2021年安徽合肥包河区实验学校九年级中考二模数学试卷

这是一份2021年安徽合肥包河区实验学校九年级中考二模数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年安徽合肥包河区实验学校九年级中考二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列各数中，比－2小的数是（ ）
A．∣－1∣ B．－ C．－ D．－π
【答案】D
【分析】
逐项分析，两负数比较大小，比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小，即可求解．
【详解】

A. ∣－1∣=1＞-2，不符题意
B. ∣－∣=<2，∴，不符题意
C. ∣－∣=<2，∴，不符题意
D. ∣－π∣=π>2，∴，符合题意
故选D．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，两个负数比较大小，比较它们的绝对值的大小，绝对值大的反而小，理解绝对值的概念是求解的关键．
2．下列运算中，错误的是（　　）
A．x2×x3＝x6 B．x2+x2＝2x2 C．（x2）3＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2
【答案】A
【分析】
根据同底数幂的乘法，整式加法合并同类项，幂的乘方，积的乘方运算法则，依次计算，选出正确答案．
【详解】
解：A. x2×x3＝x5，此选项符合题意；
B. x2+x2＝2x2，此选项不符合题意；
C. （x2）3＝x6，此选项不符合题意；
D. （﹣3x）2＝9x2，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据同底数幂的乘法，整式加法合并同类项，幂的乘方，积的乘方运算法则，熟练运用以上运算法则是解题关键．
3．今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【详解】
∵1109万=11090000，
∴11090000=1.109×107．
故选：A．
【点睛】
本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单．
4．下列立体图形中，主视图与左视图都是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据几何体的主视图、左视图逐个判断即可.
【详解】
A、正方体的主视图是正方形，左视图是正方形，不符合题意；
B、三棱柱的主视图是矩形，左视图是三角形，不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，不符合题意；
D、圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查三视图，熟知主视图、左视图是从物体左面看到的是解题关键.
5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解
【详解】
A.结果不是几个整式积的形式，故A不符合题意；
B. 结果不是几个整式积的形式，故B不符合题意；
C. ，因式分解不彻底，故C不符合题意；
D. ，是因式分解，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】A
【分析】
连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．
【详解】
解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC＝ ∠BOC＝45°．
故选A．

【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．
7．样本数据3、6、a、4、2的平均数是5，则这个样本的方差是（   ）
A．8 B．5 C． D．3
【答案】A
【分析】
本题可先求出a的值，再代入方差的公式即可．
【详解】
∵3、6、a、4、2的平均数是5，
∴a=10，
∴方差．
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点是平均数和方差的求法，解题关键是熟记计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
8．如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ）

A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】
连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四边形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四边形BDEG是平行四边形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故选B．

【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为射线CD上一动点，△BCE沿BE折叠，得到ΔBFE，若∠FDE＝90°，则CE的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图1，根据折叠的性质得到BF=BC=5，FE=CE，根据勾股定理得到CE2=（3CE）2+12，于是得到CE=，即可得到结论．
【详解】
解：如图1，∵将△BCE沿BE折叠，得到△BFE，

∴BF=BC=5，FE=CE，
∴DE=3-CE，
∵AB=3，
∴AF=4，
∴DF=1，
∵EF2=DE2+DF2，
∴CE2=（3CE）2+12，
∴CE=．
故选：．
【点睛】
本题考查了翻折变换——折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行分析．
10．如图，在正方形中，是对角线上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且，设． 当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个；②当0＜x＜4－2时，P点最多有9个；③当P点有8个时，x＝2－2；④当△PEF是等边三角形时，P点有4个，一定正确的是（ ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】B
【分析】
分情况讨论等腰三角形成立时候，点的个数，通过作图可以直观的求出，或者通过点的个数来求的值．
【详解】
①如图（1），当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个，所以①正确

②0＜x＜4－2时，P点最多有8个，所以②不正确
③当P点有8个时，如图（2）所示：
当或，
或时，P点有8个，所以③不正确


④如图（3）当△PEF是等边三角形时，P点有4个，所以④正确

综上所述，①④正确
故选B．
【点睛】
本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，分类讨论思想，正确的作出图形，是解题的关键．

二、填空题
11．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题是__________．
【答案】如果两条直线平行， 那么这两条直线垂直于同一条直线
【分析】
根据逆命题的定义写出即可．
【详解】
解：根据命题的定义得到：垂直于同一条直线的两条直线平行的逆命题是：如果两条直线平行， 那么这两条直线垂直于同一条直线，
故答案为：如果两条直线平行， 那么这两条直线垂直于同一条直线．
【点睛】
考查了四种命题及其关系，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
12．如图，在RtΔAOB中，∠AOB＝90°，0A＝3， OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA．上的动点，当PC＋PD最小时，OP的长为____________

【答案】
【分析】
延长CO交⊙O于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线分线段成比例分别求出CD，PO的长即可．
【详解】
解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．

∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°，
又∠AOB=90°，
∴∠DCB=∠AOB，
∴CD∥AO
∴
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2，
∴,解得：CD=，
∵CD∥AO，
∴
即，
解得，PO=
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了轴对称最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
13．如图，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则∠ABO的正切值_____．

【答案】
【分析】
作AC⊥x轴，BD⊥x轴．易得△ACO∽△ODB，由点A、B恰好分别落在函数y＝（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，可得到△ACO与△ODB的面积比，进而求出对应边的比，在直角三角形中求出∠ABO的正切值．
【详解】
解：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D，如图，

∵点A、B恰好分别落在函数y＝（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝|k|＝，S△OBD＝|k|＝，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠OAC+∠AOC＝90°，∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，
tan∠ABO=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质与判定及解直角三角形，关键是根据反比例函数得到三角形的相似，然后利用相似三角形的性质求解三角函数值即可．
14．如图，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形绕点旋转的过程中，当时，线段的长为________．

【答案】或
【分析】
分两种情况讨论，通过证△AFC∽△AEB，利用对应边成比例和勾股定理即可算出BE的长．
【详解】
解：①当旋转到如下图所示时，连接AF、AC，AC交EF于点M，

由正方形和正方形可知，
，，∠BAC=∠EAF=45°，
即，
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°，∠EAF=∠CAF+∠EAC=45°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△AFC∽△AEB，
∴，
若，则C、F、G三点共线，
∵正方形和正方形，，，
∴，，
在直角三角形ACG中，，
∴，
将代入，得；
②当旋转到如下图所示时，

若，则C、F、G三点共线，
由①可知，，∠BAC=∠EAF=45°，
∴∠EAB=∠FAC=45°，
∴△AFC∽△AEB，
∴，
在直角三角形ACG中，，
，
将代入，得．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了相似三角形，勾股定理，正方形的性质，正确找出相似三角形是解题的关键．

三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的减法运算，接着进行同乘法运算，然后把的值代入计算即可．
【详解】
解：


．
当时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
16．甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队 单独完成这个项目各需多少天？
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
【答案】（1）甲12天，乙24天；（2）77万元
【分析】
（1）根据甲、乙总工作量为1，据此设元，列分式方程，解分式方程即可；
（2）先计算剩下的工作量，乙单独做需要的天数，再计算总支出．
【详解】
解：设甲单独完成这个项目需天，乙两个工程队单独完成这个项目需天，根据题意得，

解这个分式方程得，




答：甲单独完成这个项目需天，乙两个工程队单独完成这个项目需天．
（2）甲乙合作5天后剩余工程为：，
剩下工程乙单独完成需要：（天）
这个项目总共要支出的工程费用：（万元）
答：这个项目总共要支出77万元的工程费用．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．在10×10网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC是格点三角形（项点是网格线的交点），直线l经过格点．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1先向左平移2单位长度，再向下平移2个单位长度得到的△A2B2C2
（3）写出点C在上述变换过程中经过的路径的长为

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2＋4；
【分析】
（1）分别作出△ABC的三顶点关于直线l对称的对应点，顺次连接即可得；
（2）分别作出△ 三顶点先向左平移2单位长度，再向下平移2个单位长度得到对应点，顺次连接即可得；
（3）先用勾股定理求出，再根据先向左平移2单位长度，再向下平移2个单位长度得到结果．
【详解】
解：（1）如图所示，△为所求；
（2）如图所示，△；
（3）∵△ABC关于直线l对称的△A1B1C1
∴，
∵△A1B1C1先向左平移2单位长度，再向下平移2个单位长度得到的△A2B2C2
∴点C在上述变换过程中经过的路径的长为：．

【点睛】
本题主要考查作图：轴对称变换和平移变换及勾股定理，熟练掌握轴对称变换和平移变换的定义和性质是解题的关键．
18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道著名的“引霞赴岸”问题：“今有一方池，度生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水池见方、葭长各几何？”其意思为：“今有一个方形水池，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺（1尺≈0.33米），将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示），现假设∠CAB ＝53°，问水池长（DC）、芦苇的长度（AC）各是多少米？”（结果精确到0.1米，参考数据：tan53°≈1. 33，cos53°≈0.60°，sin53°≈0.80）

【答案】DC＝2.0米；AC＝1.7米．
【分析】
设芦苇的长为x尺，EF=1尺，可证四边形EABC为矩形，可得BC=EA=(x-1)尺，由芦苇生长在水的中央，可得DE=CE=AB，在中，根据三角函数可得方程，解得尺， AC≈1.7米，在中，根据勾股定理，可求尺．尺≈2.0米．
【详解】
解：设芦苇的长为x尺，EF=1尺，则EA=FA-EF=(x-1)尺，AC=FA=x尺，
∵EA⊥AB，CB⊥AB，EC⊥BC，
∴∠EAB=∠B=∠ECB=90°，
∴四边形EABC为矩形，
∴BC=EA=(x-1)尺，
∵芦苇生长在水的中央，
∴DE=CE=AB，
在中，，
∴，
整理得，
解得尺，经检验符合题意，AC≈5×0.33=1.65≈1.7米，
解得尺，
在中，，
∴尺，
∴尺≈6×0.33=1.98≈2.0米，

答：水池长约为2.0米、芦苇的长度约为1.7米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，近似计算，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质，勾股定理是解题关键．
19．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（－3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得∆ABP的面积为10，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或；（3）存在，P（3，0）或（-5，0）
【分析】
（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象，观察即可求得答案；
（3）先求出直线AB与x轴的交点C的坐标，然后设点P为（a，0），利用三角形的面积分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数图象上，
∴，得m=6，
即；
把B（3，n）代入得，
，
∴B(3，2)；
把A（2，3）、B（3，2）代入y=kx+b中得
，
解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）根据题意，则
不等式的解集是：或；
（3）存在点P使得，理由是：
设直线AB与x轴交于点C，

把y=0代入可得：x=1，
即C（1，0）；
设点P坐标为，则

解得：或；
因此，存在在点P使得，点P的坐标为（3，0）或（5，0）．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．
20．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交圆O于点F，交弦BC于点G，连接CD、BF
（1）求证：△BFG≌△DCG；
（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长

【答案】（1）见解析；（2）4．
【分析】
（1）根据垂径定理解得＝，结合D为弧BC的中点，可证明BF＝CD，再由同弧所得的圆周角相等，得到∠BFG＝∠DCG，再结合对顶角∠BGF＝∠DGC，可证△BFG≌△DCG（AAS）；
（2）证明OM是△ABC的中位线，进而在Rt△BEF中，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）∵D是的中点，
∴＝，
∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝CD，
又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，
∴△BFG≌△DCG（AAS）；
（2）如图，连接OD交BC于点M，

∵D为的中点，
∴OD⊥BC，
∴BM＝CM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM＝AC＝5，
∵＝，
∴＝，
∴OE＝OM＝5，
∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，
∴EF＝DE＝＝12，
∴BF＝＝＝4．
【点睛】
本题考查圆的知识，涉及垂径定理、同弧所得的圆周角相等，勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示）
【答案】（1）（人）；（2）详见解析；（3）
【分析】
（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）本次随机调查的学生人数为（人）；
（2）书画的人数为（人），戏曲的人数为（人），
补全图形如下：

（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为（人）；
（4）列表得：


























∵共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．解题关键在于注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数C1：y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，二次函数C2：y＝x2－3x＋4的图像经过B、C两点，与x轴的另一个交点为D，且点D在点B的左侧．
（1）求b、c的值；
（2）点P（x、y）（1＜ x＜ 4）是二次函数C1的图象上一动点，过点P作PE//x轴交直线AC于点E，过点P作PQ//y轴交二次函数C2的图象于点Q，求PE＋ PQ的最大值．

【答案】（1）b＝1， c＝4；（2）
【分析】
（1）先根据二次函数C2求得B和C点坐标，再利用待定系数法即可求得C1的解析式，从而求得b和c的值；
（2）作出对应图象，表示PE和PQ的长度，再利用二次函数的增减性及最值即可求得最大值．
【详解】
解：（1）令，解得，
∴，
∵二次函数的图象经过点C，
∴，
将点代入得，
，
解得；
（2）由（1）可得二次函数，
令，
解得，
∴．
∵直线经过点，
∴直线的解析式为，
∵点P在二次函数的图象上，
∴设点，
如答案图，∵轴交直线于点E，
∴点P和点E的纵坐标相等，
设点E的横坐标为m，则，
∴，
∴，
∵

，
∴

，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是．

【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，一般都为二次函数，再利用二次函数的最值求出线段和的最大值．
23．等腰直角△AOB和等腰直角△COD按如图方式放置，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC、BD，二者交于点P．
（1）求证：BD＝AC；
（2）连接OP，若OP平分∠AOD，且角∠AOD＝40°，求∠BDO的度数；
（3）点M、N分别是AB、CD的中点，连接MN，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）25°；（3）
【分析】
（1）由题意，先证明△BOD≌△AOC，即可得到结论成立；
（2）易证得∠APB=90°，由圆周角定理的推论可知点P、O，在以AB为直径的圆上，则，再根据外角的性质及角平分线的性质求解即可；
（3）先证明∽，再根据对应边成比例，即可求得的值．
【详解】
解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即，
∵BO=AO，DO=CO，
∴△BOD≌△AOC，
∴BD＝AC；
（2）如图，设AO、BD相交于点E，

∵△BOD≌△AOC，
∴∠DBO=∠CAO，
∵∠AEP=∠ABE+∠BAE，
∴∠AEP+∠PAO=∠ABE+∠BAE+∠DBO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠APE=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
∵∠AOB=90°，
∴点O在以AB为直径的圆上，
∴∠BPO=∠BAO=45°；
又∵∠POD=∠AOD=20°，
∴∠PDO=∠BPO∠POD=25°；
（3）连接OM、ON，如图：

∵点M、N分别是AB、CD的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴∽，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行分析．