等式成立．
【点拨】本题主要考查了数字找规律，准确计算是解题的关键．
【变式2】对于正数x，规定：．
例如：，，．
（1）填空：________；_______；_________；
（2）猜想：_________，并证明你的结论；
（3）求值：．
【答案】（1），，1；（2），证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据给出的规定计算即可；
（2）根据给出的规定证明；
（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．
解：（1） =， =，,+=1，
（2），
理由为：
，
则．
（3）原式

．
【点拨】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．
类型三、按要求构造分式
3、 阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．
当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数．
【分析】
（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
解：（1），
；
（2），
当，即；
当，即；
当，即；
当，即，
综上，，3，，时，分式的值也为整数．
【点拨】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是　 　；
（2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（3）若分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）x＝﹣2或0．
【分析】逆用同分母分式加减法法则，仿照题例做（1）（2）；（3）先把分式化为真分式，根据值为整数，x的值为整数确定x的值．
解：（1）＝
＝
故答案为：
（2）＝
＝﹣
＝2﹣；
（3）
＝
＝
＝x﹣1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
【点拨】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题例和题目给出的定义是解决问题的关键．
【变式2】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如＝1+．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像……这样的分式是假分式；像，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：


（1）分式是　 　分式（填“真”或“假”）；
（2）将分式 化成整式与真分式的和的形式；
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）是；（2）；（3）x＝0或x＝2
【分析】
（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案；
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．
解：（1）分子的次数小于分母的次数，所以是真分式；
（2）原式＝；
（3）原式＝.
由于该分式是整数，x是整数，
所以x﹣1＝±1
∴x＝0或x＝2
【点拨】本题考查了真假分式的定义，熟练掌握是解题的关键.
类型四、分式有意义的条件
4、 是否存在的值，使得当时，分式的值为0？
【答案】不存在的值，得当时，分式的值为0
【分析】根据分式有意义与分式值为零的条件即可得出结论
解：∵时，，
，
，
分式无意义，
不存在的值，得当时，分式的值为0．
【点拨】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的前提条件是分式有意义是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知，求的值．
【答案】3．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入所求代数式计算即可．
解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【点拨】本题考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】已知，求的值．
【答案】
【分析】由可得：且 可得的值，再求解 从而可得答案．
解： ，

且



【点拨】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
类型五、分式无意义的条件
5、 当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，．
【分析】
（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可．
解：（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或．
（2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
（3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义．
（4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
【点拨】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么．
举一反三：
【变式1】若式子无意义，求代数式（y+x）（y-x）+x2的值．
【答案】
【分析】根据式子无意义可确定y的值，再化简代数式，最后代入求值．
解：∵式子无意义，
∴，
解得：，




=．
【点拨】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义．
【变式2】已知，取哪些值时：
（1）的值是正数．
（2）的值是负数．
（3）的值是零．
（4）分式无意义．
【答案】（1）且；（2）；（3）；（4）
【分析】先在分式有意义的条件下化简，再考虑（1）、（2）、（3）、（4）小题.
（1）y的值是正数，则分式化简后的结果是正数，据此可求；
（2）y的值是负数，则分式化简后的结果是负数，据此可求；
（3）分式的值是0，则分式化简后的结果等于0，据此可求；
（4）分式无意义的条件是原分式的分母等于0，据此可求．
解：
=
=
由上可知，当时，分式有意义化简的结果是m+1；
（1）由y为正数得：＞0，
∴m＞-1且．
（2）由y为负数得：＜0，
∴m＜-1．
（3）由y为零得：=0，
∴m=-1．
（4）由分式无意义得：，
∴m=2．
【点拨】本题主要考查了分式的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，先化简再求解是解决本题的关键．易错点是第（1）问会漏了这个限制条件.
类型六、分式的值为零的条件
6、 当m为何值时，分式的值为0？
【答案】m=2
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
解：由题意得，m2-4=0，
解得，m=2或m=-2，
当m=-2时，m2-m-6=0，不合题意，
∴当m=2时，此分式的值为零．
【点拨】本题考查是的是分式有意义和分式的值为0的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
举一反三：
【变式1】若a，b为实数，且，求3a﹣b的值．
【答案】2
【分析】根据题意可得，解方程组可得a,b,再代入求值.
解：∵，
∴，
解得，
∴3a﹣b=6﹣4=2．
故3a﹣b的值是2．
【点拨】本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.
【变式2】若分式的值为零，求x的值．
莉莉的解法如下：
解：分式的值为零．
，．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法．
【答案】莉莉的解法不正确，正确的解法见解析．
【分析】
分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式计算即可求解．
解：莉莉的解法不正确，正确的解法如下：
分式的值为零，
且，解得．
【点拨】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
类型七、分式的求值
7、 已知，求的值．
【答案】
【分析】由可得，再取倒数可得：，即，再求解原代数式的倒数从而可得答案.
解：由知，
所以，即．
所以．
故的值为．
【点拨】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握是解题的关键.
举一反三：
【变式1】按要求完成下列各题
（1）若，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）已知多项式含有因式，求的值．
【答案】（1）-1；（2）-1；（3）-2
【分析】
（1）利用整式乘法求出，的值，再代入求值即可；
（2）利用完全平方公式和整体代入，用完全平方公式变形求解即可；
（3）由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是，则，则和时，，分别代入，得到关于、的二元一次方程组，解此方程组，求出、的值，进而得到的值．
解：（1），
，，
，，
把，代入得，
原式．
（2）令，，
根据题意得：
，，
原式．
（3），
能被整除，
设商是．
则，
则或时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当时，①，
当时，②，
①②，得，
，
．
．
【点拨】此题考查的是分式的值，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础，注意因式的特点，灵活解决问题．
【变式2】（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将已知等式变形为，代入中即可；
（2）由已知可知x-y=-5xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
解：（1）∵，
∴，
∴=；
（2）∵，
∴，
∴，
∴====．
【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型八、分式的值为正负时未知数的取值范围
8、 仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或②，
解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解
故
所以当，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
（1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？
（2）当x取何值时，分式的值为负？
【答案】（1）；（2），且．
【分析】
（1）先利用因式分解将变形为，再参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得；
（2）先将分式变形为，再根据分式有意义的条件可得，且，然后参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得．
解：（1）依题意得：，即，
则有①或②，
解不等式组①得：，解不等式组②得：不等式组无解，
故，
所以当时，的值为负；
（2），
为分式的分母，
，
解得，且，
依题意得，即，
，
，
则有③或④，
解不等式组③得：，解不等式组④得：不等式组无解，
故，
所以当，且时，分式的值为负．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用、因式分解、分式的值等知识点，读懂例题的思路，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
举一反三：
【变式1】例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2）
【分析】
（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；
（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．
解：（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解，
根据“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞3，
解不等式组②得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由题得不等式，
根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得①，或②，
解不等式组①得，，
不等式组②无解，
∴原不等式的解集为．
【点拨】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键．
【变式2】若分式的值恒为负值，试求x的取值范围.
【答案】．
【分析】首先要使分式有意义，然后再进一步通过约分化简分式，此时若分式的值恒为负值，则分子、分母异号，进而求解．
解：首先x2+4x+4≠0，(x+2)2≠0，x≠−2.又，
要使其值为负值，则x+2<0，
解得x<−2.
【点拨】本题考查分式和完全平方公式，解题的关键是用完全平方公式化简.
类型九、分式的为整数时未知数的整数值
9、 已知：代数式．
（1）当m为何值时，该式的值大于零？
（2）当m为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】（1）m＞1；（2）2，3，5
【分析】
（1）根据分式值大于0的条件计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
解：（1）∵0，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，即，当m＞1时，该式的值大于零；
（2）∵为正整数，∴m﹣1＝1或m﹣1＝2或m﹣1＝4，
解得：m＝2，3，5．∴当m为2，3，5时，该式的值为正整数．
【点拨】本题主要考查了分式的取值，准确分析计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】当x取何整数时，分式的值是整数？
【答案】x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
解：当x-1是6的约数时，分式的值才是整数.
解：∵分式的值是整数
∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1
解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
【变式2】探索：（1）如果，则n= ；
（2）如果，则n= ；
总结：如果（其中a、b、c为常数），则n= ；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】探索：（1）n=1；（2）n=-13；总结：n=b-ac；应用：x=2或x=0．
【分析】
(1) 将 变形为3 从而求出n的值
(2) 将 变形为5 从而求出n的值； 变形为 从而求出n的值；
仿上方法将化为，根据为整数，得到为整数，从而确定x的值.
解：

故答案为： 1


故答案为：-13
总结

故答案为：
应用
又∵代数式 的值为整数
为整数
或
或 0
【点拨】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．