考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系-数学考点一遍过学案

这是一份考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系-数学考点一遍过学案，共32页。学案主要包含了圆的有关概念，垂径定理及其推论，圆心角，圆周角定理及其推论，与圆有关的位置关系，切线的性质与判定，三角形与圆等内容，欢迎下载使用。

考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系

一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．
(1)d (2)d=r⇔点在⊙O上；
(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形



公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点．
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．
外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

考向一 圆的基本认识
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

典例1 下列命题中正确的有
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．

1．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的
A． B．
C． D．
2．半径为5的圆的一条弦长不可能是
A．3 B．5 C．10 D．12
考向二 垂径定理
1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．
2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．

典例2 如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=

A．cm B．3cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【解析】如图，连接OA，

∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，
∴CD是⊙O的直径，
∵CD⊥AB，
∴AE=BE，OE=3，OA=6，
∴AE=，
∴AB=2AE=，
故选D．
典例3 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为

A．2 cm B． cm
C． D．
【答案】C
【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
作OD⊥AB于D，连接OA．

根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，
根据垂径定理得AB=2cm．
故选C．

3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是

A．3 B．6 C．4 D．8
4．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．
（1）求该圆弧形所在圆的半径；
（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？



考向三 弧、弦、圆心角、圆周角
1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．
2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．

典例4 如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为

A．50° B．20° C．30° D．25°
【答案】D
【解析】∠A=BOC=×50°=25°．
故选D．
典例5　如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【解析】如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，
∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，
∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．

5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为

A．π B．π C．π D．π
6．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

A．52° B．57° C．66° D．78°
考向四 点、直线与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．
2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．

典例6　已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．故选C．
【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
典例7　在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD==1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．

7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是

A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．以上都有可能
8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．

考向五 切线的性质与判定
有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．

典例8　如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，
∴∠PBA=90°，
∵∠PBC=50°，
∴∠ABC=40°．
故选B．
典例9　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为

A． B．
C． D．1
【答案】B
【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，

∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，而AD为中线，∴DC=2，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，
∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，
∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=，
∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC，
∴，∴．故选B．

9．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD A．大于 B．等于
C．小于 D．不能确定
10．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙的直径交底边于，于．
求证：（1）；
（2）为⊙的切线．






1．下列关于圆的叙述正确的有
圆内接四边形的对角互补；
相等的圆周角所对的弧相等；
正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；
同圆中的平行弦所夹的弧相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=136°，则∠C的度数是

A．44° B．22° C．46° D．36°
3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD=180°，则弦BC的长等于

A． B． C．8 D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是

A．点（1，0） B．点（2，1）
C．点（2，0） D．点(2．5，1)
5．如图，的直径，，则的长为

A．2 B． C．4 D．
6．如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为

A．32 B．34 C．36 D．38
7．已知在⊙O中，AB=BC，且，则∠AOC=__________．

8．如图，A、B、C、D都在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC的度数是__________．

9．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于D、C．已知△PCD的周长等于
14 cm，则PA=__________cm．

10．如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，的度数为__________．

11．如图，半圆O的直径是AB，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，若∠DEF=60°，则tan∠ABD=__________．

12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．






14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；
（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．







1．（2019•吉林）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为

A．30° B．45°
C．55° D．60°
2．（2019•贵港）如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是

A． B．
C． D．
3．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为

A． B．4
C． D．4.8
4．（2019•益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是

A．PA=PB B．∠BPD=∠APD
C．AB⊥PD D．AB平分PD
5．（2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB等于

A．55° B．70° C．110° D．125°
6．（2019•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为

A．60° B．50° C．40° D．30°
7．（2019•甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=

A．54° B．64° C．27° D．37°
8．（2019•仙桃）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有

A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．

10．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为__________．

11．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC=2∠CAD；
（2）若AF=10，BC=，求tan∠BAD的值．



12．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为__________；
②取的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．






变式训练

1．【答案】D
【解析】设原来的圆的半径为r，则面积S1=πr2，
∴半径缩小到原来的后所得新圆的面积，
∴，故选D．
2．【答案】D
【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，
又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度，故选D．
3．【答案】B
【解析】如图，连接OA，∵的直径为10，，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，
由垂径定理知，点M是AB的中点，
由勾股定理可得，所以故选B．

4．【解析】（1）如图所示：

CO⊥AB于点D，
设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO2+BD2=BO2，
则（x–2．3）2+（×）2=x2，解得x=3．
答：圆弧形所在圆的半径为3米；
（2）如图所示：当MN=1.7米，则过点N作NF⊥CO于点F，
可得：DF=1.7米，则FO=2.4米，NO=3米，故FN==1.8（米），
故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米．
5．【答案】B
【解析】根据题意可知：∠OAC=∠OCA=50°，则∠BOC=2∠OAC=100°，则弧BC的长度为：，故选B．
6．【答案】B
【解析】∵，∴∠BOC=∠DOE=∠COD=38°，
∴∠BOE=∠BOC+∠DOE+∠COD=114°，∴∠AOE=180°–∠BOE=66°，
∵OA=OE，∴∠AEO=（180°–∠AOE）÷2=57°，故选B．
7．【答案】A
【解析】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA=．
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．

8．【答案】2
【解析】连接OA．∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2=4，OA=5，∴OH=3．
∴需要平移5–3=2（cm）．故答案为：2．
【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d=R．
9．【答案】B
【解析】如图，连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．
∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH=OF=OE，
∵S△AOB=•OB•AH=•AB•OE，∴OB=AB，同理可证：CD=CO，
∴AB+CD=BC，故选B．

【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键．
10．【解析】（1）如图，连，

∵是直径，∴，，
又，∴为中点，；
（2）连，
∵为中点，，
∴为中位线，，
又于∴，
∴为⊙的切线．
考点冲关

1．【答案】B
【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；
③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；
正确的有2个，故选B．
2．【答案】B
【解析】∵∠AOD=136°，∴∠BOD=44°，∴∠C=22°，故选B．
3．【答案】C
【解析】如图，延长CA，交⊙A于点F，

∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，
∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，
∴BC=．故选C．
4．【答案】C
【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．
5．【答案】C
【解析】如图，作直径DE，连接CE，

则∠DCE=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠DEC=∠DBC=30°，
∵DE=AB=8，
∴=4，
故选C．
6．【答案】B
【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．
7．【答案】144°
【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC=144°．
8．【答案】100°
【解析】∵∠B=130°，∴∠D=180°－130°=50°，∴∠AOC=2∠D=100°．故答案为100°．
9．【答案】7
【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；

∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；
∴PA=PB=7cm，故答案是：7．
10．【答案】
【解析】如图，连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，∴，
∵，∴，
∵，∴是正三角形，∴，，
∵恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴，
∴，∴的度数为84°．故答案为：84°．

11．【答案】
【解析】∵OD⊥AC，∠DEF=60°，
∴∠D=30°，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠D=30°，
∴tan∠ABD=，
故答案为：．
12．【解析】（1）连接OC，如图．
∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．
∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，∵tanD=，OC=3，
∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8．
在Rt△ADE中，∵sinD=，∴AE=．

13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，
∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．

14．【解析】（1）如图1，连接OC．

∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA=∠OCB，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．
∴，
由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即，
∴AB=5．
（3），
如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．

∵AB是直径，∠DAB=45°，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
又∵∠EAC=∠EBC，
∴△ECB≌△EFA，∴EF=EC，
∵∠ACE=∠ABE=45°，
∴△FEC是等腰直角三角形，
∴，
∴．
直通中考

1．【答案】B
【解析】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠ACB=100°，∵∠AOP=55°，∴∠POB=45°，故选B．
2．【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵，∴，
∴，故选B．
3．【答案】C
【解析】∵AB为直径，∴，∴，
∵，∴，
在中，．故选C．
4．【答案】D
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，所以A成立；∠BPD=∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC=BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．
5．【答案】B
【解析】如图，连接OA，OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB=55°，∴∠AOB=110°，
∴∠APB=360°-90°-90°-110°=70°．故选B．

6．【答案】B
【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，且∠C=40°，∴∠ABC=50°，故选B．
7．【答案】C
【解析】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°-∠AOC=54°，∵∠CDB=∠BOC=27°．故选C．
8．【答案】A
【解析】如图，连接．

∵为的直径，为的切线，∴，
∵，∴，．
又∵，∴，∴．
在和中，，∴，∴．
又∵点在上，∴是的切线，故①正确，
∵，∴，
∵，∴垂直平分，即，故②正确；
∵为的直径，为的切线，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，故③正确；
∵，，∴，
∴，∵，
∴，故④正确，故选A．
9．【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．
故答案为：1．
10．【答案】
【解析】如图，连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，

则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC=CE=2，
∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案为：．
11．【解析】（1）∵AB=AC，
∴，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADB，∠ABC=（180°-∠BAC）=90°-∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°-∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠BAC=2∠CAD．
（2）∵DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠BDC=2∠DFC，
∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC，
∴CB=CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．
又BC=，
设AE=x，CE=10-x，
由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，
解得x=6，
∴AE=6，BE=8，CE=4，
∴DE==3，
∴BD=BE+DE=3+8=11，
如图，作DH⊥AB，垂足为H，

∵AB·DH=BD·AE，
∴DH=，
∴BH=，
∴AH=AB-BH=10-，
∴tan∠BAD=．
12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，
∴∠DAF=∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AD=BD，
∴△ADF≌△BDG．
（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，

∵点E是的中点，
∴∠BAE=∠DAE，
∵FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FH=FD，
∵=sin∠ABD=sin45°=，
∴，即BF=FD，
∵AB=4，
∴BD=4cos45°=2，即BF+FD=2，（ +1）FD=2，
∴FD==4-2，
故答案为：4-2．
②连接OH，EH，

∵点H是的中点，
∴OH⊥AE，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AE，
∴BE∥OH，
∵四边形OBEH为菱形，
∴BE=OH=OB=AB，
∴sin∠EAB==，
∴∠EAB=30°．
故答案为：30°．