专题11.7 三角形角平分线几何模型（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.7 三角形角平分线几何模型（知识讲解）模型1：内分分模型如图一模型2：内外分模型如图二模型三：外外分模型 如图三模型四：飞镖+角平分线模型飞镖模型内角关系模型： 图四飞镖模型内角平分线模型：图五【典型例题】类型一、内分分模型 1． 如图，的角平分线相交于点．（1）若，则________；（2）试探究与之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）60；（2），见解析．【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可．解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为60．（２）∠DPC=90°-∠A ，理由：的平分线相交于点，， ，∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A．故答案为：90°-∠A．【点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．类型二、内外分模型 2．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系. 【答案】 【分析】先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出∠A1与∠A的关系，同理得出∠A2与∠A1的关系，从而推导出∠A2与∠A的关系，……，进而归纳出∠An与∠A的关系，即可得出答案. 解：在中，有∠ACD=∠A+∠ABC，在中，有∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵与的平分线相交于，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC，∴∠A1=∠A，同理，∠A2=∠A1，即∠A2=∠A，由此可得，∠A3=∠A，……∴.【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A1、∠A2……∠An与A的关系是解题的关键. 类型三、 外分分模型 3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为　 　；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是　 　；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】（1）70°（2） （3）①见解析 ②不成立；或【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系． 解：（1）如图1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°， 故答案为：70°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，故答案为：α+β﹣∠A＝90°；（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时， 由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．【点拨】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．类型四、 飞镖模型 4．（2019·全国九年级单元测试）如图，已知在中，，、分别平分、，相交于点，、分别平分、，相交于点，求、的度数.【答案】；. 【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论即可得出答案 解：由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，；；、分别平分、，相交于点，是的平分线，．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．