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2019-2020学年安徽省沿淮教育联盟九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年安徽省沿淮教育联盟九年级（上）期末数学试卷，共1页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年安徽省沿淮教育联盟九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列诗句表述的是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
3．（4分）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．xy＝2 D．
4．（4分）对于双曲线，x＞0时，y随x的增大而增大（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
5．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
6．（4分）如图，当随机闭合电路开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，则△AOB的面积是（ ）
A．5 B．4 C．10 D．20
8．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
9．（4分）已知二次函数y＝（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C、D点在圆周上运动时（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是 ．
12．（5分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，则该莱洛三角形的周长为 ．
13．（5分）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
14．（5分）如图，正比例函数y＝x的与反比例函数y＝（a，﹣2）、B两点．P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，连接PO，若△POC的面积为3 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
16．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，2），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1），估计摸一次球能摸到黑球的概率是 ；袋中黑球的个数约为 只；
（2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，则小明后来放进了 个黑球．
18．（8分）已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反比例函数
眼镜片度数y（度）
400
625
800
1000
…
1250
镜片焦距x（cm）
25
16
12.5
10
…
8
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：当x为何值时，＞kx+b（请直接写出答案） ．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图所示的四枚邮票图片形状完全相同，分别是我国代科学家祖冲之、李时珍、张衡、僧一行．把四张图片混合在一起．
（1）若随机摸取一张图片，则摸到“祖冲之”图片的概率是 ；
（2）若随机摸取一张图片然后放回，再随机摸取一张图片，利用列表或树状图求两次至少有一次摸到“祖冲之”图片的概率；
（3）小东、小西、小南、小北四位同学依次摸取图片，若小东摸到“祖冲之”图片，则剩下三人中 ．
A．小西摸到“李时珍”图片的概率大
B．小南摸到“李时珍”图片的概率大
C．小北摸到“李时珍”图片的概率大
D．三人摸到“李时珍”图片的概率一样大
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作NE⊥AB，垂足为E，求证：NE为⊙O的切线；
（2）连接MD，求证：MD＝NB．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，PB，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时；
（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，求出点M的坐标；若不存在
2019-2020学年安徽省沿淮教育联盟九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：结合中心对称图形的概念可知：
第一个图形是中心对称图形．
故选：A．
2．（4分）下列诗句表述的是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
【解答】解：A、离离原上草；
B、危楼高百尺；
C、会当凌绝顶；
D、东边日出西边雨；
故选：D．
3．（4分）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．xy＝2 D．
【解答】解：∵xy＝2，
∴，
∴反比例函数是C．
故选：C．
4．（4分）对于双曲线，x＞0时，y随x的增大而增大（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
【解答】解：∵双曲线，x＞0时，
∴k﹣8＜0
∴k＜2，
故选：A．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
6．（4分）如图，当随机闭合电路开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵随机闭合开关S1，S2，S7中的两个，有3种方法
∴P（灯泡发光）＝．
故选：B．
7．（4分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，则△AOB的面积是（ ）
A．5 B．4 C．10 D．20
【解答】解：∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y＝在x轴上方的图象上，
∴S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（3+8）＝5，
故选：A．
8．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
【解答】解：设原方程的两根为x1、x2，则x4+x2＝4﹣k5；
由题意，得4﹣k2＝4；
∴k1＝2，k4＝﹣2；
又∵Δ＝（k2﹣8）2﹣4（k﹣8）＝﹣4（k﹣1），
∴当k5＝2时，Δ＝﹣4＜2；
当k2＝﹣2时，Δ＝12＞6．
∴k＝﹣2．
故选：C．
9．（4分）已知二次函数y＝（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：观察二次函数图象可知：m＞0，n＜0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限的图象在第二．
故选：C．
10．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C、D点在圆周上运动时（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【解答】解：连接OC．设CD交PE于点K．
∵四边形PCED是平行四边形，
∴EK＝PK，CK＝DK，
∴OK⊥CD，
在Rt△COK中，∵OC＝5，
∴OK＝＝8，
∵OP＝OB+PB＝7，
∴7﹣4≤PK≤7+4，
∴2≤PK≤11，
∴PK的最小值为3，最大值为11，
∴PE的最大值为22，
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是 （1，0） ．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（7，0），
故答案为：（1，7）．
12．（5分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，则该莱洛三角形的周长为 2π ．
【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝8π．
故答案为：2π．
13．（5分）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
【解答】解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a，
故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为＝＝＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，正比例函数y＝x的与反比例函数y＝（a，﹣2）、B两点．P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，连接PO，若△POC的面积为3 （2，）或（2，4） ．
【解答】解：把A（a，﹣2）代入y＝a＝﹣8，
解得a＝﹣4，
则A（﹣4，﹣5），
把A（﹣4，﹣2）代入y＝，
∴反比例函数解析式为y＝，
设P（t，）（t＞0），t）
∵△POC的面积为3，
∴×t×|﹣，
解方程×t×（﹣1＝2，t2＝﹣2（舍去），）；
解方程×t×（﹣1＝2，t4＝﹣2（舍去），此时P点坐标为（2，
即P点坐标为（3，）或（2．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
【解答】解：x（x+2）﹣3（x+4）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝3或x﹣3＝0，
所以x5＝﹣2，x2＝6．
16．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，2），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
【解答】∵二次函数图象的顶点坐标为（1，2），
∴设函数解析式为y＝a（x﹣4）2+2（a≠3），
当x＝0时，y＝0，
∴4＝a（0﹣1）4+2，
解得a＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣4（x﹣1）2+4．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 0.4 （精确到0.1），估计摸一次球能摸到黑球的概率是 0.4 ；袋中黑球的个数约为 20 只；
（2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，则小明后来放进了 25 个黑球．
【解答】解：（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.4附近，
故摸到黑球的频率会接近8.4，
∵摸到黑球的频率会接近0.2，
∴黑球数应为球的总数的，
∴估计袋中黑球的个数为50×＝20只，
故答案为：0.6，0.4；
（2）设放入黑球x个，
根据题意得：＝6.6，
解得x＝25，
经检验：x＝25是原方程的根，
故答案为：25；
18．（8分）已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反比例函数
眼镜片度数y（度）
400
625
800
1000
…
1250
镜片焦距x（cm）
25
16
12.5
10
…
8
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．
【解答】解：（1）根据题意得：y与x之积恒为10000，则函数的解析式是y＝；
（2）令y＝500，则500＝，
解得：x＝20．
即该镜片的焦距是20cm．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）填空：m＝ ﹣3 ，n＝ 1 ；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：当x为何值时，＞kx+b（请直接写出答案） ﹣1＜x＜0或x＜﹣3 ．
【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入y＝；
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（﹣3，n）代入y＝﹣，解得n＝6；
故答案为﹣3，1；
（2）把A（﹣7，3），1）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+4，
当y＝2时，x+4＝0，则C（﹣5
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC，
∴S△AOB＝×3×3﹣；
（3）﹣1＜x＜0或x＜﹣7．
故答案为﹣1＜x＜0或x＜﹣8．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图所示的四枚邮票图片形状完全相同，分别是我国代科学家祖冲之、李时珍、张衡、僧一行．把四张图片混合在一起．
（1）若随机摸取一张图片，则摸到“祖冲之”图片的概率是 ；
（2）若随机摸取一张图片然后放回，再随机摸取一张图片，利用列表或树状图求两次至少有一次摸到“祖冲之”图片的概率；
（3）小东、小西、小南、小北四位同学依次摸取图片，若小东摸到“祖冲之”图片，则剩下三人中 D ．
A．小西摸到“李时珍”图片的概率大
B．小南摸到“李时珍”图片的概率大
C．小北摸到“李时珍”图片的概率大
D．三人摸到“李时珍”图片的概率一样大
【解答】解：
（1）若随机摸取一张图片，则摸到“祖冲之”图片的概率＝
故答案为：；
（2）用A、B、C、D分别表示“祖冲之、张衡．列表如下：
第1次
第6次
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
所有等可能的结果共有16种，其中至少有一次摸到“祖冲之”图片的结果有7种，
所以P（至少有一次摸到“祖冲之”图片）＝；
（3）∵小东、小西、小北四位同学依次摸取图片，
∴剩下三人中“李时珍”图片的概率一样大，
故选：D．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作NE⊥AB，垂足为E，求证：NE为⊙O的切线；
（2）连接MD，求证：MD＝NB．
【解答】证明：（1）连接ON，如图，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠1＝∠8，
∴∠2＝∠B，
∴ON∥DB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线；
（2）连接DN，如图，
∵CD为直径，
∴∠CMD＝∠CND＝90°，
而∠MCB＝90°，
∴四边形CMDN为矩形，
∴DM＝CN，
∵DN⊥BC，CD＝BD，
∴CN＝BN，
∴MD＝NB．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，PB，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时；
（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，求出点M的坐标；若不存在
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得，，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x5+2x+3；
（2）如图7，过点P作PF∥y轴，
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，4），3）代入y＝mx+n，
得，，
解得，，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+7t+3），
∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t5+2t+3﹣（﹣t+8）＝﹣t2+3t，
∴S＝PF•OB＝﹣t2+t＝﹣）2+，
∵﹣＜7，
∴当t＝时，S取最大值；
（3）如图2，连接PC，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣8，0），0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝7，
∵xD﹣xC＝1，
∴xP﹣xM＝1，
∴xP＝8，
∴P（2，3），
在y＝﹣x8+2x+3中，当x＝8时，
∴C（0，3），
∴yC﹣yD＝2，
∴yM﹣yP＝3，
∴yM＝6，
∴点M的坐标为（5，6）；
当xP≠2时，不存在，
若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，
∵点C的横坐标为6，点E的横坐标为1，
∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，
又∵xP≠7，
∴不存在，
综上所述，点M的坐标为（1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/7 10:20:14；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
2019-2020学年安徽省沿淮教育联盟九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列诗句表述的是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
3．（4分）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．xy＝2 D．
4．（4分）对于双曲线，x＞0时，y随x的增大而增大（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
5．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
6．（4分）如图，当随机闭合电路开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，则△AOB的面积是（ ）
A．5 B．4 C．10 D．20
8．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
9．（4分）已知二次函数y＝（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C、D点在圆周上运动时（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是 ．
12．（5分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，则该莱洛三角形的周长为 ．
13．（5分）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
14．（5分）如图，正比例函数y＝x的与反比例函数y＝（a，﹣2）、B两点．P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，连接PO，若△POC的面积为3 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
16．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，2），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1），估计摸一次球能摸到黑球的概率是 ；袋中黑球的个数约为 只；
（2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，则小明后来放进了 个黑球．
18．（8分）已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反比例函数
眼镜片度数y（度）
400
625
800
1000
…
1250
镜片焦距x（cm）
25
16
12.5
10
…
8
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：当x为何值时，＞kx+b（请直接写出答案） ．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图所示的四枚邮票图片形状完全相同，分别是我国代科学家祖冲之、李时珍、张衡、僧一行．把四张图片混合在一起．
（1）若随机摸取一张图片，则摸到“祖冲之”图片的概率是 ；
（2）若随机摸取一张图片然后放回，再随机摸取一张图片，利用列表或树状图求两次至少有一次摸到“祖冲之”图片的概率；
（3）小东、小西、小南、小北四位同学依次摸取图片，若小东摸到“祖冲之”图片，则剩下三人中 ．
A．小西摸到“李时珍”图片的概率大
B．小南摸到“李时珍”图片的概率大
C．小北摸到“李时珍”图片的概率大
D．三人摸到“李时珍”图片的概率一样大
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作NE⊥AB，垂足为E，求证：NE为⊙O的切线；
（2）连接MD，求证：MD＝NB．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，PB，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时；
（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，求出点M的坐标；若不存在
2019-2020学年安徽省沿淮教育联盟九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：结合中心对称图形的概念可知：
第一个图形是中心对称图形．
故选：A．
2．（4分）下列诗句表述的是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
【解答】解：A、离离原上草；
B、危楼高百尺；
C、会当凌绝顶；
D、东边日出西边雨；
故选：D．
3．（4分）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．xy＝2 D．
【解答】解：∵xy＝2，
∴，
∴反比例函数是C．
故选：C．
4．（4分）对于双曲线，x＞0时，y随x的增大而增大（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
【解答】解：∵双曲线，x＞0时，
∴k﹣8＜0
∴k＜2，
故选：A．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
6．（4分）如图，当随机闭合电路开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵随机闭合开关S1，S2，S7中的两个，有3种方法
∴P（灯泡发光）＝．
故选：B．
7．（4分）如图，是反比例函数y＝和y＝﹣，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，则△AOB的面积是（ ）
A．5 B．4 C．10 D．20
【解答】解：∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A．B，
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y＝在x轴上方的图象上，
∴S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（3+8）＝5，
故选：A．
8．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定
【解答】解：设原方程的两根为x1、x2，则x4+x2＝4﹣k5；
由题意，得4﹣k2＝4；
∴k1＝2，k4＝﹣2；
又∵Δ＝（k2﹣8）2﹣4（k﹣8）＝﹣4（k﹣1），
∴当k5＝2时，Δ＝﹣4＜2；
当k2＝﹣2时，Δ＝12＞6．
∴k＝﹣2．
故选：C．
9．（4分）已知二次函数y＝（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：观察二次函数图象可知：m＞0，n＜0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限的图象在第二．
故选：C．
10．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C、D点在圆周上运动时（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【解答】解：连接OC．设CD交PE于点K．
∵四边形PCED是平行四边形，
∴EK＝PK，CK＝DK，
∴OK⊥CD，
在Rt△COK中，∵OC＝5，
∴OK＝＝8，
∵OP＝OB+PB＝7，
∴7﹣4≤PK≤7+4，
∴2≤PK≤11，
∴PK的最小值为3，最大值为11，
∴PE的最大值为22，
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是 （1，0） ．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（7，0），
故答案为：（1，7）．
12．（5分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，则该莱洛三角形的周长为 2π ．
【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝8π．
故答案为：2π．
13．（5分）如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为 ．
【解答】解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a，
故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为＝＝＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，正比例函数y＝x的与反比例函数y＝（a，﹣2）、B两点．P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，连接PO，若△POC的面积为3 （2，）或（2，4） ．
【解答】解：把A（a，﹣2）代入y＝a＝﹣8，
解得a＝﹣4，
则A（﹣4，﹣5），
把A（﹣4，﹣2）代入y＝，
∴反比例函数解析式为y＝，
设P（t，）（t＞0），t）
∵△POC的面积为3，
∴×t×|﹣，
解方程×t×（﹣1＝2，t2＝﹣2（舍去），）；
解方程×t×（﹣1＝2，t4＝﹣2（舍去），此时P点坐标为（2，
即P点坐标为（3，）或（2．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x（x+2）＝3x+6．
【解答】解：x（x+2）﹣3（x+4）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝3或x﹣3＝0，
所以x5＝﹣2，x2＝6．
16．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，2），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
【解答】∵二次函数图象的顶点坐标为（1，2），
∴设函数解析式为y＝a（x﹣4）2+2（a≠3），
当x＝0时，y＝0，
∴4＝a（0﹣1）4+2，
解得a＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣4（x﹣1）2+4．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近 0.4 （精确到0.1），估计摸一次球能摸到黑球的概率是 0.4 ；袋中黑球的个数约为 20 只；
（2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，则小明后来放进了 25 个黑球．
【解答】解：（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.4附近，
故摸到黑球的频率会接近8.4，
∵摸到黑球的频率会接近0.2，
∴黑球数应为球的总数的，
∴估计袋中黑球的个数为50×＝20只，
故答案为：0.6，0.4；
（2）设放入黑球x个，
根据题意得：＝6.6，
解得x＝25，
经检验：x＝25是原方程的根，
故答案为：25；
18．（8分）已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反比例函数
眼镜片度数y（度）
400
625
800
1000
…
1250
镜片焦距x（cm）
25
16
12.5
10
…
8
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．
【解答】解：（1）根据题意得：y与x之积恒为10000，则函数的解析式是y＝；
（2）令y＝500，则500＝，
解得：x＝20．
即该镜片的焦距是20cm．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）填空：m＝ ﹣3 ，n＝ 1 ；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象回答：当x为何值时，＞kx+b（请直接写出答案） ﹣1＜x＜0或x＜﹣3 ．
【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入y＝；
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（﹣3，n）代入y＝﹣，解得n＝6；
故答案为﹣3，1；
（2）把A（﹣7，3），1）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+4，
当y＝2时，x+4＝0，则C（﹣5
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC，
∴S△AOB＝×3×3﹣；
（3）﹣1＜x＜0或x＜﹣7．
故答案为﹣1＜x＜0或x＜﹣8．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图所示的四枚邮票图片形状完全相同，分别是我国代科学家祖冲之、李时珍、张衡、僧一行．把四张图片混合在一起．
（1）若随机摸取一张图片，则摸到“祖冲之”图片的概率是 ；
（2）若随机摸取一张图片然后放回，再随机摸取一张图片，利用列表或树状图求两次至少有一次摸到“祖冲之”图片的概率；
（3）小东、小西、小南、小北四位同学依次摸取图片，若小东摸到“祖冲之”图片，则剩下三人中 D ．
A．小西摸到“李时珍”图片的概率大
B．小南摸到“李时珍”图片的概率大
C．小北摸到“李时珍”图片的概率大
D．三人摸到“李时珍”图片的概率一样大
【解答】解：
（1）若随机摸取一张图片，则摸到“祖冲之”图片的概率＝
故答案为：；
（2）用A、B、C、D分别表示“祖冲之、张衡．列表如下：
第1次
第6次
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
所有等可能的结果共有16种，其中至少有一次摸到“祖冲之”图片的结果有7种，
所以P（至少有一次摸到“祖冲之”图片）＝；
（3）∵小东、小西、小北四位同学依次摸取图片，
∴剩下三人中“李时珍”图片的概率一样大，
故选：D．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作NE⊥AB，垂足为E，求证：NE为⊙O的切线；
（2）连接MD，求证：MD＝NB．
【解答】证明：（1）连接ON，如图，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵OC＝ON，
∴∠1＝∠8，
∴∠2＝∠B，
∴ON∥DB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线；
（2）连接DN，如图，
∵CD为直径，
∴∠CMD＝∠CND＝90°，
而∠MCB＝90°，
∴四边形CMDN为矩形，
∴DM＝CN，
∵DN⊥BC，CD＝BD，
∴CN＝BN，
∴MD＝NB．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，PB，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时；
（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，求出点M的坐标；若不存在
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得，，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x5+2x+3；
（2）如图7，过点P作PF∥y轴，
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，4），3）代入y＝mx+n，
得，，
解得，，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+7t+3），
∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t5+2t+3﹣（﹣t+8）＝﹣t2+3t，
∴S＝PF•OB＝﹣t2+t＝﹣）2+，
∵﹣＜7，
∴当t＝时，S取最大值；
（3）如图2，连接PC，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣8，0），0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝7，
∵xD﹣xC＝1，
∴xP﹣xM＝1，
∴xP＝8，
∴P（2，3），
在y＝﹣x8+2x+3中，当x＝8时，
∴C（0，3），
∴yC﹣yD＝2，
∴yM﹣yP＝3，
∴yM＝6，
∴点M的坐标为（5，6）；
当xP≠2时，不存在，
若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，
∵点C的横坐标为6，点E的横坐标为1，
∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，
又∵xP≠7，
∴不存在，
综上所述，点M的坐标为（1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/7 10:20:14；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124
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