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专题13.9 等腰三角形（专项练习1）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题13.9 等腰三角形（专项练习1）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共60页。试卷主要包含了等边对等角求角，等边对等角证明，三线合一求解，三线合一证明，根据格点画等腰三角形，找等腰三角形，由等边对等角证明等腰三角形，等角对等边证明线段相等等内容，欢迎下载使用。
专题13.9 等腰三角形（专项练习1）
一、 单选题
知识点一、等边对等角求角
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
2．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
知识点二、等边对等角证明
5．如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
8．如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）
A． B． C．a-b D．b-a
知识点三、三线合一求解
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A．AC B．AD C．BE D．BC
11．如图，在中，，，是的两条中线，是上个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
A．8 B．10 C．5 D．4
知识点四、三线合一证明
13．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD ；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C ；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．若线段分别是边上的高线和中线，则（ ）
A． B．
C． D．
15．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
16．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
知识点五、根据格点画等腰三角形
17．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
18．如图在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．已知 A（0，2）、B（4，0），点 C 在 x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，则满足这样条件的 C 有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
20．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，若也是图中的格点， 则使得是以为一腰的等腰三角形时， 点的个数是( )
A．8 B．6 C．4 D．7
知识点六、找等腰三角形
21．如图，，，，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
22．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．如图，在△ ABC中，∠ A= ∠ C= ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
知识点七、由等边对等角证明等腰三角形
25．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（ ）
A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100°
C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
26．如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
27．如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
28．如图，等腰△ABC的面积为S，AB＝AC＝m，点D为BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE+DF＝（ ）
A． B． C． D．
知识点八、等角对等边证明线段相等
29．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
30．如图，在中，平分，平分，经过点O，与，相交于点N，M，且，设，，，则的周长为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．42
31．在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
32．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4 B．a︰b︰c=2︰3︰4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A︰∠B︰∠C=1︰1︰2
二、 填空题
知识点一、等边对等角求角
33．已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
34．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=____度
35．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
36．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°．
知识点二、等边对等角证明
37．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么α的度数为_______．
38．如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两张凳子之间（凳子与地面垂直），已知，，则两张凳子的高度之和为__________.
39．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，OD=5cm,则CD的长为__________cm.
40．如图，在△ABC与△ADE中，点E在BC上，AC＝AE，且EA平分∠CED，请你添加1个条件使△ABC≌△ADE，你添加的条件是：_____．
知识点三、三线合一求解
41．如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为______．
42．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_______.
43．等腰三角形的顶角为，底边上的高为2，则它的周长为_____．
44．如图，在中，点是上的一点，将沿翻折，点恰好落在的中点处，则的度数为________________．
知识点四、三线合一证明
45．如图，已知在中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________ ．（只需填上一个正确的条件）
46．如图，墙上钉了根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，再这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明建BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，其中的道理是________.
47．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论：①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．正确的有______.
48．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．
知识点五、根据格点画等腰三角形
49．如图所示的网格是正方形网格，△ABC的顶点A、B、C恰好落在正方形网格中的格点上，则∠ABC＝______°．
50．如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有______个．
51．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，若点也是图中的格点，且为等腰三角形，则符合条件的点有______个．
52．在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标轴上找一点， 使得是等腰三角形，则这样的点共有__________个
知识点六、找等腰三角形
53．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是____________.(填序号)
54．在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有__________个等腰三角形．
55．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形__．
56．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形有____个．
知识点七、由等边对等角证明等腰三角形
57．在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．
58．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝4，则CD的长为_____．
59．在中，若，则是一个_______三角形.
60．如图，点D为△ABC的边AB上一点，若∠1=∠2，AB=7，AC=3，则△ACD的周长为______．
知识点八、等角对等边证明线段相等
61．在△ABC中，∠CAB＝2∠B，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，AC＝3，AD＝1.下列结论:①∠AEC＝∠CAB；②EF＝CE；③AC＝AE；④BD＝4；
正确的是___________(填序号)
62．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=________.
63．如图，在四边形中，，平分，则____.
64．如图，∠AEC=∠ACE，∠DAB=∠CAE，要使△ABC≌△ADE，应添加的条件是_____．（添加一个条件即可）
三、 解答题
知识点一、等边对等角求角
65．如图，△ABC与△AFD为等腰直角三角形，∠FAD＝∠BAC＝90°，点D在BC上，则：
（1）求证：BF＝DC．
（2）若BD＝AC，则求∠BFD的度数．
知识点二、等边对等角证明
66．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
知识点三、三线合一求解
67．如图，已知△ABC中，AB=AC,AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ=180°.
（1）若∠ABP=α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；
（2）求证：BP=PQ.
知识点四、三线合一证明
68．如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与BC边交于点，连接AD，过点作，交于点．
（1）若，，求的度数．
（2）若点是的中点，连接，求证：．
知识点五、根据格点画等腰三角形
69．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①、图②中已画出线段AB，点A、B均在格点上按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为腰，画一个三边长都是无理数的等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为底的等腰三角形．
知识点六、找等腰三角形
70．如图，在直线a上找一点M，使△MAB是等腰三角形.
（1）这样的M点有 个.
（2）在图中画出点M，保留痕迹.
知识点七、由等边对等角证明等腰三角形
71．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．
（1）求证；
（2）求证；
（3）若，，请直接写出的面积．
知识点八、等角对等边证明线段相等
72．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．C
【分析】
根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【详解】
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故选C．
2．B
【详解】
试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
考点：等腰三角形的性质．
3．B
【分析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
4．B
【分析】
根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
5．B
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】
解： A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；
B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；
C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；
D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．A
【分析】
根据角平分线的性质以及平行线的性质得出△BDE为等腰三角形，然后将△ADE的周长转化为AB+AD得出答案．
【详解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
∴=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，
故选A．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及平行线的性质，属于基础题型．解答这个问题的关键就是得出△BDE为等腰三角形．
7．A
【分析】
先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，则2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性质得到∠D＝∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
【详解】
解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，
即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，
∴2∠1＝2∠3＋∠A，
∵∠1＝∠3＋∠D，
∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．
故选A．
【点拨】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．
8．C
【分析】
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC-AD=a-b，
故选：C．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
9．C
【详解】
试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.
故选C
考点：等腰三角形三线合一
10．C
【分析】
如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】
解：如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选C．
【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．B
【分析】
如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE．
【详解】
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE．
故选B．
【点拨】本题主要考查了了三角形三边关系的应用，结合了等腰三角形三线合一的性质和中垂线的性质．
12．C
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得到，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
∵，，
∴，
∵，，
∴,
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13．D
【分析】
由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明△ABD≌△ACD，得（1）正确，可得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，故（3）正确，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，故（2）（4）正确，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），故（1）正确，
∴正确的有4个，
故选择：D.
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线相互重合是解题的关键．
14．D
【分析】
画出符合题意的图形，根据点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，逐一判断各选项可得答案．
【详解】
解：如图，是的高，是的中线，
当为等腰三角形，且时，等号成立．
故错误，正确，
故选：．
【点拨】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，三角形的高，中线的含义，掌握以上知识是解题的关键．
15．D
【分析】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
【详解】
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点拨】此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
16．C
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
17．C
【分析】
分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】
解：如图，
分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决.
18．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
19．B
【分析】
分为三种情况:①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC,根据等腰三角形性质即可求得.
【详解】
解:以A为圆心,以AB为半径作弧,交x轴于点,此时AC=AB;
以B为圆心,以AB为半径作弧,交x轴于,两点,此时BC=AB;
作AB的垂直平分线交x轴于,此时AC=BC,即1+2+1=4,
故答案为:B.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的动手操作能力和理解能力.
20．C
【分析】
当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形．
【详解】
解：如图，当AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．
21．D
【分析】
首先根据已知角度分别求出其他角度，然后根据等腰三角形的性质等角对等边，即可判定.
【详解】
∵，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故选：D.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的判定，熟练掌握，即可解题.
22．D
【分析】
根据已知条件和三角形内角和得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后根据等腰三角形的定义及等角对等边进行判断即可．
【详解】
∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°
∴∠ABC＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°
∵∠A＝∠ABD＝36°
∴△ABD是等腰三角形
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°
∴∠BDC＝∠C
∴△BDC是等腰三角形
∴共有3个等腰三角形
故选D．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，明确等腰三角形的判定方法是解题的关键.
23．D
【分析】
根据已知的角利用两直线平行的性质求出一些角的大小，即可得到等腰三角形的个数.
【详解】
解：在△ ABC中，∠ A= ∠ C=
∠ABC=
BD平分∠ABC
∠ABD=∠CBD=
DE//BC
∠EDB=∠CBD=
∠CDB=∠BCD=
等腰三角形的个数有5个，分别是∆ABC,∆AED,∆EBD,∆BDC,∆DAB.
故选D.
【点拨】此题重点考察学生对等腰三角形的认识，理解等腰三角形的性质是解题的关键.
24．D
【详解】
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故选D．
【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
25．D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
【详解】
解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定．解答该题时，一定要与三角形的内角和定理相结合．
26．A
【分析】
首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角对等边可证出结论．
【详解】
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠DCA，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠B=∠CFE，
∠2+∠DCA=∠FEC，
∴∠CFE=∠FEC，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形.
故选A
【点拨】此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
27．A
【分析】
根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，FE=CE，然后利用等量代换即可求出线段DE的长．
【详解】
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，
∴BD=DF=5，FE=CE=4，
∴DE=DF+EF=5+4=9．
故选A．
【点拨】本题主要考查了学生对等腰三角形的判定和平行线的性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．
28．B
【分析】
连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ADC即可计算得出DE+DF的长.
【详解】
连接AD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=+=m·（DE+DF）=S
∴DE+DF=，
故选B.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的计算，解题的关键是利用面积不变进行高的计算.
29．B
【分析】
如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
【详解】
解：如图，在上截取 连接
平分
故选：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
30．B
【分析】
先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周长公式、线段的和差即可求得结论．
【详解】
解：∵平分，平分
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的周长为．
故选：B
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形周长公式、线段的和差等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
31．B
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=55°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选B．
点睛：本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定，熟记三角形的内角和是解题的关键．
32．B
【分析】
根据等腰三角形的判定和性质进行判断.
【详解】
因为a=3，b=4，c=3，所以a=c，所以△ABC是等腰三角形，故A正确；因为a：b：c=2：3：4，所以a≠b≠c，所以△ABC不是等腰三角形，所以B错误；因为∠B=50°，∠C=80°，所以∠A=50°，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以C正确；因为∠A：∠B：∠C=1：1：2，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以D正确．故选B．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键.
33．40
【分析】
根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
34．
【详解】
试题分析：先设∠C=x，由AB=AC可知，∠B=x，由AD=DC可知∠C=∠DAC=x，由三角形外角的性质可知∠ADB=∠C+∠DAC=2x，根据AB=BD可知∠ADB=∠BAD=2x，再在△ABD中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
试题解析：设∠C=x，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x，
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC=x，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x，
∵AB=BD，
∴∠ADB=∠BAD=2x，
在△ABD中，∠B=x，∠ADB=∠BAD=2x，
∴x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
∴∠C=36°．
考点：等腰三角形的性质．
35．70
【分析】
先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.
【详解】
∵∠ABC=90°，AB=AC，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，
故答案为70.
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
36．45°
【详解】
∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
37．108°
【解析】
如图，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠4，∠B=∠C，
∵∠4=∠1+∠B=2∠B=2∠C，
∴∠2=∠4=2∠C，
∵∠2+∠4+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴α=∠BAC=180°-2∠C=108°．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
38．140
【分析】
根据等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法即可得出.
【详解】
由题意得∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵∠ADC=∠CEB=90°，
AC=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD=CE=80，BE=CD=60，
∴两张凳子的高度之和为AD+BE=140
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
39．5
【分析】
根据题意，可得∠AOC＝∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C＝∠AOC，则CD＝OD可求．
【详解】
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C＝BOC，
∴∠C＝∠AOC；
∴CD＝OD＝5cm．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，角平分线的定义，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，出现角平分线和平行线容易出现等腰三角形．
40．∠B＝∠D
【分析】
根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠AED＝∠C，添加∠B＝∠D可利用AAS定理证明△ABC≌△ADE．
【详解】
解：添加∠B＝∠D，
理由：∵EA平分∠CED，
∴∠AED＝∠AEC，
∵AC＝AE，
∴∠C＝∠AEC，
∴∠AED＝∠C，
当∠B＝∠D时，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
故答案为：∠B＝∠D．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理是解题的关键．
41．8
【详解】
试题分析：因为AB=AC,AD⊥BC ,所以BD=CD，因为△ABC的周长为32 ,所以AC + CD = 32=16，又因为△ACD的周长为24，所以AD=" 24" - （AC + CD ）="24-16=" 8．
考点：等腰三角形的性质．
42．20
【详解】
分析：本题利用等腰三角形的三线合一的性质得出即可.
解析：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AB＝6，CD＝4，∴AC=AB=6,BD=CD=4,∴△ABC的周长为20.
故答案为20.
43．
【分析】
根据等腰三角形的性质可分别求得腰长和底边的长，从而不难求得三角形的周长.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为2，
∴腰长=4，底边的一半=2，
∴周长=4+4+2×2=8+4．
故答案为8+4．
【点拨】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质的综合运用．
44．60°
【分析】
根据折叠的性质得∠BDE=∠BDA，∠BED=，进而得DC=DB，由等腰三角形的性质，可得∠CDE=∠BDE，进而即可求解．
【详解】
∵在中，，将沿翻折，点恰好落在的中点处，
∴BE=CE，∠BDE=∠BDA，∠BED=，即：DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴∠CDE=∠BDE=∠BDA=180°÷3=60°．
故答案是：60°．
【点拨】本题主要考查折叠的性质，垂直平分线的性质定理以及等腰三角形的性质定理，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
45．AD⊥BC
【分析】
根据等腰三角形“三线合一”，即可得到答案．
【详解】
∵在中，AB=AC，，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”，是解题的关键．
46．等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，AD也是BC边上的高，即AD⊥BC，即这根木条是水平的．
【详解】
∵AB=AC，D为BC边的中点，∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高．
又∵AD自然下垂，∴BC处于水平位置．
故答案为：等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质；其中要注意等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高线，顶角平分线重合．
47．①②④．
【分析】
由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得①∠DCB=∠B正确；由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．
【详解】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴CD=AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=30°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解题的关键．
48．
【分析】
如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．
【详解】
解：如图，连接，延长与交于点
平分，，
是的垂直平分线，
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
49．135
【分析】
根据网格的特点和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
【点拨】本题以网格为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，属于常见题型，熟练掌握网格的特点和等腰直角三角形的性质是解题关键．
50．9
【解析】
根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．
51．8
【分析】
根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当以AB为底边时，或当以AB为腰时，分别作出符合条件的图即可解题．
【详解】
解：分情况讨论：
当以AB为底边时，如图，符合条件的点C有4个；
当以AB为腰时，如图，符合条件的点C有4个，
综上所述，符合题意的店C共有8个，
故答案为：8．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
52．
【分析】
分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴的交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴的交点，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，
一共有5个这样的点，
故答案为：5．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
53．（1）（3）（4）
【分析】
由已知条件，根据度数的特点，逐一作出判断，最后写出答案．
【详解】
由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°；
（2）不能；
（3）直角三角形的斜边上的中线把它还分为了两个等腰三角形；
（4）中分成的为36°，72°，72°和36°，36°，108°．
故应填①③④．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
54．3
【分析】
先标出图三交点的字母,然后根据对称的性质便可求解．
【详解】
解：图三标上字母如图所示
根据对称性，是等腰三角形的有：三个
故答案为：3．
【点拨】本题考查等腰三角形的判断，以及对称平移变换，属于基础题．
55．△ABD，△BDC，△ABC．
【分析】
先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【详解】
∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
56．5．
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形．
故填5．
57．200
【详解】
解：由已知得：
∠ABC=90°+30°=120°，
∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
58．2
【分析】
利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据等角的余角相等证出∠ACD＝∠A，从而证明DA＝DC，从而得到CD＝AB＝2．
【详解】
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×4＝2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图—作已知线段的垂直平分线，以及垂直平分线的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
59．等腰
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠C的度数即可作出判断.
【详解】
∵∠A=46°，∠B=67°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-46°-67°=67° ，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，
故答案为等腰.
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理以及等腰三角形的判定方法是解题的关键.
60．10
【分析】
根据等腰三角形的性质得出DB=DC,从而得出△ADC的周长=AB+AC，即可解决问题．
【详解】
∵∠1=∠2，∴DB=DC，∴△ADC的周长=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=7+3=10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
61．①②.
【解析】
【分析】
根据角平分线，三角形的外角性质以及等角对等边的性质可得出结论①②正确．
【详解】
解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠EAB，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠AEC＝∠B+∠EAB，
∴∠AEC＝2∠B=∠CAB，①正确；
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∵∠EAB＝∠B，
∴∠DCB＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CFE＝∠DCB，
∴EF＝CE，②正确；
无法证明AC＝AE，故③不正确；
∵AC＝3，AD＝1，CD⊥AB于D，
∴CD= ，
不能得出BD＝4，故④不正确.
故答案为①②.
【点拨】本题考查角平分线，三角形的外角性质以及等角对等边的性质，正确的识别图形是解题的关键．
62．3．
【解析】
试题分析：因为∠BAC=100°，∠B=40°，所以∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=40°，所以∠ACB=∠B，所以AC=AB=3．因为∠D=20°，所以∠DAC=∠ACB﹣∠D=20°，所以∠DAC=∠D，所以CD=AC=3．故答案为3．
考点：等腰三角形的判定与性质．
63．2
【分析】
根据平行线的性质及角平分线可得到∠BAE=∠AEB，从而得到AB=BE=4，再利用线段的和差关系计算即可.
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=4，
∴EC=BC－BE=6－4=2.
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线，及等角对等边，熟练运用这些知识是解题的关键.
64．∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）
【解析】
【分析】
∠B=∠D，根据等式的性质求出∠DAE=∠BAC，根据等腰三角形的性质得出AB=AC，根据AAS即可证出△ABC≌△ADE．
【详解】
添加的条件是∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）．
理由是：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∵∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE．
故答案为：∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）．
【点拨】本题主要考查对全等三角形的判定，等腰三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，能正确添加条件并能证出结论是证此题的关键．
65．（1）见解析；（2）67.5°．
【分析】
（1）先根据等腰直角三角形的性质得出AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，则有∠BAF＝∠CAD，即可利用SAS证明△ABF≌△ACD，则结论可证；
（2）先根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，然后由△ABF≌△ACD得出∠ABF＝∠ACD＝45°，最后利用∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF即可求解．
【详解】
（1）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAD，且AB＝AC，AF＝AD
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴BF＝DC
（2）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝45°
∵AB＝AC＝BD
∴∠BDA＝∠BAD＝67.5°
∴∠BDF＝22.5°
∵△ABF≌△ACD，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF＝67.5°
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理是解题的关键．
66．（1）见解析；（2）∠BAC＝80°．
【分析】
（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
67．（1）α；（2）见解析.
【分析】
（1）由四边形的内角和即可求出∠AQP，从而求出∠PQC；
（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，证明△PEB≌△PFQ即可.
【详解】
解：（1）∵∠BPQ+∠BAQ=180°，∠ABP=α
∴∠AQP=360°－∠BPQ－∠BAQ－∠ABP=180°－α
∴∠PQC=180°－∠AQP=α
（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵AB=AC,AD为△ABC的中线
∴AD平分∠BAC
∴PE=PF
在△PEB和△PFQ中
∴△PEB≌△PFQ
∴BP=PQ
【点拨】此题考查的是四边形的内角、等腰三角形的性质和全等三角形的判定，掌握四边形的内角和等于360°、三线合一和用AAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.
68．（1）；（2）见解析．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质求出的度数，进而利用三角形外角的性质求出的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案；
（2）首先利用等腰三角形三线合一得出，，然后利用，得出，进而可得出结论．
【详解】
（1）由题知：AB=AD，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵AB=AD，
∴∆ABD为等腰三角形．
又∵点是的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余，掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
69．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形．
【详解】
（1）如图1所示：△ABC即为所求；
（2）如图2所示：△ABC即为所求．
【点拨】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键．
70．（1）4；（2）见解析
【分析】
（1）分AB为腰和底两种情况分别确定点M即可；
（2）由（1）作图即可.
【详解】
（1）以AB为腰的M点有3个，以AB为底的M点有1个，
所以，这样的M点有4个；
（2）如图所示：
【点拨】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定.
71．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）先证明：，再利用 证明，可得，从而可得结论；
（2）如图，过作交于，先证明为等腰三角形，可得：，再证明，可得，从而可得结论；
（3）过作于，利用全等三角形的性质求解，再利用等腰直角三角形的性质求解，再求解的面积，从而可得答案．
【详解】
证明：（1）
（2）如图，过作交于，
,，
,
，
，
，
在与中，
（3）过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
72．（1）；（2），理由详见解析.
【分析】
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】
解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案为.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.
∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
专题13.9 等腰三角形（专项练习1）
一、 单选题
知识点一、等边对等角求角
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
2．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
3．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
知识点二、等边对等角证明
5．如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
8．如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）
A． B． C．a-b D．b-a
知识点三、三线合一求解
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A．AC B．AD C．BE D．BC
11．如图，在中，，，是的两条中线，是上个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
A．8 B．10 C．5 D．4
知识点四、三线合一证明
13．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD ；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C ；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．若线段分别是边上的高线和中线，则（ ）
A． B．
C． D．
15．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
16．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
知识点五、根据格点画等腰三角形
17．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
18．如图在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．已知 A（0，2）、B（4，0），点 C 在 x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，则满足这样条件的 C 有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
20．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，若也是图中的格点， 则使得是以为一腰的等腰三角形时， 点的个数是( )
A．8 B．6 C．4 D．7
知识点六、找等腰三角形
21．如图，，，，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
22．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．如图，在△ ABC中，∠ A= ∠ C= ，BD平分∠ABC，DE//BC,则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
知识点七、由等边对等角证明等腰三角形
25．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（ ）
A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100°
C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
26．如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
27．如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
28．如图，等腰△ABC的面积为S，AB＝AC＝m，点D为BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE+DF＝（ ）
A． B． C． D．
知识点八、等角对等边证明线段相等
29．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
30．如图，在中，平分，平分，经过点O，与，相交于点N，M，且，设，，，则的周长为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．42
31．在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
32．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4 B．a︰b︰c=2︰3︰4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A︰∠B︰∠C=1︰1︰2
二、 填空题
知识点一、等边对等角求角
33．已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
34．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=____度
35．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
36．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°．
知识点二、等边对等角证明
37．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么α的度数为_______．
38．如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两张凳子之间（凳子与地面垂直），已知，，则两张凳子的高度之和为__________.
39．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，OD=5cm,则CD的长为__________cm.
40．如图，在△ABC与△ADE中，点E在BC上，AC＝AE，且EA平分∠CED，请你添加1个条件使△ABC≌△ADE，你添加的条件是：_____．
知识点三、三线合一求解
41．如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为______．
42．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_______.
43．等腰三角形的顶角为，底边上的高为2，则它的周长为_____．
44．如图，在中，点是上的一点，将沿翻折，点恰好落在的中点处，则的度数为________________．
知识点四、三线合一证明
45．如图，已知在中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________ ．（只需填上一个正确的条件）
46．如图，墙上钉了根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，再这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明建BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，其中的道理是________.
47．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA=∠DAC，则下列结论：①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．正确的有______.
48．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．
知识点五、根据格点画等腰三角形
49．如图所示的网格是正方形网格，△ABC的顶点A、B、C恰好落在正方形网格中的格点上，则∠ABC＝______°．
50．如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有______个．
51．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，若点也是图中的格点，且为等腰三角形，则符合条件的点有______个．
52．在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标轴上找一点， 使得是等腰三角形，则这样的点共有__________个
知识点六、找等腰三角形
53．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是____________.(填序号)
54．在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有__________个等腰三角形．
55．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形__．
56．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形有____个．
知识点七、由等边对等角证明等腰三角形
57．在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．
58．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝4，则CD的长为_____．
59．在中，若，则是一个_______三角形.
60．如图，点D为△ABC的边AB上一点，若∠1=∠2，AB=7，AC=3，则△ACD的周长为______．
知识点八、等角对等边证明线段相等
61．在△ABC中，∠CAB＝2∠B，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，AC＝3，AD＝1.下列结论:①∠AEC＝∠CAB；②EF＝CE；③AC＝AE；④BD＝4；
正确的是___________(填序号)
62．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=________.
63．如图，在四边形中，，平分，则____.
64．如图，∠AEC=∠ACE，∠DAB=∠CAE，要使△ABC≌△ADE，应添加的条件是_____．（添加一个条件即可）
三、 解答题
知识点一、等边对等角求角
65．如图，△ABC与△AFD为等腰直角三角形，∠FAD＝∠BAC＝90°，点D在BC上，则：
（1）求证：BF＝DC．
（2）若BD＝AC，则求∠BFD的度数．
知识点二、等边对等角证明
66．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
知识点三、三线合一求解
67．如图，已知△ABC中，AB=AC,AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ=180°.
（1）若∠ABP=α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；
（2）求证：BP=PQ.
知识点四、三线合一证明
68．如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与BC边交于点，连接AD，过点作，交于点．
（1）若，，求的度数．
（2）若点是的中点，连接，求证：．
知识点五、根据格点画等腰三角形
69．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①、图②中已画出线段AB，点A、B均在格点上按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为腰，画一个三边长都是无理数的等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为底的等腰三角形．
知识点六、找等腰三角形
70．如图，在直线a上找一点M，使△MAB是等腰三角形.
（1）这样的M点有 个.
（2）在图中画出点M，保留痕迹.
知识点七、由等边对等角证明等腰三角形
71．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．
（1）求证；
（2）求证；
（3）若，，请直接写出的面积．
知识点八、等角对等边证明线段相等
72．（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．C
【分析】
根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【详解】
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故选C．
2．B
【详解】
试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
考点：等腰三角形的性质．
3．B
【分析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
4．B
【分析】
根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
5．B
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】
解： A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；
B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；
C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；
D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．A
【分析】
根据角平分线的性质以及平行线的性质得出△BDE为等腰三角形，然后将△ADE的周长转化为AB+AD得出答案．
【详解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
∴=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，
故选A．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及平行线的性质，属于基础题型．解答这个问题的关键就是得出△BDE为等腰三角形．
7．A
【分析】
先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，则2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性质得到∠D＝∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
【详解】
解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，
即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，
∴2∠1＝2∠3＋∠A，
∵∠1＝∠3＋∠D，
∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．
故选A．
【点拨】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．
8．C
【分析】
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
【详解】
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC-AD=a-b，
故选：C．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
9．C
【详解】
试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.
故选C
考点：等腰三角形三线合一
10．C
【分析】
如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】
解：如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选C．
【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．B
【分析】
如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE．
【详解】
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE．
故选B．
【点拨】本题主要考查了了三角形三边关系的应用，结合了等腰三角形三线合一的性质和中垂线的性质．
12．C
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得到，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
∵，，
∴，
∵，，
∴,
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13．D
【分析】
由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明△ABD≌△ACD，得（1）正确，可得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，故（3）正确，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，故（2）（4）正确，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），故（1）正确，
∴正确的有4个，
故选择：D.
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线相互重合是解题的关键．
14．D
【分析】
画出符合题意的图形，根据点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，逐一判断各选项可得答案．
【详解】
解：如图，是的高，是的中线，
当为等腰三角形，且时，等号成立．
故错误，正确，
故选：．
【点拨】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，三角形的高，中线的含义，掌握以上知识是解题的关键．
15．D
【分析】
可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
【详解】
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；
故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点拨】此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
16．C
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
17．C
【分析】
分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】
解：如图，
分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决.
18．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
19．B
【分析】
分为三种情况:①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC,根据等腰三角形性质即可求得.
【详解】
解:以A为圆心,以AB为半径作弧,交x轴于点,此时AC=AB;
以B为圆心,以AB为半径作弧,交x轴于,两点,此时BC=AB;
作AB的垂直平分线交x轴于,此时AC=BC,即1+2+1=4,
故答案为:B.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的动手操作能力和理解能力.
20．C
【分析】
当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形．
【详解】
解：如图，当AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．
21．D
【分析】
首先根据已知角度分别求出其他角度，然后根据等腰三角形的性质等角对等边，即可判定.
【详解】
∵，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故选：D.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的判定，熟练掌握，即可解题.
22．D
【分析】
根据已知条件和三角形内角和得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后根据等腰三角形的定义及等角对等边进行判断即可．
【详解】
∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°
∴∠ABC＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°
∵∠A＝∠ABD＝36°
∴△ABD是等腰三角形
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°
∴∠BDC＝∠C
∴△BDC是等腰三角形
∴共有3个等腰三角形
故选D．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，明确等腰三角形的判定方法是解题的关键.
23．D
【分析】
根据已知的角利用两直线平行的性质求出一些角的大小，即可得到等腰三角形的个数.
【详解】
解：在△ ABC中，∠ A= ∠ C=
∠ABC=
BD平分∠ABC
∠ABD=∠CBD=
DE//BC
∠EDB=∠CBD=
∠CDB=∠BCD=
等腰三角形的个数有5个，分别是∆ABC,∆AED,∆EBD,∆BDC,∆DAB.
故选D.
【点拨】此题重点考察学生对等腰三角形的认识，理解等腰三角形的性质是解题的关键.
24．D
【详解】
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故选D．
【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
25．D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．
【详解】
解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+∠B=90°，
则2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故选D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定．解答该题时，一定要与三角形的内角和定理相结合．
26．A
【分析】
首先根据条件∠ACB=90°，CD是AB边上的高，可证出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根据同角的补角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角对等边可证出结论．
【详解】
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠DCA，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠B=∠CFE，
∠2+∠DCA=∠FEC，
∴∠CFE=∠FEC，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形.
故选A
【点拨】此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
27．A
【分析】
根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，FE=CE，然后利用等量代换即可求出线段DE的长．
【详解】
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，
∴BD=DF=5，FE=CE=4，
∴DE=DF+EF=5+4=9．
故选A．
【点拨】本题主要考查了学生对等腰三角形的判定和平行线的性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．
28．B
【分析】
连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ADC即可计算得出DE+DF的长.
【详解】
连接AD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=+=m·（DE+DF）=S
∴DE+DF=，
故选B.
【点拨】此题主要考查等腰三角形的计算，解题的关键是利用面积不变进行高的计算.
29．B
【分析】
如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
【详解】
解：如图，在上截取 连接
平分
故选：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
30．B
【分析】
先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周长公式、线段的和差即可求得结论．
【详解】
解：∵平分，平分
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的周长为．
故选：B
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形周长公式、线段的和差等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
31．B
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=55°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选B．
点睛：本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定，熟记三角形的内角和是解题的关键．
32．B
【分析】
根据等腰三角形的判定和性质进行判断.
【详解】
因为a=3，b=4，c=3，所以a=c，所以△ABC是等腰三角形，故A正确；因为a：b：c=2：3：4，所以a≠b≠c，所以△ABC不是等腰三角形，所以B错误；因为∠B=50°，∠C=80°，所以∠A=50°，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以C正确；因为∠A：∠B：∠C=1：1：2，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以D正确．故选B．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键.
33．40
【分析】
根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键．
34．
【详解】
试题分析：先设∠C=x，由AB=AC可知，∠B=x，由AD=DC可知∠C=∠DAC=x，由三角形外角的性质可知∠ADB=∠C+∠DAC=2x，根据AB=BD可知∠ADB=∠BAD=2x，再在△ABD中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
试题解析：设∠C=x，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x，
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC=x，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x，
∵AB=BD，
∴∠ADB=∠BAD=2x，
在△ABD中，∠B=x，∠ADB=∠BAD=2x，
∴x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
∴∠C=36°．
考点：等腰三角形的性质．
35．70
【分析】
先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.
【详解】
∵∠ABC=90°，AB=AC，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，
故答案为70.
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
36．45°
【详解】
∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
37．108°
【解析】
如图，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠4，∠B=∠C，
∵∠4=∠1+∠B=2∠B=2∠C，
∴∠2=∠4=2∠C，
∵∠2+∠4+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴α=∠BAC=180°-2∠C=108°．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
38．140
【分析】
根据等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法即可得出.
【详解】
由题意得∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵∠ADC=∠CEB=90°，
AC=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD=CE=80，BE=CD=60，
∴两张凳子的高度之和为AD+BE=140
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
39．5
【分析】
根据题意，可得∠AOC＝∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C＝∠AOC，则CD＝OD可求．
【详解】
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C＝BOC，
∴∠C＝∠AOC；
∴CD＝OD＝5cm．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，角平分线的定义，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，出现角平分线和平行线容易出现等腰三角形．
40．∠B＝∠D
【分析】
根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠AED＝∠C，添加∠B＝∠D可利用AAS定理证明△ABC≌△ADE．
【详解】
解：添加∠B＝∠D，
理由：∵EA平分∠CED，
∴∠AED＝∠AEC，
∵AC＝AE，
∴∠C＝∠AEC，
∴∠AED＝∠C，
当∠B＝∠D时，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
故答案为：∠B＝∠D．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理是解题的关键．
41．8
【详解】
试题分析：因为AB=AC,AD⊥BC ,所以BD=CD，因为△ABC的周长为32 ,所以AC + CD = 32=16，又因为△ACD的周长为24，所以AD=" 24" - （AC + CD ）="24-16=" 8．
考点：等腰三角形的性质．
42．20
【详解】
分析：本题利用等腰三角形的三线合一的性质得出即可.
解析：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AB＝6，CD＝4，∴AC=AB=6,BD=CD=4,∴△ABC的周长为20.
故答案为20.
43．
【分析】
根据等腰三角形的性质可分别求得腰长和底边的长，从而不难求得三角形的周长.
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为2，
∴腰长=4，底边的一半=2，
∴周长=4+4+2×2=8+4．
故答案为8+4．
【点拨】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质的综合运用．
44．60°
【分析】
根据折叠的性质得∠BDE=∠BDA，∠BED=，进而得DC=DB，由等腰三角形的性质，可得∠CDE=∠BDE，进而即可求解．
【详解】
∵在中，，将沿翻折，点恰好落在的中点处，
∴BE=CE，∠BDE=∠BDA，∠BED=，即：DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴∠CDE=∠BDE=∠BDA=180°÷3=60°．
故答案是：60°．
【点拨】本题主要考查折叠的性质，垂直平分线的性质定理以及等腰三角形的性质定理，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
45．AD⊥BC
【分析】
根据等腰三角形“三线合一”，即可得到答案．
【详解】
∵在中，AB=AC，，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”，是解题的关键．
46．等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，AD也是BC边上的高，即AD⊥BC，即这根木条是水平的．
【详解】
∵AB=AC，D为BC边的中点，∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高．
又∵AD自然下垂，∴BC处于水平位置．
故答案为：等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质；其中要注意等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高线，顶角平分线重合．
47．①②④．
【分析】
由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易证得∠DCA=∠DAC，继而可得①∠DCB=∠B正确；由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．
【详解】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴CD=AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=30°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解题的关键．
48．
【分析】
如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．
【详解】
解：如图，连接，延长与交于点
平分，，
是的垂直平分线，
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
49．135
【分析】
根据网格的特点和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
【点拨】本题以网格为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，属于常见题型，熟练掌握网格的特点和等腰直角三角形的性质是解题关键．
50．9
【解析】
根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．
51．8
【分析】
根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当以AB为底边时，或当以AB为腰时，分别作出符合条件的图即可解题．
【详解】
解：分情况讨论：
当以AB为底边时，如图，符合条件的点C有4个；
当以AB为腰时，如图，符合条件的点C有4个，
综上所述，符合题意的店C共有8个，
故答案为：8．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
52．
【分析】
分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴的交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴的交点，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，
一共有5个这样的点，
故答案为：5．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
53．（1）（3）（4）
【分析】
由已知条件，根据度数的特点，逐一作出判断，最后写出答案．
【详解】
由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°；
（2）不能；
（3）直角三角形的斜边上的中线把它还分为了两个等腰三角形；
（4）中分成的为36°，72°，72°和36°，36°，108°．
故应填①③④．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
54．3
【分析】
先标出图三交点的字母,然后根据对称的性质便可求解．
【详解】
解：图三标上字母如图所示
根据对称性，是等腰三角形的有：三个
故答案为：3．
【点拨】本题考查等腰三角形的判断，以及对称平移变换，属于基础题．
55．△ABD，△BDC，△ABC．
【分析】
先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【详解】
∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
56．5．
【详解】
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形．
故填5．
57．200
【详解】
解：由已知得：
∠ABC=90°+30°=120°，
∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
58．2
【分析】
利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据等角的余角相等证出∠ACD＝∠A，从而证明DA＝DC，从而得到CD＝AB＝2．
【详解】
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×4＝2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图—作已知线段的垂直平分线，以及垂直平分线的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
59．等腰
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠C的度数即可作出判断.
【详解】
∵∠A=46°，∠B=67°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-46°-67°=67° ，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，
故答案为等腰.
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理以及等腰三角形的判定方法是解题的关键.
60．10
【分析】
根据等腰三角形的性质得出DB=DC,从而得出△ADC的周长=AB+AC，即可解决问题．
【详解】
∵∠1=∠2，∴DB=DC，∴△ADC的周长=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=7+3=10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
61．①②.
【解析】
【分析】
根据角平分线，三角形的外角性质以及等角对等边的性质可得出结论①②正确．
【详解】
解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠EAB，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠AEC＝∠B+∠EAB，
∴∠AEC＝2∠B=∠CAB，①正确；
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∵∠EAB＝∠B，
∴∠DCB＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CFE＝∠DCB，
∴EF＝CE，②正确；
无法证明AC＝AE，故③不正确；
∵AC＝3，AD＝1，CD⊥AB于D，
∴CD= ，
不能得出BD＝4，故④不正确.
故答案为①②.
【点拨】本题考查角平分线，三角形的外角性质以及等角对等边的性质，正确的识别图形是解题的关键．
62．3．
【解析】
试题分析：因为∠BAC=100°，∠B=40°，所以∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=40°，所以∠ACB=∠B，所以AC=AB=3．因为∠D=20°，所以∠DAC=∠ACB﹣∠D=20°，所以∠DAC=∠D，所以CD=AC=3．故答案为3．
考点：等腰三角形的判定与性质．
63．2
【分析】
根据平行线的性质及角平分线可得到∠BAE=∠AEB，从而得到AB=BE=4，再利用线段的和差关系计算即可.
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=4，
∴EC=BC－BE=6－4=2.
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线，及等角对等边，熟练运用这些知识是解题的关键.
64．∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）
【解析】
【分析】
∠B=∠D，根据等式的性质求出∠DAE=∠BAC，根据等腰三角形的性质得出AB=AC，根据AAS即可证出△ABC≌△ADE．
【详解】
添加的条件是∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）．
理由是：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∵∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE．
故答案为：∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）．
【点拨】本题主要考查对全等三角形的判定，等腰三角形的判定，等式的性质等知识点的理解和掌握，能正确添加条件并能证出结论是证此题的关键．
65．（1）见解析；（2）67.5°．
【分析】
（1）先根据等腰直角三角形的性质得出AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，则有∠BAF＝∠CAD，即可利用SAS证明△ABF≌△ACD，则结论可证；
（2）先根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，然后由△ABF≌△ACD得出∠ABF＝∠ACD＝45°，最后利用∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF即可求解．
【详解】
（1）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAD，且AB＝AC，AF＝AD
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴BF＝DC
（2）∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝45°
∵AB＝AC＝BD
∴∠BDA＝∠BAD＝67.5°
∴∠BDF＝22.5°
∵△ABF≌△ACD，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF＝67.5°
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理是解题的关键．
66．（1）见解析；（2）∠BAC＝80°．
【分析】
（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
67．（1）α；（2）见解析.
【分析】
（1）由四边形的内角和即可求出∠AQP，从而求出∠PQC；
（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，证明△PEB≌△PFQ即可.
【详解】
解：（1）∵∠BPQ+∠BAQ=180°，∠ABP=α
∴∠AQP=360°－∠BPQ－∠BAQ－∠ABP=180°－α
∴∠PQC=180°－∠AQP=α
（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∵AB=AC,AD为△ABC的中线
∴AD平分∠BAC
∴PE=PF
在△PEB和△PFQ中
∴△PEB≌△PFQ
∴BP=PQ
【点拨】此题考查的是四边形的内角、等腰三角形的性质和全等三角形的判定，掌握四边形的内角和等于360°、三线合一和用AAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.
68．（1）；（2）见解析．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质求出的度数，进而利用三角形外角的性质求出的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案；
（2）首先利用等腰三角形三线合一得出，，然后利用，得出，进而可得出结论．
【详解】
（1）由题知：AB=AD，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵AB=AD，
∴∆ABD为等腰三角形．
又∵点是的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余，掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
69．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形．
【详解】
（1）如图1所示：△ABC即为所求；
（2）如图2所示：△ABC即为所求．
【点拨】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键．
70．（1）4；（2）见解析
【分析】
（1）分AB为腰和底两种情况分别确定点M即可；
（2）由（1）作图即可.
【详解】
（1）以AB为腰的M点有3个，以AB为底的M点有1个，
所以，这样的M点有4个；
（2）如图所示：
【点拨】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定.
71．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）先证明：，再利用 证明，可得，从而可得结论；
（2）如图，过作交于，先证明为等腰三角形，可得：，再证明，可得，从而可得结论；
（3）过作于，利用全等三角形的性质求解，再利用等腰直角三角形的性质求解，再求解的面积，从而可得答案．
【详解】
证明：（1）
（2）如图，过作交于，
,，
,
，
，
，
在与中，
（3）过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
72．（1）；（2），理由详见解析.
【分析】
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】
解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案为.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.
∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
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