专题1.19 《探索三角形全等》几何模型-“手拉手”（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.19 《探索三角形全等》几何模型-“手拉手”

（知识讲解）

       图一                                     图二

    图三                   图四                           图五

       图六                               图七

手拉手模型的定义：

定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。

特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）

3、如右图：手拉手模型的重要结论：

结论1：（SAS）

BC=(左手拉左手等于右手拉右手)

结论2：（利用三角形全等及顶角相等

的等腰三角形底角相等）

结论3：AO平分O（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）

典型例题讲练：

例题1．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：

（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是       ，此线BD和CE的数量关系是         

（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：

（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、

【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．

【分析】

（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；

（2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果；

（3）根据已知条件证明即可得到证明；

 解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，

∴，

即，

∴，

∴BD=CE；

（2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．

所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．

所以∠DAB=∠EAC．

在△DAB和△EAC中，

所以△DAB≌△EAC（SAS）．

所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．

因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，

所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．

即∠DBC+∠ECB=90°．

所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．

所以BD⊥CE．

综上所述：BD=CE且BD⊥CE．

（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．

由图可知，AD=AB，AE=AC，

∴，

即，

∴，

∴BE=CD，，

又∵，

∴，

∴，

∴∠PBC+∠PCB=60°．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键．

举一反三

变式1：如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．

（1）求证：AE＝BD；

（2）求∠AFD的度数．

【答案】（1）详情见解析；（2）

【分析】

（1）利用角的等量代换求出，再判断即可求解；

（2）利用全等三角形的性质得到，再通过角的等量代换求解即可．

解：（1）∵，

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

（2）设与的交点为，如图所示：

∵

∴

∵，，且

∴

∴

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活运用角的等量代换是解题的关键．

例题2．已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．

（1）以下结论正确的有              ；

①AD=BE   ②∠EFD=60°   ③MC=NC   ④∠AMB=∠END

（2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示．

①问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；

②连接FC，如图3所示，求证：FC平分∠BFD

【答案】（1）①②③；（2）① ①②；②见解析．

【分析】

（1）①根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE；

②根据三角形外角关系得∠EFD=∠EBC+∠ADC=∠DAC+∠ADC=∠ACB=60°,从而可得结论；

③连接MN，证明△MCN是等边三角形即可得出结论；

④，而AC ≠CD得，从而可得出结论；

（2）①方法同（1），逐个结论进行证明即可；

②作于点G，H，证明△BGC≌△AHC，△CGF≌△CHF可得∠，从而可得结论．

 解：（1）∵△ABC，△ECD是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°

∴∠ACD=∠BCE=∠120°

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，故①正确；

∴∠FEN=∠NDC

又∵∠ENF=∠CND

∴∠EFD=∠ECD=60°，故②正确；

又∵∠ACE=∠NCD=60°

∠MEC=∠NDC

EC=CD

∴△EMC≌△DNC

∴MC=NC，故③正确；

又∵∠AMB=∠ACB+∠ECB=60°+∠ECB，∠END=∠ECD+∠NDC=60°+∠NDC

而

∴

∴

∴，故④错误；

故答案为：①②③；

（2）∵∠ACB=∠ECD=60°

∴∠BCE=∠ACD

又AC=BC，CE=CD

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE,故①正确；

∴∠ADC=∠BEC

又∠ENF=∠CND

∴∠EFD=∠ECD=60°，故②正确

∵∠ACE≠60°=∠ECD

∴△EMC不全等于△DNC，

∴MC≠NC，故③错误

（3）于点G，H，如图，

由(2)②知，∠CBG=∠CAH

AC=BC

∠BGC=∠AHC=90°

∴△BGC≌△AHC

∴CG=CH

又CF=CF，∠CGF=∠CHF=90°

∴△CGF≌△CHF

∴∠CFG=∠CFH

∴FC平分∠BFD

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．

举一反三

变式：如图，在中，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先证明△DCB≌△ACE，求出∠CAE＝∠CDB，再利用“8字型”证明∠AOH＝∠DCH＝60°即可解决问题．

解：如图：AC与BD交于点H，
∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，，
∴△DCB≌△ACE，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，
∴∠AOH＝∠DCH＝60°，
∴∠AOB＝180°−∠AOH＝120°．
故选：B.

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．

例题3．（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，

如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．

（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．

（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有　　　　．(将所有正确的序号填在横线上)．

（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

【答案】（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．

【分析】

（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．

（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如图2，

∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，要使OC=OE，则有OC=CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，

延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．

【点拨】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．

举一反三

变式：如图，为线段上一动点(不与点重合)，在同侧分别作等边三角形和等边三角形与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，恒成立的是______．

【答案】①②③④

【分析】

①由△ABC和△CDE都是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACD=∠BCE=120°，所以△ACD≌△BCE（SAS），从而AD=BE，故①正确；②④由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之AC=BC，易得∠ACB=∠BCQ=60°，可证△CQB≌△CPA（ASA），从而CP=CQ，再加之∠PCQ=60°，可推出△PCQ为等边三角形，易得∠PQC=60°=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②④正确；③结合△ACD≌△BCE和三角形的外角的性质，可得∠AOB=60°，故③正确．

解：①∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

∵在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，

故①正确；

④②∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠DAC，

∵由∠ACB=∠DCE=60°得∠BCD=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

又∵AC=BC，

∴△CQB≌△CPA（ASA），

∴CP=CQ，

又∵∠PCQ=60°

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=60°，

∴∠PQC=60°=∠DCE

∴PQ∥AE

故②④正确；

③∵△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

又∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，

∴∠AOB=∠ACB=60°，

故③正确.

故答案为：①②③④.

【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练应用三角形全等的判定是解题的关键．