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高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-4第十一章 机械振动3 简谐运动的回复力和能量导学案
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这是一份高中物理人教版 (新课标)选修3选修3-4第十一章 机械振动3 简谐运动的回复力和能量导学案，共1页。学案主要包含了简谐运动过程中基本物理量的变化，简谐运动的能量，简谐运动与力学的综合等内容，欢迎下载使用。
1.回复力
（1）回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向____________，总是指向___________位置，它的作用是使振子能____________平衡位置.
（2）做简谐运动的弹簧振子的回复力为____________，式中常数k为比例系数，叫做弹簧的____________；负号表示________________________.
（3）回复力是____________性变化的力.
2.简谐运动的能量的特征
（1）简谐运动过程是一个____________和____________不断转化的过程，在任意时刻振动物体的总机械能____________.
（2）在平衡位置，动能最__________，势能最_________；在位移最大处，势能最__________，动能最__________.
（3）振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大机械能越__________.
典题·热题
知识点一 简谐运动过程中基本物理量的变化
例1弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A.振子所受的回复力逐渐增大
B.振子的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小
解析：振子位移是指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小，由牛顿第二定律a=F/m得，加速度也减小，物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，正确答案选D.
答案：D
方法归纳 分析回复力变化时，首先要弄清回复力的来源，是由哪些因素引起的，由哪些力构成，如本题是F=-kx.
例2如图11-3-6所示为某一质点的振动图象，由图象可知在t1和t2两时刻，质点的速度v1、v2，加速度a1、a2的正确关系为( )
图11-3-6
A.v1＜v2，方向相同 B.v1＜v2，方向相反
C.a1＞a2，方向相同 D.a1＞a2，方向相反
解析：在t1时刻质点向下向平衡位置运动，在t2时刻质点向下远离平衡位置运动，所以v1与v2的方向相同，但由于在t1时刻质点离平衡位置较远，所以v1＜v2，a1＞a2；质点的加速度方向总是指向平衡位置的，因而可知在t1时刻加速度方向向下，在t2时刻加速度方向向上.正确选项为A、D.
答案：AD
巧解提示 处理图象问题时一定要把图象还原为质点的实际振动过程来分析，图象不是振动问题的运动轨迹.
知识点二 简谐运动的能量
例3 如图11-3-7所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放在M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下述正确的是（ ）
图11-3-7
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减少
解析：当振子运动到B点时，M的动能为零，放上m，系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep，由于简谐运动过程中系统的机械能守恒，即振幅不变，故A选项正确，当M和m运动至平衡位置O时，M和m的动能和即为系统的总能量，此动能最大，故最大动能不变，C选项正确.
答案：AC
方法归纳 分析简谐运动的能量问题，要弄清运动质点的受力情况和运动的情况，弄清是什么能之间的转化及转化关系等.
例4 做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法正确的是（ ）
A.从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B.从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C.从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D.从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一值
解析：振子在半个周期内刚好到达与初位置关于平衡位置对称的位置，两位置速度大小相等，故由动能定理知，回复力做的功一定为零，则A选项正确，B选项错误；但由于速度反向（初位置在最大位移处时速度均为零），所以在半个周期内速度变化量的大小为初速度大小的两倍，因此在半个周期内速度变化量大小应为0到2v之间的某个值，则C选项错，D选项正确.
答案：AD
方法归纳 简谐运动过程中回复力为变力，因此求回复力的功应选择动能定理；由于速度变化量与速度均为矢量，故计算时应特别注意方向.
知识点三 简谐运动与力学的综合
例5 如图11-3-8所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA=mB=m，剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为____________________.
图11-3-8
解析：本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析.剪断细线前A的受力情况：
重力：mg，向下；细线拉力：F拉=mg，向下；弹簧对A的弹力：F=2 mg，向上.此时弹簧的伸长量为Δx==.
剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx=处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为，由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处，此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg.
答案：Mg
方法归纳 在一些力学综合题目的处理中，如果能充分考虑简谐运动的对称性，可收到事半功倍的效果.
例6如图11-3-9所示，A、B叠放在光滑水平地面上，B与自由长度为L0的轻弹簧相连，当系统振动时，A、B始终无相对滑动，已知mA=3m，mB=m，当振子距平衡位置的位移x=时系统的加速度为a，求A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系.
图11-3-9
解析：设弹簧的劲度系数为k，以A、B整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力作为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置时有：k=(mAmBa，由此得k=.
当系统的位移为x时，A、B间的静摩擦力为Ff，此时A、B具有共同加速度a′，对系统有：kx=（mA+mB）a′ ①
k=，a′=x. ②
对A有：Ff=mAa′. ③
②代入③得,Ff=x.
答案：Ff=x.
方法归纳 本题综合考查了受力分析、胡克定律、牛顿定律和回复力等概念，解题关键是合理选取研究对象，在不同的研究对象中回复力不同.此题最后要求把摩擦力Ff与位移x的关系用函数来表示，要将物理规律与数学有机结合.
自主广场
我夯基我达标
1.做简谐运动的弹簧振子，每次经过同一点a（a点在平衡位置和最大振幅之间）时（ )
A.速度相同 B.加速度相同 C.动能相同 D.势能相同
思路解析：弹簧振子每次经过同一点a，振子的位移每次相同，回复力相同，则加速度相同;速度的大小相等，方向相反，动能相同，据机械能守恒定律可知，系统势能也相同.
答案：BCD
2.如图11-3-3甲所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止，图乙中能正确反映振动过程中A受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图线应为（ )
甲
乙
图11-3-3
思路解析：在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体，受力分析，设A、B的质量为ma、mb，弹簧的劲度系数为k，则有（ma+mb）a=-kx，a=-,A受摩擦力Ff=kx，所以Ff与位移的关系是Ff=-kx.
答案：C
3.如图11-3-4所示，弹簧一端固定在天花板上，另一端挂一质量为m的物体，今托住物体使弹簧没有发生形变然后将物体无初速度释放而做简谐运动，在物体从开始运动到最低点的过程中物体的重力势能____________，弹性势能____________，动能____________，（填“增大”或“减小”）而总的机械能____________.
图11-3-4
思路解析：固定在天花板上的弹簧做简谐运动，选地板为重力势能的零势面，物体从开始运动到最低点这一过程中，物体离地面的距离不断减小，则重力势能不断减小，弹簧的长度不断增大，则弹性势能不断增大，物体不断运动.到达平衡位置时，速度增大到最大，由平衡位置运动到最低点过程中，速度不断减小，所以动能先增大后减小，但总机械能不变.
答案：减小 增大 先增大后减小 不变
4.如图11-3-5所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直弹簧上.若使A随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是_________，当A的速度达到最大值时，A对B的压力大小为____________.
图11-3-5
思路解析：对A受力分析，它受到重力和B对它的支持力，A和B一起做简谐运动，A的回复力是由重力和支持力的合力提供的，当回复力和重力平衡时，A的速度最大，即有fa=mg.
答案：重力和支持力的合力 mg
5.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图11-3-6所示.下列结论正确的是（ )
图11-3-6
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
思路解析：振子在以O为平衡位置，在A、B之间振动，在O点时，动能最大，回复力为零，加速度最小，在A、B位置时，动能最小，回复力最大，加速度最大.从A到O回复力做正功，从O到B回复力做负功，小球从B到O过程，弹簧弹力做功，弹簧振子的机械能不变.
答案：A
我综合我发展
6.如图11-3-7所示，质量为m的砝码，悬挂在轻质弹簧的下端，砝码在竖直方向上自由振动.证明砝码做简谐运动.
图11-3-7
思路解析：做简谐运动物体受力特征f=-kx，因而只要证明回复力与位移大小成正比，方向相反就证明了该物体的振动是简谐运动.
答案：设弹簧的劲度系数为k，当砝码在平衡位置时，弹簧伸长x0，此时，mg-kx0=0，即kx0=mg，如图甲所示，当砝码经过任意位置时，受力情况如图乙所示，此时弹簧的伸长量为x0+x，砝码所受合力为：
f=mg-k(x0+x)=-kx，所以f=-kx( x是质点离开平衡位置的位移)，f与x方向总相反，所以砝码的运动为简谐运动.
7.一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振子的平衡位置位于x轴的O点，图11-3-8中的a、b、c、d为四个不同的振动状态，四点表示振子的位置，四点上的箭头表示运动的方向，图11-3-9中给出①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象（ )
图11-3-8
图11-3-9
A.若规定状态a时t=0,则图象为① B.若规定状态b时t=0,则图象为②
C.若规定状态c时t=0,则图象为③ D.若规定状态d时t=0,则图象为④
思路解析：a质点t=0时刻位移为3，由①振动图线可知a向x正方向运动，则选项A正确.B质点t=0时刻位移为2，②振动图线不在位移2处，选项B错.c质点t=0时位移为-2，向x方向运动，选项C正确.d质点t=0时，位移为-4，与④振动图线一致，选项D正确.
答案：ACD
8.如图11-3-10所示，质量为m的密度计插在密度为ρ的液体中.已知密度计圆管的直径为d，试证明密度计经竖向推动后在竖直方向上的振动是简谐运动（液体对运动的阻力忽略不计）.
图11-3-10
思路解析：密度计处于平衡位置时，受到的浮力Q=mg.当密度计有一向下的位移x时，则受到的浮力Q′=Q+π()2xρg.此时所受合力F=Q′-mg=Q′-Q=π ()2xρg,方向向上，和位移x方向相反.
当密度计有一向上位移x时，则受到的浮力Q″=Q-π()2xρg.此时所受合力F=mg-Q″=Q-Q″=π()2xρg，方向向下，和位移x方向相反.
总之，密度计无论在什么位置，合力F总等于π()2xρg，其方向总和位移x方向相反.令k=π()2ρg，可得F=-kx.所以密度计经竖向推动后在竖直方向上的振动是简谐运动.
1.回复力
（1）回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向____________，总是指向___________位置，它的作用是使振子能____________平衡位置.
（2）做简谐运动的弹簧振子的回复力为____________，式中常数k为比例系数，叫做弹簧的____________；负号表示________________________.
（3）回复力是____________性变化的力.
2.简谐运动的能量的特征
（1）简谐运动过程是一个____________和____________不断转化的过程，在任意时刻振动物体的总机械能____________.
（2）在平衡位置，动能最__________，势能最_________；在位移最大处，势能最__________，动能最__________.
（3）振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大机械能越__________.
典题·热题
知识点一 简谐运动过程中基本物理量的变化
例1弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A.振子所受的回复力逐渐增大
B.振子的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小
解析：振子位移是指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小，由牛顿第二定律a=F/m得，加速度也减小，物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，正确答案选D.
答案：D
方法归纳 分析回复力变化时，首先要弄清回复力的来源，是由哪些因素引起的，由哪些力构成，如本题是F=-kx.
例2如图11-3-6所示为某一质点的振动图象，由图象可知在t1和t2两时刻，质点的速度v1、v2，加速度a1、a2的正确关系为( )
图11-3-6
A.v1＜v2，方向相同 B.v1＜v2，方向相反
C.a1＞a2，方向相同 D.a1＞a2，方向相反
解析：在t1时刻质点向下向平衡位置运动，在t2时刻质点向下远离平衡位置运动，所以v1与v2的方向相同，但由于在t1时刻质点离平衡位置较远，所以v1＜v2，a1＞a2；质点的加速度方向总是指向平衡位置的，因而可知在t1时刻加速度方向向下，在t2时刻加速度方向向上.正确选项为A、D.
答案：AD
巧解提示 处理图象问题时一定要把图象还原为质点的实际振动过程来分析，图象不是振动问题的运动轨迹.
知识点二 简谐运动的能量
例3 如图11-3-7所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放在M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下述正确的是（ ）
图11-3-7
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减少
解析：当振子运动到B点时，M的动能为零，放上m，系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep，由于简谐运动过程中系统的机械能守恒，即振幅不变，故A选项正确，当M和m运动至平衡位置O时，M和m的动能和即为系统的总能量，此动能最大，故最大动能不变，C选项正确.
答案：AC
方法归纳 分析简谐运动的能量问题，要弄清运动质点的受力情况和运动的情况，弄清是什么能之间的转化及转化关系等.
例4 做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法正确的是（ ）
A.从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B.从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C.从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D.从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一值
解析：振子在半个周期内刚好到达与初位置关于平衡位置对称的位置，两位置速度大小相等，故由动能定理知，回复力做的功一定为零，则A选项正确，B选项错误；但由于速度反向（初位置在最大位移处时速度均为零），所以在半个周期内速度变化量的大小为初速度大小的两倍，因此在半个周期内速度变化量大小应为0到2v之间的某个值，则C选项错，D选项正确.
答案：AD
方法归纳 简谐运动过程中回复力为变力，因此求回复力的功应选择动能定理；由于速度变化量与速度均为矢量，故计算时应特别注意方向.
知识点三 简谐运动与力学的综合
例5 如图11-3-8所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA=mB=m，剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为____________________.
图11-3-8
解析：本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析.剪断细线前A的受力情况：
重力：mg，向下；细线拉力：F拉=mg，向下；弹簧对A的弹力：F=2 mg，向上.此时弹簧的伸长量为Δx==.
剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx=处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为，由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处，此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg.
答案：Mg
方法归纳 在一些力学综合题目的处理中，如果能充分考虑简谐运动的对称性，可收到事半功倍的效果.
例6如图11-3-9所示，A、B叠放在光滑水平地面上，B与自由长度为L0的轻弹簧相连，当系统振动时，A、B始终无相对滑动，已知mA=3m，mB=m，当振子距平衡位置的位移x=时系统的加速度为a，求A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系.
图11-3-9
解析：设弹簧的劲度系数为k，以A、B整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力作为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置时有：k=(mAmBa，由此得k=.
当系统的位移为x时，A、B间的静摩擦力为Ff，此时A、B具有共同加速度a′，对系统有：kx=（mA+mB）a′ ①
k=，a′=x. ②
对A有：Ff=mAa′. ③
②代入③得,Ff=x.
答案：Ff=x.
方法归纳 本题综合考查了受力分析、胡克定律、牛顿定律和回复力等概念，解题关键是合理选取研究对象，在不同的研究对象中回复力不同.此题最后要求把摩擦力Ff与位移x的关系用函数来表示，要将物理规律与数学有机结合.
自主广场
我夯基我达标
1.做简谐运动的弹簧振子，每次经过同一点a（a点在平衡位置和最大振幅之间）时（ )
A.速度相同 B.加速度相同 C.动能相同 D.势能相同
思路解析：弹簧振子每次经过同一点a，振子的位移每次相同，回复力相同，则加速度相同;速度的大小相等，方向相反，动能相同，据机械能守恒定律可知，系统势能也相同.
答案：BCD
2.如图11-3-3甲所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止，图乙中能正确反映振动过程中A受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图线应为（ )
甲
乙
图11-3-3
思路解析：在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体，受力分析，设A、B的质量为ma、mb，弹簧的劲度系数为k，则有（ma+mb）a=-kx，a=-,A受摩擦力Ff=kx，所以Ff与位移的关系是Ff=-kx.
答案：C
3.如图11-3-4所示，弹簧一端固定在天花板上，另一端挂一质量为m的物体，今托住物体使弹簧没有发生形变然后将物体无初速度释放而做简谐运动，在物体从开始运动到最低点的过程中物体的重力势能____________，弹性势能____________，动能____________，（填“增大”或“减小”）而总的机械能____________.
图11-3-4
思路解析：固定在天花板上的弹簧做简谐运动，选地板为重力势能的零势面，物体从开始运动到最低点这一过程中，物体离地面的距离不断减小，则重力势能不断减小，弹簧的长度不断增大，则弹性势能不断增大，物体不断运动.到达平衡位置时，速度增大到最大，由平衡位置运动到最低点过程中，速度不断减小，所以动能先增大后减小，但总机械能不变.
答案：减小 增大 先增大后减小 不变
4.如图11-3-5所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直弹簧上.若使A随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是_________，当A的速度达到最大值时，A对B的压力大小为____________.
图11-3-5
思路解析：对A受力分析，它受到重力和B对它的支持力，A和B一起做简谐运动，A的回复力是由重力和支持力的合力提供的，当回复力和重力平衡时，A的速度最大，即有fa=mg.
答案：重力和支持力的合力 mg
5.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图11-3-6所示.下列结论正确的是（ )
图11-3-6
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
思路解析：振子在以O为平衡位置，在A、B之间振动，在O点时，动能最大，回复力为零，加速度最小，在A、B位置时，动能最小，回复力最大，加速度最大.从A到O回复力做正功，从O到B回复力做负功，小球从B到O过程，弹簧弹力做功，弹簧振子的机械能不变.
答案：A
我综合我发展
6.如图11-3-7所示，质量为m的砝码，悬挂在轻质弹簧的下端，砝码在竖直方向上自由振动.证明砝码做简谐运动.
图11-3-7
思路解析：做简谐运动物体受力特征f=-kx，因而只要证明回复力与位移大小成正比，方向相反就证明了该物体的振动是简谐运动.
答案：设弹簧的劲度系数为k，当砝码在平衡位置时，弹簧伸长x0，此时，mg-kx0=0，即kx0=mg，如图甲所示，当砝码经过任意位置时，受力情况如图乙所示，此时弹簧的伸长量为x0+x，砝码所受合力为：
f=mg-k(x0+x)=-kx，所以f=-kx( x是质点离开平衡位置的位移)，f与x方向总相反，所以砝码的运动为简谐运动.
7.一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振子的平衡位置位于x轴的O点，图11-3-8中的a、b、c、d为四个不同的振动状态，四点表示振子的位置，四点上的箭头表示运动的方向，图11-3-9中给出①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象（ )
图11-3-8
图11-3-9
A.若规定状态a时t=0,则图象为① B.若规定状态b时t=0,则图象为②
C.若规定状态c时t=0,则图象为③ D.若规定状态d时t=0,则图象为④
思路解析：a质点t=0时刻位移为3，由①振动图线可知a向x正方向运动，则选项A正确.B质点t=0时刻位移为2，②振动图线不在位移2处，选项B错.c质点t=0时位移为-2，向x方向运动，选项C正确.d质点t=0时，位移为-4，与④振动图线一致，选项D正确.
答案：ACD
8.如图11-3-10所示，质量为m的密度计插在密度为ρ的液体中.已知密度计圆管的直径为d，试证明密度计经竖向推动后在竖直方向上的振动是简谐运动（液体对运动的阻力忽略不计）.
图11-3-10
思路解析：密度计处于平衡位置时，受到的浮力Q=mg.当密度计有一向下的位移x时，则受到的浮力Q′=Q+π()2xρg.此时所受合力F=Q′-mg=Q′-Q=π ()2xρg,方向向上，和位移x方向相反.
当密度计有一向上位移x时，则受到的浮力Q″=Q-π()2xρg.此时所受合力F=mg-Q″=Q-Q″=π()2xρg，方向向下，和位移x方向相反.
总之，密度计无论在什么位置，合力F总等于π()2xρg，其方向总和位移x方向相反.令k=π()2ρg，可得F=-kx.所以密度计经竖向推动后在竖直方向上的振动是简谐运动.
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