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    专题15.1 从分数到分式(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
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    专题15.1 从分数到分式(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)

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    专题15.1 从分数到分式(知识讲解)
    【学习目标】
    1. 理解分式的概念,明确一个代数式是分式的条件;
    2. 能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
    3. 能用分式表示现实情境中的数量关系
    【要点整理】
    要点一、分式的概念
    一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.
    分式与分数的类比理解:
    1、分式的形式和分数类似,但它们是有区别的.分数是整式,不是分式,分式是两个
    整式相除的商.分式的分母中含有字母;分数的分子、分母中都不含字母.
    2、 分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数
    更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
    3、分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是否是分式不能先化简,如是分式,与有区别,是整式,即只看形式,
    要点二、分式有意义,无意义或等于零的条件
    1.分式有意义的条件:分母不等于零.
    2.分式无意义的条件:分母等于零.
    3.分式的值为零的条件:分子等于零且分母不等于零.
    特别指出
    (1) 分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义,就必须分析、
    讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零.
    (2) 本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的,也就是说分式中分母的
    值不等于零.
    (3)必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.
    【典型例题】
    类型一、分式的判断
    1、 把下列各式填入相应的括号内:
    -2a,,,,,,
    整式集合:{ …};
    分式集合:{ …}
    【答案】整式集合:{ -2a,,,,…};分式集合:{ ,,,…}
    【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
    解:-2a,的分母没有字母是整式,式子的分母含有字母是分式.
    故答案为:整式集合:{ -2a,,…};分式集合:{ ,…}
    【点拨】本题考查了整式和分式的定义,熟练掌握相关概念是解题关键,注意:π不是字母,是常数.
    举一反三:
    【变式1】下列各式中,哪些是整式,哪些是分式,哪些是有理式?
    (1)(2)(3)(4) (5)(6)(7)
    (8) (9) (10) (11) (12)
    【答案】见解析
    【分析】根据整式、分式、有理式的基本概念来区分以下各式.
    解:①②④⑧⑨(12)是整式,
    ③⑤⑥⑦⑩(11)是分式,
    此12个代数式全都是有理式
    【点拨】本题考查了整式、分式、有理式的概念,并区分它们的区别.
    【变式2】思考:是分式还是整式?小明是这样想的:因为=a2÷a=a,而a是一个整式,所以是一个整式,你认为小明的想法正确吗?
    【答案】不正确.
    【解析】根据分式的定义即可判断.
    解:小明的想法不正确.因为的分母中含有未知数,所以是分式.
    类型二、分式的规律问题
    2、 观察下列等式:1﹣=1×,2﹣=2×,3﹣=3×,…
    (1)试写出第5个等式;
    (2)写出第n个等式,并证明其正确性.
    【答案】(1);(2)n﹣=,证明见解析.
    【分析】
    (1)根据已知的等式即可写出第5个等式;
    (2)根据已知的等式即可写出第n个等式,再根据分式的运算法则即可验证.
    解:(1)∵1﹣=1×,2﹣=2×,3﹣=3×,…,
    ∴第5个等式是:;
    (2)1﹣=1×,2﹣=2×,3﹣=3×,…,
    ∴第n个等式是n﹣=,
    证明:左边=


    ==右边,
    即n﹣=成立.
    【点拨】此题主要考查分式的运算,解题的关键是根据已知的式子写出第n个等式.
    举一反三:
    【变式1】观察下列等式:
    第1个等式:;
    第2个等式: ;
    第3个等式:;
    第4个等式:;

    根据你观察到的规律,解决下列问题:
    (1)请写出第5个等式:_____________________;
    (2)请写出第个等式:___________________________(用含的等式表示),并证明.
    【答案】(1);(2),理由见解析
    【分析】
    (1)根据规律写出第5个等式即可;
    (2)依据(1)中的规律,将特殊转化为一半即可;
    解:(1);
    (2);
    证明:右边左边;
    ∴等式成立.
    【点拨】本题主要考查了数字找规律,准确计算是解题的关键.
    【变式2】对于正数x,规定:.
    例如:,,.
    (1)填空:________;_______;_________;
    (2)猜想:_________,并证明你的结论;
    (3)求值:.
    【答案】(1),,1;(2),证明见解析;(3).
    【分析】
    (1)根据给出的规定计算即可;
    (2)根据给出的规定证明;
    (3)运用加法的交换律结合律,再根据规定的运算可求得结果.
    解:(1) =, =,,+=1,
    (2),
    理由为:

    则.
    (3)原式


    【点拨】本题考查的是分式的加减,根据题意找出规律是解答此题的关键.
    类型三、按要求构造分式
    3、 阅读下面材料:
    在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,例如:,这样的分式就是假分式;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,例如:,这样的分式就是真分式我们知道,假分数可以化为带分数,例如:,类似地,假分式也可以化为“带分式”(即整式与真分式的和的形式)参考上面的方法解决下列问题:
    将分式,化为带分式.
    当x取什么整数值时,分式的值也为整数?
    【答案】(1),;(2),3,,时,分式的值也为整数.
    【分析】
    (1)两式根据材料中的方法变形即可得到结果;
    (2)原式利用材料中的方法变形,即可确定出分式的值为整数时整数的值.
    解:(1),

    (2),
    当,即;
    当,即;
    当,即;
    当,即,
    综上,,3,,时,分式的值也为整数.
    【点拨】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    举一反三:
    【变式1】分式中,在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数低于分母的次数,称这样的分式为真分式.例如,分式,是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数,称这样的分式为假分式.例如,分式,是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如,.
    (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是   ;
    (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和;
    (3)若分式的值为整数,求整数x的值.
    【答案】(1)1+;(2)2﹣;(3)x=﹣2或0.
    【分析】逆用同分母分式加减法法则,仿照题例做(1)(2);(3)先把分式化为真分式,根据值为整数,x的值为整数确定x的值.
    解:(1)=

    故答案为:
    (2)=
    =﹣
    =2﹣;
    (3)


    =x﹣1+,
    ∵分式的值为整数,且x为整数,
    ∴x+1=±1,
    ∴x=﹣2或0.
    【点拨】本题考查了真分式及分式的加减法.理解题例和题目给出的定义是解决问题的关键.
    【变式2】我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如=1+.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:像……这样的分式是假分式;像,……这样的分式是真分式.类似的,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式,例如:


    (1)分式是   分式(填“真”或“假”);
    (2)将分式 化成整式与真分式的和的形式;
    (3)如果分式的值为整数,求x的整数值.
    【答案】(1)是;(2);(3)x=0或x=2
    【分析】
    (1)根据定义即可求出答案;
    (2)根据题意给出的变形方法即可求出答案;
    (3)先将分式化为真分式与整式的和,然后根据题意即可求出x的值.
    解:(1)分子的次数小于分母的次数,所以是真分式;
    (2)原式=;
    (3)原式=.
    由于该分式是整数,x是整数,
    所以x﹣1=±1
    ∴x=0或x=2
    【点拨】本题考查了真假分式的定义,熟练掌握是解题的关键.
    类型四、分式有意义的条件
    4、 是否存在的值,使得当时,分式的值为0?
    【答案】不存在的值,得当时,分式的值为0
    【分析】根据分式有意义与分式值为零的条件即可得出结论
    解:∵时,,


    分式无意义,
    不存在的值,得当时,分式的值为0.
    【点拨】本题考查分式的值为零的条件,掌握分式的值为零的前提条件是分式有意义是解题关键.
    举一反三:
    【变式1】已知,求的值.
    【答案】3.
    【分析】根据非负数的性质列出方程求出x,y的值,代入所求代数式计算即可.
    解:知条件得,
    由②得,,∵ ,∴ ,则.
    把代入①得,=1.
    ∴ .
    【点拨】本题考查的是算术平方根,绝对值的非负性,分式有意义的条件,代数式的值,掌握以上知识是解题的关键.
    【变式2】已知,求的值.
    【答案】
    【分析】由可得:且 可得的值,再求解 从而可得答案.
    解: ,





    【点拨】本题考查的是算术平方根的非负性的应用,分式有意义的条件,代数式的值,掌握以上知识是解题的关键.
    类型五、分式无意义的条件
    5、 当x取何值时,下列分式有意义以及无意义?
    (1);(2);(3);(4).
    【答案】(1)分式有意义,且;分式无意义,或;(2)分式有意义,;分式无意义,;(3)为任意实数时,分式有意义;(4)分式有意义,;分式无意义,.
    【分析】
    (1)根据分式有意义的条件是分母不为0;列出不等式,求得x的取值范围即可;
    (2)根据分式有意义的条件是分母不为0;列出不等式,求得x的取值范围即可;
    (3)根据分式有意义的条件是分母不为0;列出不等式,求得x的取值范围即可;
    (4)根据分式有意义的条件是分母不为0;列出不等式,求得x的取值范围即可.
    解:(1)当时,分式有意义,解得且;当时,分式无意义,解得或.
    (2)当时,分式有意义,解得;当时,分式无意义,解得.
    (3)为任意实数时,,为任意实数时,分式有意义.
    (4)当时,分式有意义,解得;当时,分式无意义,解得.
    【点拨】本题考查分式有无意义的条件,解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么.
    举一反三:
    【变式1】若式子无意义,求代数式(y+x)(y-x)+x2的值.
    【答案】
    【分析】根据式子无意义可确定y的值,再化简代数式,最后代入求值.
    解:∵式子无意义,
    ∴,
    解得:,




    =.
    【点拨】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值.当分母等于0时,分式无意义.
    【变式2】已知,取哪些值时:
    (1)的值是正数.
    (2)的值是负数.
    (3)的值是零.
    (4)分式无意义.
    【答案】(1)且;(2);(3);(4)
    【分析】先在分式有意义的条件下化简,再考虑(1)、(2)、(3)、(4)小题.
    (1)y的值是正数,则分式化简后的结果是正数,据此可求;
    (2)y的值是负数,则分式化简后的结果是负数,据此可求;
    (3)分式的值是0,则分式化简后的结果等于0,据此可求;
    (4)分式无意义的条件是原分式的分母等于0,据此可求.
    解:
    =
    =
    由上可知,当时,分式有意义化简的结果是m+1;
    (1)由y为正数得:>0,
    ∴m>-1且.
    (2)由y为负数得:<0,
    ∴m<-1.
    (3)由y为零得:=0,
    ∴m=-1.
    (4)由分式无意义得:,
    ∴m=2.
    【点拨】本题主要考查了分式的值的正负,以及值是0、分式有意义的条件,先化简再求解是解决本题的关键.易错点是第(1)问会漏了这个限制条件.
    类型六、分式的值为零的条件
    6、 当m为何值时,分式的值为0?
    【答案】m=2
    【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算.
    解:由题意得,m2-4=0,
    解得,m=2或m=-2,
    当m=-2时,m2-m-6=0,不合题意,
    ∴当m=2时,此分式的值为零.
    【点拨】本题考查是的是分式有意义和分式的值为0的条件,掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
    举一反三:
    【变式1】若a,b为实数,且,求3a﹣b的值.
    【答案】2
    【分析】根据题意可得,解方程组可得a,b,再代入求值.
    解:∵,
    ∴,
    解得,
    ∴3a﹣b=6﹣4=2.
    故3a﹣b的值是2.
    【点拨】本题考核知识点:分式性质,非负数性质.解题关键点:理解分式性质和非负数性质.
    【变式2】若分式的值为零,求x的值.
    莉莉的解法如下:
    解:分式的值为零.
    ,.
    请问莉莉的解法正确吗?如果不正确,请写出正确的解法.
    【答案】莉莉的解法不正确,正确的解法见解析.
    【分析】
    分式的值为零时,分子等于零,且分母不等于零.依此列出算式计算即可求解.
    解:莉莉的解法不正确,正确的解法如下:
    分式的值为零,
    且,解得.
    【点拨】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
    类型七、分式的求值
    7、 已知,求的值.
    【答案】
    【分析】由可得,再取倒数可得:,即,再求解原代数式的倒数从而可得答案.
    解:由知,
    所以,即.
    所以.
    故的值为.
    【点拨】本题考查的是利用倒数法求解分式的值,掌握是解题的关键.
    举一反三:
    【变式1】按要求完成下列各题
    (1)若,求的值.
    (2)已知,求的值.
    (3)已知多项式含有因式,求的值.
    【答案】(1)-1;(2)-1;(3)-2
    【分析】
    (1)利用整式乘法求出,的值,再代入求值即可;
    (2)利用完全平方公式和整体代入,用完全平方公式变形求解即可;
    (3)由于,而多项式能被整除,则能被整除.运用待定系数法,可设商是,则,则和时,,分别代入,得到关于、的二元一次方程组,解此方程组,求出、的值,进而得到的值.
    解:(1),
    ,,
    ,,
    把,代入得,
    原式.
    (2)令,,
    根据题意得:
    ,,
    原式.
    (3),
    能被整除,
    设商是.
    则,
    则或时,右边都等于0,所以左边也等于0.
    当时,①,
    当时,②,
    ①②,得,



    【点拨】此题考查的是分式的值,熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础,注意因式的特点,灵活解决问题.
    【变式2】(1)已知,求分式的值;
    (2)已知,求分式的值.
    【答案】(1);(2)
    【分析】
    (1)将已知等式变形为,代入中即可;
    (2)由已知可知x-y=-5xy,然后代入所求的式子,进行约分就可求出结果.
    解:(1)∵,
    ∴,
    ∴=;
    (2)∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴====.
    【点拨】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    类型八、分式的值为正负时未知数的取值范围
    8、 仔细阅读下面的材料并解答问题:
    例题:当x取何值时,分式的值为正?
    解:依题意得>0,则有①或②,
    解不等式组①得,解不等式组②得不等式组无解

    所以当,分式的值为正.
    依照上面方法解答问题:
    (1)当x取何值时,x2﹣3x的值为负?
    (2)当x取何值时,分式的值为负?
    【答案】(1);(2),且.
    【分析】
    (1)先利用因式分解将变形为,再参照例题可得两个不等式组,解不等式组即可得;
    (2)先将分式变形为,再根据分式有意义的条件可得,且,然后参照例题可得两个不等式组,解不等式组即可得.
    解:(1)依题意得:,即,
    则有①或②,
    解不等式组①得:,解不等式组②得:不等式组无解,
    故,
    所以当时,的值为负;
    (2),
    为分式的分母,

    解得,且,
    依题意得,即,


    则有③或④,
    解不等式组③得:,解不等式组④得:不等式组无解,
    故,
    所以当,且时,分式的值为负.
    【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用、因式分解、分式的值等知识点,读懂例题的思路,熟练掌握不等式组的解法是解题关键.
    举一反三:
    【变式1】例:解不等式(x﹣2)(x+3)>0
    解:由实数的运算法则:“两数相乘,同号得正”
    得①,或②,
    解不等式组①得,x>2,
    解不等式组②得,x<﹣3,
    所以原不等式的解集为x>2或x<﹣3.
    阅读例题,尝试解决下列问题:
    (1)平行运用:解不等式x2﹣9>0;
    (2)类比运用:若分式的值为负数,求x的取值范围.
    【答案】(1)x>3或x<﹣3;(2)
    【分析】
    (1)结合题中的方法,先对不等式左边因式分解为两个多项式,再分类讨论即可;
    (2)利用“两数相除,同号得正,异号得负”结合题干的方法分类讨论即可.
    解:(1)解不等式x2﹣9>0,即为解,
    根据“两数相乘,同号得正”
    得①,或②,
    解不等式组①得,x>3,
    解不等式组②得,x<﹣3,
    ∴原不等式的解集为x>3或x<﹣3;
    (2)由题得不等式,
    根据“两数相除,同号得正,异号得负”
    得①,或②,
    解不等式组①得,,
    不等式组②无解,
    ∴原不等式的解集为.
    【点拨】本题考查一元二次不等式,以及分式不等式,理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键.
    【变式2】若分式的值恒为负值,试求x的取值范围.
    【答案】.
    【分析】首先要使分式有意义,然后再进一步通过约分化简分式,此时若分式的值恒为负值,则分子、分母异号,进而求解.
    解:首先x2+4x+4≠0,(x+2)2≠0,x≠−2.又,
    要使其值为负值,则x+2<0,
    解得x<−2.
    【点拨】本题考查分式和完全平方公式,解题的关键是用完全平方公式化简.
    类型九、分式的为整数时未知数的整数值
    9、 已知:代数式.
    (1)当m为何值时,该式的值大于零?
    (2)当m为何整数时,该式的值为正整数?
    【答案】(1)m>1;(2)2,3,5
    【分析】
    (1)根据分式值大于0的条件计算即可;
    (2)根据值为整数进行判断求解即可;
    解:(1)∵0,
    ∴m﹣1>0,
    ∴m>1,即,当m>1时,该式的值大于零;
    (2)∵为正整数,∴m﹣1=1或m﹣1=2或m﹣1=4,
    解得:m=2,3,5.∴当m为2,3,5时,该式的值为正整数.
    【点拨】本题主要考查了分式的取值,准确分析计算是解题的关键.
    举一反三:
    【变式1】当x取何整数时,分式的值是整数?
    【答案】x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
    解:当x-1是6的约数时,分式的值才是整数.
    解:∵分式的值是整数
    ∴x-1=±6或x-1=±3或x-1=±2或x-1=±1
    解得:x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7
    【变式2】探索:(1)如果,则n= ;
    (2)如果,则n= ;
    总结:如果(其中a、b、c为常数),则n= ;
    应用:利用上述结论解决:若代数式的值为为整数,求满足条件的整数x的值.
    【答案】探索:(1)n=1;(2)n=-13;总结:n=b-ac;应用:x=2或x=0.
    【分析】
    (1) 将 变形为3 从而求出n的值
    (2) 将 变形为5 从而求出n的值; 变形为 从而求出n的值;
    仿上方法将化为,根据为整数,得到为整数,从而确定x的值.
    解:

    故答案为: 1


    故答案为:-13
    总结

    故答案为:
    应用
    又∵代数式 的值为整数
    为整数

    或 0
    【点拨】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题,可以根据对应项相等的原则解答.

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