考点25 视图与投影-数学考点一遍过学案

考点25  视图与投影

一、投影

1．投影

在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．

2．平行投影、中心投影、正投影

（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．

【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．

（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．

【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．

（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影．

二、视图

1．视图

由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．

2．三视图

（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．

（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．

（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．

【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．

3．三视图的画法

（1）画三视图要注意三要素：

主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．

简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．

（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．

三、几何体的展开与折叠

1．常见几何体的展开图

2．正方体的展开图

正方体有11种展开图，分为四类：

第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；

第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．

考向一　三视图

在判断几何体的三视图时，注意以下两个方面：

（1）分清主视图、左视图与俯视图的区别；

（2）看得见的线画实线，看不见的线画虚线．

典例1　【广西壮族自治区南宁市2019–2020学年七年级上学期期末数学试题】如图是从不同方向看某一几何体得到的平面图形，则这个几何体是

A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱

【答案】D

【解析】∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，

∴此几何体为圆柱．故选D．

【名师点睛】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．

1．【江西省吉安市吉州区2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图所示的几何体的俯视图是

A．  B． 

C．  D．

考向二　几何体的还原与计算

解答此类问题时，首先要根据三视图还原几何体，再根据图中给出的数据确定还原后的几何体中的数据，最后根据体积或面积公式进行计算．

典例2　如图所示的是由几个相同小立方体组成的几何体从上面所看到的图形，正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则从左面看这个几何体所得到的图形是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，左视图如下：，故选D．

2．某一几何体的三视图均如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数为

A．9  B．5 

C．4  D．3

3．如图是一零件的三视图，则该零件的表面积为

A．15πcm2        B．24πcm2   

C．51πcm2        D．66πcm2

考向三　投影

1．根据两种物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两种物体的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在阳光下的投影，若相交则是在灯光下的投影．

2．光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终在物体的两侧．

3．物体的投影分为中心投影和平行投影．

典例3　【山东省青岛市平度市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是

A．①②③④  B．④③②① 

C．④③①②  D．②③④①

【答案】C

【解析】根据平行投影的规律以及电线杆从早到晚影子的指向规律，可知：俯视图的顺序为：④③①②，

故选C．

【名师点睛】本题主要考查平行投影的规律，掌握“就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西–西北–北–东北–东”，是解题的关键．

4．【陕西省渭南市富平县2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】小明在太阳光下观察矩形木板的影子，不可能是

A．平行四边形 B．矩形 C．线段 D．梯形

考向四　立体图形的展开与折叠

正方体展开图口诀：正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻．

典例4　如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，与标号为1的顶点重合的是

A．标号为2的顶点      B．标号为3的顶点

C．标号为4的顶点      D．标号为5的顶点

【答案】D

【解析】根据正方体展开图的特点得出与标号为1的顶点重合的是标号为5的顶点．故选D．

5．如图所示正方体的平面展开图是

A． B． 

C． D．

1．【江西省鹰潭市贵溪市第二中学2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图所示几何体的主视图是

A． B． C． D．

2．【山西省实验中学2019–2020学年七年级上学期期末数学试题】如图的几何体是由五个相同的小正方体组合面成的，从左面看，这个几何体的形状图是

A． B．

C． D．

3．【辽宁省丹东市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是

A．③—④—①—② B．②—①—④—③ 

C．④—①—②—③ D．④—①—③—②

4．【陕西省西安市碑林区铁一中学2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点，身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为

A．6.2米 B．10米 C．11.2米 D．12.4米

5．如图，（1）是几何体（2）的___________视图．

7．如图是一个正方体的展开图，折叠成正方体后与“创”字相对的一面上的字是__________．

8．一个几何体由12个大小相同的小正方体搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，若小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则从正面看，一共能看到________个小正方体（被遮挡的不计）．

9．画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图．

10．【山东省威海市乳山市2019–2020学年九年级上学期期末数学试题】数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．4米，台阶的高度均为0．3米，宽度均为0．5米．求大树的高度．

1．（2019•江西）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为

A． B．
C． D．

2．（2019•贵港）某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是

A． B．
C． D．

3．（2019•赤峰）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是

A．三棱锥        B．圆锥

C．三棱柱        D．圆柱

4．（2019•吉林）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为

A．         B．

C．        D．

5．（2019•黄冈）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是

A．         B． 

C．       D．

6．（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是

A．主视图相同       B．左视图相同

C．俯视图相同       D．三种视图都不相同

7．（2019•河北）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主=x2+2x，S左=x2+x，则S俯=

A．x2+3x+2   B．x2+2    C．x2+2x+1   D．2x2+3x

8．（2019•福建）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是

A． B．   C． D．

9．（2019•新疆）下列四个几何体中，主视图为圆的是

A．  B．  C．  D．

10．（2019•安徽）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是

A．  B．  C．  D．

11．（2019•潍坊）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是

A．俯视图不变，左视图不变    B．主视图改变，左视图改变

C．俯视图不变，主视图不变    D．主视图改变，俯视图改变

12．（2019•长沙）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是

A．  B． C．  D．

13．（2019•深圳）下列哪个图形是正方体的展开图

A． B． C． D．

14．（2019•济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是

A．    B．

C．    D．

15．（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是_________．（写出所有正确答案的序号）

16．（2019•攀枝花）如图是一个多面体的表面展开图，如果面F在前面，从左面看是面B，那么从上面看是面__________．（填字母）

17．（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为__________．

1．【答案】D

【解析】根据题意得：几何体的俯视图为，故选C．

【名师点睛】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解本题的关键．

2．【答案】C

【解析】从主视图看第一列有两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列有一个，说明俯视图中的右边一列有一个正方体，所以此几何体共有4个正方体．故选C．

3．【答案】B

【解析】由三视图知，该几何体是底面半径为3cm、高为4cm的圆锥体，则该圆锥的母线长为=5（cm），

∴该零件的表面积为π•32+•（2π•3）•5=9π+15π=24π（cm2），故选B．

4．【答案】D

【解析】A．将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形，故该选项不符合题意，

B．将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形，故该选项不符合题意，

C．将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段，

D．∵由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等，

∴得到投影不可能是梯形，故该选项符合题意，

故选D．

【名师点睛】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，平行物体的影子仍旧平行或重合．灵活运用平行投影的性质是解题的关键．

5．【答案】B

【解析】根据图示进行折叠可直接得到B答案符合题目要求．故选B．

1．【答案】C

【解析】从正面看，共有两列，第一列有两个小正方形，第二列有一个小正方形，在下方，只有选项C符合，故答案选择C．

【名师点睛】本题考查的是三视图，比较简单，需要熟练掌握三视图的画法.

2．【答案】D

【解析】从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选D

【名师点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图是左视图．

3．【答案】B

【解析】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案，故选B

【名师点睛】本题主要考查影子的方向和长短变化，掌握影子的方向和长短的变化规律是解题的关键.

4．【答案】D

【解析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，

则，解得：x＝11.2，所以树高＝11.2+1.2＝12.4（米），故选D．

【名师点睛】本题考查的是投影的知识，解本题的关键是正确理解题意、根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度.

5．【答案】俯

【解析】在图中（1）是几何体（2）的俯视图．

6．【答案】24cm3

【解析】根据题意，得：6×4=24（cm3），因此，长方体的体积是24cm3．故答案为：24cm3．

7．【答案】园

【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“创”与“园”是相对面．

8．【答案】8

【解析】一共看到的图形是3列，左边一列看到3个，中间一列看到2个，右边一列看到3个．则一共能看到的小正方体的个数是：3+2+3=8．故答案为：8．

9．【解析】主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此画出看到的图形如图所示．

10．【答案】米

【解析】延长交于点，延长交于．

可求，．

由，可得．

∴．

由，可得．

所以，大树的高度为3．45米．

【名师点睛】考核知识点：平行投影.弄清平行投影的特点是关键.

1．【答案】A

【解析】它的俯视图为，故选A．

【名师点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．

2．【答案】B

【解析】从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列．故选B．

【名师点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．

3．【答案】B

【解析】由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．故选B．

【名师点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

4．【答案】D

【解析】从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：，故选D．

【名师点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5．【答案】B

【解析】该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．故选B．

【名师点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．

6．【答案】C

【解析】图①的三视图为：

图②的三视图为：，故选C．

【名师点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．

7．【答案】A

【解析】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，

则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2，故选A．

【名师点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．

8．【答案】C

【解析】几何体的主视图为：，故选C．

【名师点睛】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．

9．【答案】D

【解析】A．主视图为正方形，不合题意；B．主视图为长方形，不合题意；

C．主视图为三角形，不合题意；D．主视图为圆，符合题意，故选D．

【名师点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解决此类图的关键是由三视图得到立体图形．

10．【答案】C

【解析】几何体的俯视图是：，故选C．

【名师点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图．

11．【答案】A

【解析】将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，故选A．

【名师点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．

12．【答案】D

【解析】由三视图可知：该几何体为圆锥．故选D．

【名师点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．

13．【答案】B

【解析】根据正方体展开图的特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图．故选B．

【名师点睛】此题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．

14．【答案】B

【解析】选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；

选项B能折叠成原几何体的形式；

选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选B．

【名师点睛】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．

15．【答案】①②

【解析】长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．

【名师点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．

16．【答案】E

【解析】由题意知，底面是C，左侧面是B，前面是F，后面是A，右侧面是D，上面是E，故答案为：E．

【名师点睛】考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

17．【答案】 cm2

【解析】该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形的边长为2 cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以其左视图的面积为3×=（cm2），故答案为 cm2．

【名师点睛】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．