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专题13.10 等腰三角形（专项练习2）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题13.10 等腰三角形（专项练习2）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了等角对等边求边长，直线上与已知两点构成等腰三角形，图形上一点与两点构成等腰三角形，尺规作图-等腰三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形边角的不等关系，等腰三角形定义等内容，欢迎下载使用。
专题13.10 等腰三角形（专项练习2）
一、 单选题
知识点九、等角对等边求边长
1．如图，上午8时，一艘船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，9时40分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，则B处到灯塔C的距离是( )
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．15
4．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．6
知识点十、直线上与已知两点构成等腰三角形
5．如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．8
6．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
7．如图，B是直线l上的一点，线段AB与l的夹角为α（0°＜α＜90°），点C在l上，若以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使是等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点十一、图形上一点与两点构成等腰三角形
9．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有( )个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图,直线l是矩形ABCD的一条对称轴,AD=2AB,点P是直线l上一点,且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形,则满足条件的点P共有( )个.
A．1 B．2 C．3 D．5
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（ ）
A．（0，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（4，2）
12．如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点十二、尺规作图-等腰三角形
13．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
16．“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是
A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线
C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角
知识点十三、等腰三角形的性质与判定
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．80°
18．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
20．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．则这四个结论中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知识点十四、三角形边角的不等关系
21．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
22．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（ ）
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
23．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（ ）．
A．18 B．21 C．18或21 D．13或18
24．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为( )
A．12 B．17 C．17或19 D．19
知识点十五、等腰三角形定义
25．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
26．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
27．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
28．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
二、 填空题
知识点九、等角对等边求边长
29．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长为____．
30．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若的周长是4cm，则AB的长为_________cm．
31．如图，在中，BO，CO分别是和的平分线，过O点的直线分别交AB､AC于点D､E，且．若，则的周长为________．
32．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．
知识点十、直线上与已知两点构成等腰三角形
33．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形．
34．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为_____．
35．如图，在xOy中，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有_____个．
36． 在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB 的顶点A的坐标为（2，2），底为OA，且B在坐标轴上，则B的坐标为___．
知识点十一、图形上一点与两点构成等腰三角形
37．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________．
38．过三角形一个顶点的直线，把原三角形分割成两个三角形，要求分得的两个三角形中至少有一个是等腰三角形．
（1）如果原三角形是顶点为108°的等腰三角形，这样的直线有________条．
（2）如果原三角形是等腰直角三角形，这样的直线有________条．
（3）如果原三角形是有一个锐角是30°的直角三角形，这样的直线有________条．
39．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形？
40． 在平面直角坐标系中，点A与点B的坐标分别是A(1,0)和B(5,0).以线段AB为底边作高为2的等腰三角形ABC，则顶点C的坐标为______.
知识点十二、尺规作图-等腰三角形
41．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．
42．已知：如图，∠PAQ＝18°，点B是边AP上（不同于点A）的一个点，现以点B为圆心，AB长为半径画弧与AQ交于点C（不同于点A），再以点C为圆心，CB长为半径画弧与AP、AQ分别相交于点D（不同于点B）、E，连接DE，则∠AED的度数是_____．
43．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有_____个．
44．△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE=______．
知识点十三、等腰三角形的性质与判定
45．如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为_______.
46．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
47．如图，在△ADC中，B是AC上一点，AD＝BD＝BC．若∠C＝25°，则∠ADB的度数是________°．
48．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若BD＝BC，则∠A＝________度.
知识点十四、三角形边角的不等关系
49．等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为________
50．一个等腰三角形的边长分别是3和6，则其周长是________．
51．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______．
52．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 ______ cm．
知识点十五、等腰三角形定义
53．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
54．等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为__．
55．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_____．
56．如图△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.
三、 解答题
知识点九、等角对等边求边长
57．如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）尺规作图：在图中作出角平分线BD，交AC于点D（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）已知DE//AB交BC于点E，若BE=5cm，CE=3cm，求△CDE的周长．
知识点十、直线上与已知两点构成等腰三角形
58．如图所示，已知及边上两点A和B，用直尺和圆规在的角平分线上求作点P，使得是以为底边的等腰三角形，（不写作法，保留作图痕迹）
知识点十一、图形上一点与两点构成等腰三角形
59．如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，O为原点，OB在x轴上，∠AOB＝60°，点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），点D在第二象限，且△ABO≌△DCO．
（1）请直接写出点D的坐标_____；
（2）点P在直线BC上，且△PCD是等腰直角三角形，请画出图形并求点P的坐标．
知识点十二、尺规作图-等腰三角形
60．图1、图2均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，
（1）点C在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图1中用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置，
（2）如图2，点D、M、N均在格点上，请用无刻度的直尺在线段MN上找到一点E，使线段DE＝12AB．（保留作图痕迹）
知识点十三、等腰三角形的性质与判定
61．如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE=∠BAD．
知识点十四、三角形边角的不等关系
62． 已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，求的周长并判断的形状.
知识点十五、等腰三角形定义
63．（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？
参考答案
1．B
【分析】根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等腰三角形，而AB的长易求，根据等腰三角形的性质，即可得出BC的值．
解：据题意得：∠A=26°，∠NBC=52°．
∴∠C=∠NBC-∠A=52°-26°=26°，
∴∠A=∠C=26°，
∴AB=BC．
∵AB=1525，
∴BC=25(海里)．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识解决实际问题的方法．
2．D
【分析】略
解：∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5．
故选D．
【点拨】略
3．B
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB=∠CBE，等量代换得到∠ABE=∠DEB，求得BD=DE=8，即可得到结论．
解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE=8，
∵AB=AD+BD，
∴AB=5+8=13．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
4．C
【分析】先根据等腰三角形三线合一知D为BC中点，由点E为AC的中点知DE为△ABC中位线，故△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.
解：∵AB=AC=15，AD平分∠BAC，
∴D为BC中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∴DE=AB，
∴△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.
∴AB+AC+BC=42，
∴BC=42-15-15=12，
故选C.
【点拨】此题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一定理.
5．B
【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论
解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个
由上可知，满足条件的点N共有4个
故选：B
【点拨】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键
6．C
【分析】根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
【点拨】此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
7．D
【分析】根据条件可知α为锐角，此时画图判断即可．
解：如图所示，满足条件的点有4个
分别是AC3=AB，AB=BC2，AC1=BC，AB=BC．
故选：D
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．
8．D
【分析】分别以∠A、∠B、∠C为顶角进行讨论即可求得答案．
解：∵△ABC为等腰三角形，
∴分三种情况：
①当以∠C为顶角时，则有BC=AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；
②当以∠A为顶角时，则有AC=AB，由两直线夹角为50°，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；
③当以∠B为顶角时，则有AB=CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线n的上方，有两个点，
综上可知满足条件的C点有4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点C的位置是解题的关键，注意分类讨论．
9．D
【分析】根据等腰三角形的判定可得答案．
解：如图所示，满足条件的点P的个数有5个，
故选D．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解．
10．B
【分析】如图，设直线l交AD于P1，交BC于P2．只要证明四边形ABP2P1是正方形，可知△ABP1，△ABP2是等腰三角形，作AB的垂直平分线交直线l于P3，则△ABP3是等腰三角形，再考虑△PBC是等腰三角形，即可解决问题．
解：如图，设直线l交AD于P1，交BC于P2．
∵四边形ABCD是矩形，直线l是对称轴，
∴四边形ABP2P1是正方形，
∵AD=2AB，
∴AP1=AP2，
∴四边形ABP2P1是正方形，
∴△ABP1，△ABP2是等腰三角形，
作AB的垂直平分线交直线l于P3，则△ABP3是等腰三角形，
同时满足△PBC是等腰三角形的点只有P1，P3，
∴满足条件的点P共有2个，
故选：B．
【点拨】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的判定、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
11．D
【分析】利用描点法，描出各个点即可判断．
解：观察图象可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形，
故选：D．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．C
【分析】线段AB可为等腰三角形的底边，也可为腰，所以分情况进行讨论即可．
解：分两种情况：
①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，如图1所示：
其中AB=AC时，有1个；AB=BC时，有2个；
②当AB为底边时，有1个，如图2所示：
∴△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4个．
故选C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，运用数形结合思想及分类讨论思想是正确解答本题的关键．
13．D
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．
解：∵AB=AC，
∴．
由作图痕迹可知BC=BD，
∴．
∴．
故选D．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键．
14．B
【分析】由作图知AB=BD，，由三角形内角和，∠BAD=∠BDA，利用两角的差求即可∠DAC=．
解：∵由作图知AB=BD，，
∴∠BAD=∠BDA=，
∴∠DAC=．
故选：B．
【点拨】本题考查尺规作图，由图得结论，利用三角形内角和求出底角，会计算角的和差是解题关键．
15．D
解：试题分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现交点．
解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；
②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；
③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．
如图所示，显然这样的点有8个．
故选D．
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
16．A
【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断．
解：当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段，
然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线，
因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点，
最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形，
故选：A．
【点拨】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键．
17．A
【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°−∠A）÷2=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
故选：A．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键．
18．D
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小．
解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故选D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
19．B
解：试题分析：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
故选B．
考点：等腰三角形的性质.
20．B
【分析】根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；由AQ=PQ，利用等边对等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1，等量代换，从而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确．
解：①PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；
②由①中的全等也可得AS=AR；
③如图所示
∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；
④∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
21．B
【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解．
解：连接PC，如图所示：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴的周长为，
若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，
∵，
∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长，
∴的周长最小值为；
故选B．
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键．
22．A
【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可．
解：∵|AC-BC|=2cm，
∴AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm，
∵BC=8cm，
∴AC=（2+8）cm或AC=（8-2）cm，即10cm或6cm．
故选A．
【点拨】本题考查绝对值和等腰三角形的性质，掌握绝对值的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
23．C
【分析】利用三角形的任意两边之和大于第三边，即等腰三角形的定义即可得出．
解：由于三角形的任意两边之和大于第三边，由等腰三角形一边等于5，另一边等于8．
当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21．
当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质、等腰三角形的定义及其周长，属于基础题．
24．C
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和7，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰为5时，三边长分别为5，5，7，符合三角形的三边关系，则其周长是5×2+7=17；
当腰为7时，三边长为7，7，5，符合三角形三边关系，则其周长是7×2+5=19．
所以其周长为17或19．
故选C
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质；题目涉及分类讨论的思想方法，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
25．C
解：试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．故选C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
26．B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝22．
故选B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
27．D
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
28．A
解：试题分析：当3为腰时，则3+3=6＜7，不能构成三角形，则等腰三角形的腰长为7，底为3，则周长为：7+7+3=17.
考点：等腰三角形的性质
29．10cm
【分析】由角平分线和平行线的性质，等量代换得到∠MBO=∠MOB，再由等角对等边得到OM=BM，同理ON=CN，从而求得结果．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
又OM∥AB，
∴∠ABO=∠MOB，
∴∠MBO=∠MOB，
∴OM=BM，
同理ON=CN，
∵BC=10cm，
则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．
故答案为：10cm．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
30．4
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出AB=△BDE的周长．
解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，
∴AB=4cm．
故答案为：4．
【点拨】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是利用线段和差把三角形的周长转化为AB的长．
31．
解：，，又是的平分线，，，，同理：，的周长．
32．2
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．
解：作EH⊥OA于H．
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．
∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
33．30°或75°或120°
解：试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，
当点P为顶点时，∠A=30°，
故答案为30°或75°或120°．
34．75°或120°或15°
【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
解：如图，有三种情形：
①当AC=AD时，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠CAB=30°，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=（180°-∠CAB）=75°；
②当CD′=AD′时，
∵∠CAB=30°，
∴∠D′CA=∠CAB=30°，
∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°．
③当AC=AD″时，则∠AD″C=∠ACD″，
∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB，
∴∠AD″C=15°，
故答案为：75°或120°或15°．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
35．6
【分析】分类讨论：AB＝AC时，AB＝BC时，AP＝BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
解：①当AB＝AC时，在y轴上有2点满足条件的点C，在x轴上有1点满足条件的点C．
②当AB＝BC时，在y轴上有1点满足条件的点C，在x轴上有2点满足条件的点C，有1点与AB＝AC时的x轴负半轴的点C重合．
③当AC＝BC时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点C，有1点与AB＝AC时的x轴负半轴的点C重合．
综上所述：符合条件的点C共有6个．
故答案为：6．
【点拨】此题主要考查构造等腰三角形，解题的关键根据题意画出图形求解.
36．（2，0），（0，2）
【分析】根据题意，当点B在AO的中垂线与坐标轴的交点处时，△AOB是等腰三角形，即可得出答案．
解：如图，作AO的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点B、B′，则点B、B′就是符合条件的点，连接AB、AB′，
∵A的坐标为（2，2），
∴OA平分∠BOB′，
∴∠BOE=∠B′OE=45°，
∵BB′垂直平分OA，
∴OB=AB，∠OEB=∠AEB=90°，OE=AE，
∴∠OBE=90°-∠BOE=45°，
∴△OEB≌△AEB，
∴∠ABE=∠OBE=45°，
∴∠OBA=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=AB=2，
∴B（2，0），
同理，B'（0，2），
故答案为：（2，0），（0，2）．
【点拨】本题考查了的等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；熟练掌握等腰三角形的顶角顶点一定在底边的垂直平分线上是比较关键的．
37．100°或55°或70°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
38．2 3 4
【分析】（1）根据题意，可先得出底角，然后即可判定直线；
（2）首先斜边的高符合题意，高的两侧各有一条；
（3）过90°角顶点有两条，过60°角顶点有两条.
解：（1）如图所示的两条虚线：
故答案为：2；
（2）如图所示的3条虚线：
故答案为：3；
（3）如图所示4条虚线：
故答案为：4.
【点拨】此题主要考查等腰三角形以及直角三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
39．6或18
【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足
因此有18−2t=t
解得t=6(s)
（2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形，
∵
∴ΔPOQ也是等边三角形
因此有2t−18=t
解得t=18(s)
综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形
故答案为：6或18．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
40．(3,2)(3,−2).
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后作出AB的垂直平分线，点C就在AB的垂直平分线上，且到AB的距离为2，故C点有两种情况，①C在第一象限，②C在第四象限．
解：如图所示：作AB的垂直平分线CD，
∵A(1,0)和B(5,0)，
∴D(3,0)，
∵高为2，
∴CD=2，
∴C(3,2)(3,−2).
故答案为(3,2)(3,−2).
【点拨】此题考查坐标与图形性质，等腰三角形的判定，解题关键在于画出图形.
41．20°
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
解：在中，，，
，
，
，
．
故答案为：20°
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
42．63°
【分析】依次根据等腰三角形的性质可得：，由三角形外角的性质得：和的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论．
解：如图，连接CD，
∵AB＝BC，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质以及对于三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和的应用.
43．6
解：如下图，符合条件的点P共有6个.
点睛：（1）分别以点A、B为圆心，AB为半径画A和B，两圆和两坐标轴的交点为所求的P点（与点A、B重合的除外）；（2）作线段AB的垂直平分线与两坐标轴的交点为所求的P点（和（1）中重复的只算一次）.
44．67.5°
【分析】根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠ACB的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求出∠BDE的度数．
解：∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°,
∵以B为圆心,BC长为半径画弧,
∴BE=BD=BC,
∴∠BDC=∠ACB=75°,
∴∠CBD=180°-75°-75°=30°,
∴∠DBE=75°-30°=45°,
∴∠BED=∠BDE=（180°-45°）=67.5°,故答案为67.5°．
【点拨】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求得答案．
45．9.
【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.
解：因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
46．
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
解：
①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
47．80
【分析】利用等边对等角以及三角形外角定理，结合三角形内角和定理即可求得答案.
解：∵BD＝BC，∠C＝25°，
∴
∴
∵AD＝BD
∴
在中，
故答案为：
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．
48．36
【解析】
分析：题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
详解：∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠C=∠BDC=2∠A， 又∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°．
点睛：本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
49．19
【解析】试题解析：当腰长为3时，则三角形的三边长为：3、3、8；
∵3+3＜8，
∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为8，则其周长=8+8+3=19．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
50．
【分析】分边长3为腰和6为腰进行讨论求解即可．
解：∵一个等腰三角形的边长分别是3和6，
∴当边长3为腰时，则另一腰为3，底边为6，但3+3=6不构成三角形；
当边长6为腰时，则另一腰为6，底边为3，满足6+6＞3，
所以，该等腰三角形的周长为6+6+3=15，
故答案为：15．
【点拨】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，能根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解答的关键，注意构成三角形的条件．
51．8，8
【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案．
解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，
则有x+4×2=20，
解得：x=12，
此时，三角形的三边长为4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以组成三角形；
若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，
则有2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以组成三角形；
∴三角形的另两边的长分别为8，8．
故答案为：8，8．
【点拨】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．
52．15
【解析】
根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系．
53．60°或120°
【分析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
解：如图（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°；
如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=120°；
综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．
【点拨】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
54．11或13
【分析】根据题意考虑3是腰长或底边，分两种情况讨论求解．根据三角形三边关系判断能否组成三角形．
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，
∵3+3＞5，5-3＜3
∴三角形的三边分别为3、3、5能组成三角形，周长=3+3+5=11，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5，
∵5+3＞5，5-3＜5
∴三角形的三边分别为3、5、5能组成三角形，周长=3+5+5=13，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13
故答案为：11或13
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形三边关系判断已知边长的三边能否组成三角形．
55．6和4或5和5．
解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理．
故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5．
56．68°
解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠BED=∠FDC=90°，
又∵∠B=∠C，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠AFD=158°
∴∠EDB=∠CFD=180°-158°=22°
∴∠EDF=90°-∠EDB=90°-22°=68°
57．（1）见解析；（2）13cm．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法可以得解；
（2）由角平分线定义和平行线性质，结合已知可以得到： CD=DE=BE=5cm，进一步可以得到解答．
解：（1）作图如下：
（2）如图，∵DE//AB，∴
由已知，∴
∴，∴ CD=DE=BE=5cm
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=13cm．
【点拨】本题考查尺规作图、平行线的性质和三角形周长的综合应用，掌握常用图形的作图方法和平行线的灵活应用是解题关键．
58．见解析
【分析】先作∠AOB的平分线，接着作线段AB的垂直平分线，交角平分线于点P即可．
解：如图，点P为所作．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
59．（1）D（﹣3，3）；（2）画图形见解析，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（，3+），（，）．
【分析】（1）由△ABO≌△DCO，利用全等三角形的性质可得CD＝BA，由点A坐标为（3，3 ），点C的坐标为（0，3），可得D点的坐标；
（2）首先利用全等三角形的性质可得OC＝OB＝3，∠BOC＝90°，易得∠OBC＝45°，分类讨论当CD为直角边时，过点D作P1D⊥CD，交BC于点P1，由DC∥OB，可得
△P1DC为等腰直角三角形，易得 ，可得P1点的坐标；当CD为斜边时，过D点作DP2⊥BC交BC于点P2，易得△CDP2是等腰直角三角形，作P2E⊥CD，可得CE＝DE＝，易得P2点的坐标．
解：（1）点D在第二象限，正确画出△COD如图所示，
∵△ABO≌△DCO，
∴CD＝BA，
∵点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），
∴D（﹣3，3），
故答案为：（﹣3，3）；
（2）∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
①当CD为直角边时，如图，过点D作P1D⊥CD，交BC于点P1，
∵DC∥OB，
∴∠DCP1＝∠OBC＝45°，
∴△P1DC为等腰直角三角形，
∴，
∴P1（﹣3 ，3）；
②当CD为斜边时，过D点作DP2⊥BC交BC于点P2，
易得△CDP2是等腰直角三角形，作P2E⊥CD，
∵CP2＝DP2，
∴CE＝DE＝，
∴P2（，）．．
综上所述，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（ ，3 ），（，）．．
【点拨】本题考查了平面角坐标系与等腰三角形的存在性问题，解题的关键是根据题干的意思，找出正确的等腰直角三角形并求解点的坐标
60．（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和三角形的中位线的性质即可得到结论．
解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
【点拨】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，以及勾股定理，关键是正确根据题目要求画出图形．
61．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD,再通过等量代换即可得到结果.
解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠CBE=∠BAD．
62．的周长为8，为等腰三角形
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，再解方程得到c可能的取值，进而利用三角形三边关系确定c的值，求出△ABC的周长和判断出其形状．
解：∵，
∴，，
∴，，
解方程，
解得或，
∴c可能为3或9，
但是时，不满足三角形三边关系定理，故舍去.
∴，，，
∵，，
∴的周长为8，为等腰三角形.
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
63．（1）33cm或39cm；（2）36cm．
【分析】（1）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解；
（2）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解．
解：（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，
那么三边的长可能是9cm、9cm、15cm或9cm、15cm、15cm。
故其周长是9+9+15=33cm或9+15+15=39cm；
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，
那么三边的长可能是6cm、6cm、15cm或6cm、15cm、15cm．
其中6cm、6cm、15cm不能组成一个三角形，
故其周长是6+15+15=36cm．
【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
专题13.10 等腰三角形（专项练习2）
一、 单选题
知识点九、等角对等边求边长
1．如图，上午8时，一艘船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，9时40分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，则B处到灯塔C的距离是( )
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．15
4．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．6
知识点十、直线上与已知两点构成等腰三角形
5．如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．8
6．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
7．如图，B是直线l上的一点，线段AB与l的夹角为α（0°＜α＜90°），点C在l上，若以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使是等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点十一、图形上一点与两点构成等腰三角形
9．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有( )个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图,直线l是矩形ABCD的一条对称轴,AD=2AB,点P是直线l上一点,且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形,则满足条件的点P共有( )个.
A．1 B．2 C．3 D．5
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（ ）
A．（0，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（4，2）
12．如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点十二、尺规作图-等腰三角形
13．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
16．“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是
A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线
C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角
知识点十三、等腰三角形的性质与判定
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．80°
18．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
20．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．则这四个结论中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知识点十四、三角形边角的不等关系
21．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
22．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（ ）
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
23．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（ ）．
A．18 B．21 C．18或21 D．13或18
24．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为( )
A．12 B．17 C．17或19 D．19
知识点十五、等腰三角形定义
25．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
26．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
27．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ）
A．9 B．17或22 C．17 D．22
28．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
二、 填空题
知识点九、等角对等边求边长
29．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长为____．
30．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若的周长是4cm，则AB的长为_________cm．
31．如图，在中，BO，CO分别是和的平分线，过O点的直线分别交AB､AC于点D､E，且．若，则的周长为________．
32．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．
知识点十、直线上与已知两点构成等腰三角形
33．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形．
34．如图，中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为_____．
35．如图，在xOy中，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有_____个．
36． 在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB 的顶点A的坐标为（2，2），底为OA，且B在坐标轴上，则B的坐标为___．
知识点十一、图形上一点与两点构成等腰三角形
37．如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________．
38．过三角形一个顶点的直线，把原三角形分割成两个三角形，要求分得的两个三角形中至少有一个是等腰三角形．
（1）如果原三角形是顶点为108°的等腰三角形，这样的直线有________条．
（2）如果原三角形是等腰直角三角形，这样的直线有________条．
（3）如果原三角形是有一个锐角是30°的直角三角形，这样的直线有________条．
39．如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形？
40． 在平面直角坐标系中，点A与点B的坐标分别是A(1,0)和B(5,0).以线段AB为底边作高为2的等腰三角形ABC，则顶点C的坐标为______.
知识点十二、尺规作图-等腰三角形
41．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．
42．已知：如图，∠PAQ＝18°，点B是边AP上（不同于点A）的一个点，现以点B为圆心，AB长为半径画弧与AQ交于点C（不同于点A），再以点C为圆心，CB长为半径画弧与AP、AQ分别相交于点D（不同于点B）、E，连接DE，则∠AED的度数是_____．
43．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有_____个．
44．△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE=______．
知识点十三、等腰三角形的性质与判定
45．如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为_______.
46．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
47．如图，在△ADC中，B是AC上一点，AD＝BD＝BC．若∠C＝25°，则∠ADB的度数是________°．
48．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若BD＝BC，则∠A＝________度.
知识点十四、三角形边角的不等关系
49．等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为________
50．一个等腰三角形的边长分别是3和6，则其周长是________．
51．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______．
52．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 ______ cm．
知识点十五、等腰三角形定义
53．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
54．等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为__．
55．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_____．
56．如图△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.
三、 解答题
知识点九、等角对等边求边长
57．如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）尺规作图：在图中作出角平分线BD，交AC于点D（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）已知DE//AB交BC于点E，若BE=5cm，CE=3cm，求△CDE的周长．
知识点十、直线上与已知两点构成等腰三角形
58．如图所示，已知及边上两点A和B，用直尺和圆规在的角平分线上求作点P，使得是以为底边的等腰三角形，（不写作法，保留作图痕迹）
知识点十一、图形上一点与两点构成等腰三角形
59．如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，O为原点，OB在x轴上，∠AOB＝60°，点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），点D在第二象限，且△ABO≌△DCO．
（1）请直接写出点D的坐标_____；
（2）点P在直线BC上，且△PCD是等腰直角三角形，请画出图形并求点P的坐标．
知识点十二、尺规作图-等腰三角形
60．图1、图2均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，
（1）点C在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图1中用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置，
（2）如图2，点D、M、N均在格点上，请用无刻度的直尺在线段MN上找到一点E，使线段DE＝12AB．（保留作图痕迹）
知识点十三、等腰三角形的性质与判定
61．如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE=∠BAD．
知识点十四、三角形边角的不等关系
62． 已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，求的周长并判断的形状.
知识点十五、等腰三角形定义
63．（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？
参考答案
1．B
【分析】根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等腰三角形，而AB的长易求，根据等腰三角形的性质，即可得出BC的值．
解：据题意得：∠A=26°，∠NBC=52°．
∴∠C=∠NBC-∠A=52°-26°=26°，
∴∠A=∠C=26°，
∴AB=BC．
∵AB=1525，
∴BC=25(海里)．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识解决实际问题的方法．
2．D
【分析】略
解：∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5．
故选D．
【点拨】略
3．B
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB=∠CBE，等量代换得到∠ABE=∠DEB，求得BD=DE=8，即可得到结论．
解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE=8，
∵AB=AD+BD，
∴AB=5+8=13．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
4．C
【分析】先根据等腰三角形三线合一知D为BC中点，由点E为AC的中点知DE为△ABC中位线，故△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.
解：∵AB=AC=15，AD平分∠BAC，
∴D为BC中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∴DE=AB，
∴△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.
∴AB+AC+BC=42，
∴BC=42-15-15=12，
故选C.
【点拨】此题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一定理.
5．B
【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论
解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个
由上可知，满足条件的点N共有4个
故选：B
【点拨】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键
6．C
【分析】根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
【点拨】此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
7．D
【分析】根据条件可知α为锐角，此时画图判断即可．
解：如图所示，满足条件的点有4个
分别是AC3=AB，AB=BC2，AC1=BC，AB=BC．
故选：D
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．
8．D
【分析】分别以∠A、∠B、∠C为顶角进行讨论即可求得答案．
解：∵△ABC为等腰三角形，
∴分三种情况：
①当以∠C为顶角时，则有BC=AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；
②当以∠A为顶角时，则有AC=AB，由两直线夹角为50°，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；
③当以∠B为顶角时，则有AB=CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线n的上方，有两个点，
综上可知满足条件的C点有4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点C的位置是解题的关键，注意分类讨论．
9．D
【分析】根据等腰三角形的判定可得答案．
解：如图所示，满足条件的点P的个数有5个，
故选D．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解．
10．B
【分析】如图，设直线l交AD于P1，交BC于P2．只要证明四边形ABP2P1是正方形，可知△ABP1，△ABP2是等腰三角形，作AB的垂直平分线交直线l于P3，则△ABP3是等腰三角形，再考虑△PBC是等腰三角形，即可解决问题．
解：如图，设直线l交AD于P1，交BC于P2．
∵四边形ABCD是矩形，直线l是对称轴，
∴四边形ABP2P1是正方形，
∵AD=2AB，
∴AP1=AP2，
∴四边形ABP2P1是正方形，
∴△ABP1，△ABP2是等腰三角形，
作AB的垂直平分线交直线l于P3，则△ABP3是等腰三角形，
同时满足△PBC是等腰三角形的点只有P1，P3，
∴满足条件的点P共有2个，
故选：B．
【点拨】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的判定、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
11．D
【分析】利用描点法，描出各个点即可判断．
解：观察图象可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形，
故选：D．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．C
【分析】线段AB可为等腰三角形的底边，也可为腰，所以分情况进行讨论即可．
解：分两种情况：
①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，如图1所示：
其中AB=AC时，有1个；AB=BC时，有2个；
②当AB为底边时，有1个，如图2所示：
∴△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4个．
故选C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，运用数形结合思想及分类讨论思想是正确解答本题的关键．
13．D
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．
解：∵AB=AC，
∴．
由作图痕迹可知BC=BD，
∴．
∴．
故选D．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键．
14．B
【分析】由作图知AB=BD，，由三角形内角和，∠BAD=∠BDA，利用两角的差求即可∠DAC=．
解：∵由作图知AB=BD，，
∴∠BAD=∠BDA=，
∴∠DAC=．
故选：B．
【点拨】本题考查尺规作图，由图得结论，利用三角形内角和求出底角，会计算角的和差是解题关键．
15．D
解：试题分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现交点．
解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；
②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；
③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．
如图所示，显然这样的点有8个．
故选D．
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
16．A
【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断．
解：当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段，
然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线，
因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点，
最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形，
故选：A．
【点拨】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键．
17．A
【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°−∠A）÷2=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
故选：A．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键．
18．D
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小．
解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴BP=AP，AQ=CQ，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故选D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
19．B
解：试题分析：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
故选B．
考点：等腰三角形的性质.
20．B
【分析】根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；由AQ=PQ，利用等边对等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1，等量代换，从而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确．
解：①PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；
②由①中的全等也可得AS=AR；
③如图所示
∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；
④∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
21．B
【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解．
解：连接PC，如图所示：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴的周长为，
若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，
∵，
∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长，
∴的周长最小值为；
故选B．
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键．
22．A
【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可．
解：∵|AC-BC|=2cm，
∴AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm，
∵BC=8cm，
∴AC=（2+8）cm或AC=（8-2）cm，即10cm或6cm．
故选A．
【点拨】本题考查绝对值和等腰三角形的性质，掌握绝对值的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
23．C
【分析】利用三角形的任意两边之和大于第三边，即等腰三角形的定义即可得出．
解：由于三角形的任意两边之和大于第三边，由等腰三角形一边等于5，另一边等于8．
当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21．
当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质、等腰三角形的定义及其周长，属于基础题．
24．C
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和7，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰为5时，三边长分别为5，5，7，符合三角形的三边关系，则其周长是5×2+7=17；
当腰为7时，三边长为7，7，5，符合三角形三边关系，则其周长是7×2+5=19．
所以其周长为17或19．
故选C
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质；题目涉及分类讨论的思想方法，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
25．C
解：试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．故选C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
26．B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝22．
故选B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
27．D
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
28．A
解：试题分析：当3为腰时，则3+3=6＜7，不能构成三角形，则等腰三角形的腰长为7，底为3，则周长为：7+7+3=17.
考点：等腰三角形的性质
29．10cm
【分析】由角平分线和平行线的性质，等量代换得到∠MBO=∠MOB，再由等角对等边得到OM=BM，同理ON=CN，从而求得结果．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
又OM∥AB，
∴∠ABO=∠MOB，
∴∠MBO=∠MOB，
∴OM=BM，
同理ON=CN，
∵BC=10cm，
则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．
故答案为：10cm．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
30．4
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出AB=△BDE的周长．
解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，
∴AB=4cm．
故答案为：4．
【点拨】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是利用线段和差把三角形的周长转化为AB的长．
31．
解：，，又是的平分线，，，，同理：，的周长．
32．2
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．
解：作EH⊥OA于H．
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．
∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
33．30°或75°或120°
解：试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，
当点P为顶点时，∠A=30°，
故答案为30°或75°或120°．
34．75°或120°或15°
【分析】分为三种情况，先画出图形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
解：如图，有三种情形：
①当AC=AD时，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠CAB=30°，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=（180°-∠CAB）=75°；
②当CD′=AD′时，
∵∠CAB=30°，
∴∠D′CA=∠CAB=30°，
∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°．
③当AC=AD″时，则∠AD″C=∠ACD″，
∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB，
∴∠AD″C=15°，
故答案为：75°或120°或15°．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
35．6
【分析】分类讨论：AB＝AC时，AB＝BC时，AP＝BC时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
解：①当AB＝AC时，在y轴上有2点满足条件的点C，在x轴上有1点满足条件的点C．
②当AB＝BC时，在y轴上有1点满足条件的点C，在x轴上有2点满足条件的点C，有1点与AB＝AC时的x轴负半轴的点C重合．
③当AC＝BC时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点C，有1点与AB＝AC时的x轴负半轴的点C重合．
综上所述：符合条件的点C共有6个．
故答案为：6．
【点拨】此题主要考查构造等腰三角形，解题的关键根据题意画出图形求解.
36．（2，0），（0，2）
【分析】根据题意，当点B在AO的中垂线与坐标轴的交点处时，△AOB是等腰三角形，即可得出答案．
解：如图，作AO的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点B、B′，则点B、B′就是符合条件的点，连接AB、AB′，
∵A的坐标为（2，2），
∴OA平分∠BOB′，
∴∠BOE=∠B′OE=45°，
∵BB′垂直平分OA，
∴OB=AB，∠OEB=∠AEB=90°，OE=AE，
∴∠OBE=90°-∠BOE=45°，
∴△OEB≌△AEB，
∴∠ABE=∠OBE=45°，
∴∠OBA=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=AB=2，
∴B（2，0），
同理，B'（0，2），
故答案为：（2，0），（0，2）．
【点拨】本题考查了的等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；熟练掌握等腰三角形的顶角顶点一定在底边的垂直平分线上是比较关键的．
37．100°或55°或70°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
38．2 3 4
【分析】（1）根据题意，可先得出底角，然后即可判定直线；
（2）首先斜边的高符合题意，高的两侧各有一条；
（3）过90°角顶点有两条，过60°角顶点有两条.
解：（1）如图所示的两条虚线：
故答案为：2；
（2）如图所示的3条虚线：
故答案为：3；
（3）如图所示4条虚线：
故答案为：4.
【点拨】此题主要考查等腰三角形以及直角三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
39．6或18
【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足
因此有18−2t=t
解得t=6(s)
（2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形，
∵
∴ΔPOQ也是等边三角形
因此有2t−18=t
解得t=18(s)
综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形
故答案为：6或18．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
40．(3,2)(3,−2).
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后作出AB的垂直平分线，点C就在AB的垂直平分线上，且到AB的距离为2，故C点有两种情况，①C在第一象限，②C在第四象限．
解：如图所示：作AB的垂直平分线CD，
∵A(1,0)和B(5,0)，
∴D(3,0)，
∵高为2，
∴CD=2，
∴C(3,2)(3,−2).
故答案为(3,2)(3,−2).
【点拨】此题考查坐标与图形性质，等腰三角形的判定，解题关键在于画出图形.
41．20°
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
解：在中，，，
，
，
，
．
故答案为：20°
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
42．63°
【分析】依次根据等腰三角形的性质可得：，由三角形外角的性质得：和的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论．
解：如图，连接CD，
∵AB＝BC，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质以及对于三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和的应用.
43．6
解：如下图，符合条件的点P共有6个.
点睛：（1）分别以点A、B为圆心，AB为半径画A和B，两圆和两坐标轴的交点为所求的P点（与点A、B重合的除外）；（2）作线段AB的垂直平分线与两坐标轴的交点为所求的P点（和（1）中重复的只算一次）.
44．67.5°
【分析】根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠ACB的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求出∠BDE的度数．
解：∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°,
∵以B为圆心,BC长为半径画弧,
∴BE=BD=BC,
∴∠BDC=∠ACB=75°,
∴∠CBD=180°-75°-75°=30°,
∴∠DBE=75°-30°=45°,
∴∠BED=∠BDE=（180°-45°）=67.5°,故答案为67.5°．
【点拨】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求得答案．
45．9.
【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.
解：因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
46．
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
解：
①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
47．80
【分析】利用等边对等角以及三角形外角定理，结合三角形内角和定理即可求得答案.
解：∵BD＝BC，∠C＝25°，
∴
∴
∵AD＝BD
∴
在中，
故答案为：
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．
48．36
【解析】
分析：题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
详解：∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠C=∠BDC=2∠A， 又∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°．
点睛：本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
49．19
【解析】试题解析：当腰长为3时，则三角形的三边长为：3、3、8；
∵3+3＜8，
∴不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为8，则其周长=8+8+3=19．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
50．
【分析】分边长3为腰和6为腰进行讨论求解即可．
解：∵一个等腰三角形的边长分别是3和6，
∴当边长3为腰时，则另一腰为3，底边为6，但3+3=6不构成三角形；
当边长6为腰时，则另一腰为6，底边为3，满足6+6＞3，
所以，该等腰三角形的周长为6+6+3=15，
故答案为：15．
【点拨】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，能根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解答的关键，注意构成三角形的条件．
51．8，8
【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案．
解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，
则有x+4×2=20，
解得：x=12，
此时，三角形的三边长为4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以组成三角形；
若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，
则有2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以组成三角形；
∴三角形的另两边的长分别为8，8．
故答案为：8，8．
【点拨】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．
52．15
【解析】
根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系．
53．60°或120°
【分析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
解：如图（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°；
如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=120°；
综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．
【点拨】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
54．11或13
【分析】根据题意考虑3是腰长或底边，分两种情况讨论求解．根据三角形三边关系判断能否组成三角形．
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，
∵3+3＞5，5-3＜3
∴三角形的三边分别为3、3、5能组成三角形，周长=3+3+5=11，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5，
∵5+3＞5，5-3＜5
∴三角形的三边分别为3、5、5能组成三角形，周长=3+5+5=13，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13
故答案为：11或13
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形三边关系判断已知边长的三边能否组成三角形．
55．6和4或5和5．
解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理．
故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5．
56．68°
解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠BED=∠FDC=90°，
又∵∠B=∠C，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠AFD=158°
∴∠EDB=∠CFD=180°-158°=22°
∴∠EDF=90°-∠EDB=90°-22°=68°
57．（1）见解析；（2）13cm．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法可以得解；
（2）由角平分线定义和平行线性质，结合已知可以得到： CD=DE=BE=5cm，进一步可以得到解答．
解：（1）作图如下：
（2）如图，∵DE//AB，∴
由已知，∴
∴，∴ CD=DE=BE=5cm
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=13cm．
【点拨】本题考查尺规作图、平行线的性质和三角形周长的综合应用，掌握常用图形的作图方法和平行线的灵活应用是解题关键．
58．见解析
【分析】先作∠AOB的平分线，接着作线段AB的垂直平分线，交角平分线于点P即可．
解：如图，点P为所作．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
59．（1）D（﹣3，3）；（2）画图形见解析，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（，3+），（，）．
【分析】（1）由△ABO≌△DCO，利用全等三角形的性质可得CD＝BA，由点A坐标为（3，3 ），点C的坐标为（0，3），可得D点的坐标；
（2）首先利用全等三角形的性质可得OC＝OB＝3，∠BOC＝90°，易得∠OBC＝45°，分类讨论当CD为直角边时，过点D作P1D⊥CD，交BC于点P1，由DC∥OB，可得
△P1DC为等腰直角三角形，易得 ，可得P1点的坐标；当CD为斜边时，过D点作DP2⊥BC交BC于点P2，易得△CDP2是等腰直角三角形，作P2E⊥CD，可得CE＝DE＝，易得P2点的坐标．
解：（1）点D在第二象限，正确画出△COD如图所示，
∵△ABO≌△DCO，
∴CD＝BA，
∵点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），
∴D（﹣3，3），
故答案为：（﹣3，3）；
（2）∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
①当CD为直角边时，如图，过点D作P1D⊥CD，交BC于点P1，
∵DC∥OB，
∴∠DCP1＝∠OBC＝45°，
∴△P1DC为等腰直角三角形，
∴，
∴P1（﹣3 ，3）；
②当CD为斜边时，过D点作DP2⊥BC交BC于点P2，
易得△CDP2是等腰直角三角形，作P2E⊥CD，
∵CP2＝DP2，
∴CE＝DE＝，
∴P2（，）．．
综上所述，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（ ，3 ），（，）．．
【点拨】本题考查了平面角坐标系与等腰三角形的存在性问题，解题的关键是根据题干的意思，找出正确的等腰直角三角形并求解点的坐标
60．（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和三角形的中位线的性质即可得到结论．
解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
【点拨】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，以及勾股定理，关键是正确根据题目要求画出图形．
61．见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD,再通过等量代换即可得到结果.
解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠CBE=∠BAD．
62．的周长为8，为等腰三角形
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，再解方程得到c可能的取值，进而利用三角形三边关系确定c的值，求出△ABC的周长和判断出其形状．
解：∵，
∴，，
∴，，
解方程，
解得或，
∴c可能为3或9，
但是时，不满足三角形三边关系定理，故舍去.
∴，，，
∵，，
∴的周长为8，为等腰三角形.
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
63．（1）33cm或39cm；（2）36cm．
【分析】（1）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解；
（2）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解．
解：（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，
那么三边的长可能是9cm、9cm、15cm或9cm、15cm、15cm。
故其周长是9+9+15=33cm或9+15+15=39cm；
（2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，
那么三边的长可能是6cm、6cm、15cm或6cm、15cm、15cm．
其中6cm、6cm、15cm不能组成一个三角形，
故其周长是6+15+15=36cm．
【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
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