考点17 特殊的平行四边形-数学考点一遍过学案

这是一份考点17 特殊的平行四边形-数学考点一遍过学案，共29页。学案主要包含了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，联系，中点四边形等内容，欢迎下载使用。

考点17 特殊的平行四边形

一、矩形的性质与判定
1．矩形的性质：
（1）四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相平分；
（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

2．矩形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；
（2）有三个角是直角；
（3）对角线相等的平行四边形．
二、菱形的性质与判定
1．菱形的性质：
（1）四边相等；
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；
（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．
2．菱形的判定：
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形；
（3）四条边都相等的四边形．
三、正方形的性质与判定
1．正方形的性质：
（1）四条边都相等，四个角都是直角；
（2）对角线相等且互相垂直平分；
（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．
2．正方形的判定：
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；
（2）一组邻边相等的矩形；
（3）一个角是直角的菱形；
（4）对角线相等且互相垂直、平分．
四、联系

（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；
（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．
五、中点四边形
（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

考向一 矩形的性质与判定
1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．

典例1 （2019·陕西初三期中）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于

A．105° B．110° C．115° D．120°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB．∴∠BAO=∠ABO=55°．
∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．
典例2 （2019·阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数

A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
【答案】A
【解析】连接BD交AC于E，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，∴
∴∴AE=6.5，
∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，
即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.

1．（2019·陕西师大附中初三月考）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD
2．（2019·云南初二期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，并且，点是边上一动点，延长交于点，当点从点向点移动过程中（点与点，不重合），则四边形的变化是

A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
考向二 菱形的性质与判定
1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2．菱形的判定：
四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

典例3　菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．一组邻边相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．
【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
典例4　如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）

【答案】BO=DO（答案不唯一）
【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．

3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为
A．45°，135° B．60°，120°
C．90°，90° D．30°，150°
4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．






考向三 正方形的性质与判定
1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．
2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．

典例5　（2020·宁夏初二期中）面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为
A．18㎝2 B．20㎝2
C．24㎝2 D．28㎝2
【答案】A
【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长=cm，∴以为边长的正方形的面积=cm2.故选A．
典例6　（2019·重庆初三期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是

A．8 B．4+4 C．8+ D．8
【答案】D
【解析】如图，连接AG，

∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC=4，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD=4﹣4，
∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，
∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，
∴∠GCD=45°，且∠GDC=90°，∴∠GCD=∠CGD=45°，∴CD=GD=4﹣4，
∵AF=AD，AG=AG，∴Rt△AGF≌Rt△AGD（HL），∴FG=GD=4﹣4，
∴四边形ADGF的周长=AF+AD+FG+GD=4+4+4﹣4+4﹣4=8，故选D．

5．（2019·山东初三期中）如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE=CF=1，DE=，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF=+1．其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020·陕西初三期末）如图，在正方形ABCD中，，AE、BF交于点G，下列结论中错误的是

A． B．
C． D．
考向四 中点四边形
1．中点四边形一定是平行四边形；
2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．

典例7　如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【答案】D
【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；

D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误，故选D．


7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是

A．S1=3S2 B．2S1=3S2
C．S1=2S2 D．3S1=4S2


1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=

A．5 B．4 C．3.5 D．3
2．（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有

A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为

A． B． C． D．15
4．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为

A．cm B．cm C．cm D．cm
5．（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是

A．108° B．72° C．90° D．100°
6．（2018·贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是

A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC
C．∠AEB+∠BFC=90° D．AE⊥BF
7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.

8．（2018·陕西初三期末）如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．

9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BD的长．





10．（2020·内蒙古初三期末）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．



11．（2020·呼和浩特市第十三中学初二期中）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．









1．（2019·重庆）下列命题正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．（2019·天津）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于

A． B． C． D．20
3．（2019·安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是

A．0 B．4 C．6 D．8
4．（2019•湖北孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为

A． B．
C． D．
5．（2019·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．

6．（2019·浙江杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.

7．（2019•湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．

8．（2019•湖南长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE=AF；
（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．





9．（2019•湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．





10．（2019•湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．





11．（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．





12．（2019•江西）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．





13．（2019•浙江宁波•10分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．


变式拓展

1．【答案】D
【解析】结合选项可知，添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．
2．【答案】A
【解析】点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD<15°时，四边形AFCE为平行四边形，当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，
当15°<∠EOD<75°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD=75°时，∠AEF=90°，四边形AFCE为矩形，
当75°<∠EOD<105°时，四边形AFCE为平行四边形，故选A．
3．【答案】B
【解析】如图，由题意知AB=BC=AC，

∵AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形，即根据平行四边形的性质，故选B．
4．【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠FAD=∠EDA，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，∴四边形AEDF是菱形．
5．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，
∵CF⊥CE，∴∠ECF=∠BCD=90°，∴∠BCE=∠DCF，
在△BCE与△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），故①正确；
∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∴∠DFB=∠BCD=90°，∴BF⊥ED，
故②正确，
过点D作DM⊥CF，交CF的延长线于点M，

∵∠ECF=90°，FC=EC=1，∴∠CFE=45°，
∵∠DFM+∠CFB=90°，∴∠DFM=∠FDM=45°，∴FM=DM，∴由勾股定理可求得：EF=，
∵DE=，∴由勾股定理可得：DF=2，
∵EF2+BE2=2BE2=BF2，∴DM=FM=，故③错误，
∵△BCE≌△DCF，∴S△BCE=S△DCF，
∴S四边形DECF=S△DCF+S△DCE=S△ECF+S△DEF=S△AFP+S△PFB=，故④错误，故选B．
6．【答案】C
【解析】在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠C=90，
又∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∴∠FBC+∠BEG=∠BAE+∠BEG=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF．故A、B正确；
∵CF=2FD，∴CF:CD=2:3，∵BE=CF，AB=CD，，
∵∠EBG+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°，∴∠EBG=∠BAG，
∵∠EGB=∠ABE=90°，∴△BGE∽△ABE，，故C不正确,
∵△ABE≌△BCF，∴S△ABE=S△BFC，∴S△ABE–S△BEG=S△BFC–S△BEG，∴S四边形CEGF=S△ABG，
故D正确．故选C．

7．【答案】C
【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形，
当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C．
8．【答案】C
【解析】如图，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，
同理可证EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，
=，=，∴=，
∵四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2．故选C．

考点冲关

1．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°， ∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4．故选B．
2．【答案】D
【解析】∵AC=16，四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，
∴BO=OD=AO=OC=8，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，故选D．
3．【答案】B
【解析】如图，连接AF．根据折叠的性质，得EF垂直平分AC，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得．
在中，根据勾股定理，得AC=5，则AO=2.5．
在中，根据勾股定理，得
根据全等三角形的性质，可以证明则故选B．

4．【答案】B
【解析】∵菱形ABCD的对角线∴AC⊥BD，OA=AC=4 cm，OB=BD=3 cm，根据勾股定理，（cm）．设菱形的高为h，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm．故选B．
5．【答案】B
【解析】如图，连接AP，∵在菱形ABCD中，∠ADC=72°，BD为菱形ABCD的对角线，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°.
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，∴PA=PD.
∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB=∠DAP+∠ADP=72°.
又∵菱形ABCD是关于对角线BD对称的，∴∠CPB=∠APB=72°.故选B.

6．【答案】C
【解析】∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+AEB=90°，∴AE⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C.
7．【答案】50°
【解析】如图所示，

由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，
∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50° ．故答案为：50°．
8．【答案】1
【解析】∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，∵BP=2，∴PP′==2，∵PC=3，∴CP'===1，∴AP=CP′=1，故答案为1．

9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.
10．【解析】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，，△ACF≌△ABE，
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=．
11．【解析】（1）OE=OF，理由如下：
因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4==90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．
（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：
由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．
直通中考

1．【答案】A
【解析】A．有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；故选A．
【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.
2．【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），
∴AO=2，OB=1，ACBD，
∴由勾股定理知：，
∵四边形为菱形，
∴AB=DC=BC=AD=，
∴菱形的周长为：．故选C．
【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．
3．【答案】D
【解析】如图，过E点作关于AB的对称点E′，则当E′，P，F三点共线时PE+PF取最小值，
∵∠EAP=45°，∴∠EAE′=90°，
又∵AE=EF=AE′=4，
∴PE+PF的最小值为E′F=，
∵满足PE+PF=9=，
∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，
同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，
∴满足PE+PF=9的点P的个数是8，故选D．

【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.
4．【答案】A
【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，
∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，
∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE=∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，
cos∠CBE=cos∠ECG=，
∴，CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=，
故选A．
【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．
5．【答案】
【解析】如图，令AE与BF的交点为M.
在正方形中，∠BAD=∠D=，

∴∠BAM+∠FAM=，
在Rt中，，
∵由折叠的性质可得，
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG，
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=，
∴∠BAM+∠ABM=，
∴∠ABM=∠FAM，
∴，
∴ ，∴，
∴AM=，∴AG=，
∴GE=13–.
【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.
6．【答案】
【解析】∵A'E∥PF，∴∠A'EP=∠D'PH，
又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°，∴∠A'=∠D'，∴△A'EP～△D'PH，
又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P，∴A'P= D'P，
设A'P=D'P=x，
∵S△A'EP：S△D'PH=4：1，∴A'E=2D'P=2x，∴S△A'EP=，
∵，∴，∴A'P=D'P=2，∴A'E=2D'P=4，
∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，
【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.
7．【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24；
故答案为：24．
【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
8．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
∴BE===5，
在Rt△ABE中，AB×AE=BE×AG，
∴AG==．
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
10．【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2．
【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11．【答案】见解析．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE．
【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．【答案】见解析．
【解析】∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2OD，
∵OA=OD，∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能由题中已知信息推出四边形ABCD是平行四边形是关键．
13．【解析】（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，∴AE=ED，
∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，
∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．

【名师点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．