2021届山西省晋中市高三下学期理数二模试卷及答案

这是一份2021届山西省晋中市高三下学期理数二模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期理数二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 等于〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
2.复数z满足 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C. 3                                       D. 
3.向量 ，且 ，那么m的值为〔    〕
A. -2                                         B. 2                                         C. 4                                         D. -2或4
4.魔方又叫鲁比克方块〔Rubk's Cube〕，是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年创造的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，假设从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为〔    〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
5.如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 中， ， ， ，侧棱 ，假设侧面 水平放置时，水面恰好过 的中点，那么当底面 水平放置时，水面高为〔    〕

A. 2                                           B.                                            C. 3                                           D. 
6. ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
7.点F是抛物线 的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足 那么 〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
8.定义在 上的函数 满足 ，对任意的 ， ， ，恒有 ，那么关于x的不等式 的解集为〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
9.长方体 的底面是边长为2的正方形，高为4，E是 的中点，那么三棱锥 的外接球的外表积为〔    〕
A. 12π                                     B. 20π                                     C. 24π                                     D. 32π
10.双曲线 的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A〔A在第一象限内〕，以 为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B，假设 ，那么双曲线C的离心率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 2
11.设 ，其中 ，假设 对任意的 恒成立，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 
B. 对任意的 有 成立
C. 的单调递增区间是
D. 存在经过点 的直线与函数 的图象不相交
12.假设存在实数x，y满足 ，那么 〔    〕
A. -1                                           B. 0                                           C. 1                                           D. 
二、填空题
13.设x，y满足 ，那么 的最小值是________，最大值是________．
14.曲线 与直线 相切，那么 ________．
15.过点 作圆 的两条切线，切点分别为A，B，那么 ________．
16.如下列图，在平面四边形 中， ，在 中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，假设 ，那么 的面积为________．

三、解答题
17.设 是各项都为正的单调递增数列， ，且 满足关系式： ， ．
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前n项和 ．
18.现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，假设将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 ，如下列图，其中 ，点E，F，G分别是 的中点．

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19.为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否那么抽取第三次．
〔1〕求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
〔2〕求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．
20.设椭圆 ，O为原点，点 是x轴上一定点，椭圆的长轴长等于 ，离心率为 ．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕直线 与椭圆C交于两个不同点M，N，M关于y轴的对称点为 ，N关于原点O的对称点为 ，假设 满足 ，求证：直线l经过定点．
21.函数 〔 …是自然对数的底数〕．
〔1〕假设 在 内有两个极值点，求实数a的取值范围；
〔2〕时，讨论关于x的方程 的根的个数．
22.在平面直角坐标系 中，圆C的参数方程为 〔 为参数〕以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
〔1〕求圆C普通方程和直线l直角坐标方程；
〔2〕点P极坐标为 ，设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q，求线段 的长．
23.函数 ．
〔1〕当 时，解不等式 ；
〔2〕当 时，假设不等式 对任意的 恒成立，求实数a的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意得集合 或 ，
又因为 ，所以 或 。
故答案为：D

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合B，再利用并集的运算法那么，进而求出集合A和集合B的并集。
2.【解析】【解答】因为 ，所以 。
故答案为：D．

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再结合复数求模公式，进而求出复数z的模。
3.【解析】【解答】由题意，向量 ，可得 ，
又由 ，可得 ，解得 或 。
故答案为：D．

【分析】利用条件结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标运算，进而求出m的值。
4.【解析】【解答】沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，
其中有3个面涂色的小正方体共有8个，
只有2个面涂色的小正方体共有12个，
只有1个面涂色的小正方体共有6个，
所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合古典概型求概率公式，进而求出恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率。
5.【解析】【解答】设四棱柱的底面梯形的高为 ，
的中点分别为 ，
所求的水面高为h，
那么水的体积 ，
所以 ，
故答案为：B。

【分析】设四棱柱的底面梯形的高为 ，的中点分别为 ，所求的水面高为h，再利用四棱柱的体积公式，进而求出水的体积，再结合条件，进而求出水面的高。
6.【解析】【解答】因为




，
所以 ，从而可得 。
故答案为：A．

【分析】利用条件结合二倍角的正弦公式和同角三角函数根本关系式，进而化简求出的值，再利用二倍角的正切公式，进而求出的值。
7.【解析】【解答】设 ，可得 ①，
由 ，知 ，
所以 ，②
联立①②，可得 。
故答案为：D．

【分析】利用条件结合抛物线的定义，进而得出①，由 ，结合向量的坐标运算和向量相等的判断方法，进而得出，②再联立①②可得p的值。
8.【解析】【解答】设 ，
因为对任意的 ， ， ，恒有 ，
所以函数 在 上为增函数，那么 在 上为增函数，
又 ，而 ，所以 ，
所以 为奇函数，
综上所述， 为奇函数，且在 上为增函数，
所以不等式 等价于 ，
即 ，亦即 ，
可得 ，解得 。
故答案为：B．

【分析】设 ，因为对任意的 ， ， ，恒有 ， 再利用增函数的定义，判断出函数 在 上为增函数，那么 在 上为增函数，再利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，综上所述， 为奇函数，且在 上为增函数，再利用奇函数的性质结合增函数的性质，进而求出不等式 的解集 。
9.【解析】【解答】如图，O为 中点，M为 中点，

由题可得 ，所以 为直角三角形，
，
又因为在三棱锥 中， 平面 ， 平面 ，
所以外接球球心是 的中点O，
设球的半径为R，那么 ，
所以球的外表积 。
故答案为：B．

【分析】 长方体 的底面是边长为2的正方形，高为4，E是 的中点， 由题可得 ，再利用勾股定理证出线线垂直，进而判断出三角形为直角三角形，又因为在三棱锥 中， 平面 ，进而推出线面垂直，即平面 ， 所以外接球球心是 的中点O，再利用勾股定理求出球的直径，进而求出球的半径，再利用球的外表积公式，进而求出球的外表积。
10.【解析】【解答】如图，因为 ，

所以点F在圆上，又因为 ，所以 ，
而 ，所以 是等腰三角形，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 。
故答案为：A．

【分析】因为 ，结合直径所对的圆周角为直角，得出点F在圆上，又因为 ，所以 ，而 ，所以 是等腰三角形，再利用条件求出的值，再利用正切函数的定义，进而求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。
11.【解析】【解答】 ，
又因为 ，
由题意 对任意的 恒成立，且 ，
所以 对任意的 恒成立，
即 恒成立，
由根本不等式可知
，此时 ，
所以 ．
对于A选项， ， ，所以 ，A不符合题意；
对于B选顼，因为 ，
所以不妨令 ，解得 ，
当 时， ，所以 是 的对称中心，B符合题意；
对于C选项，由 ，
知 ，C不正确；
对于D选项，由题知 ，
要使经过点 的直线与函数 的图象不相交，那么此直线与横轴平行，
又 的振幅为 ，所以直线必与 的图象有交点，D不正确．
故答案为：B.

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用 对任意的 恒成立， 结合不等式恒成立问题求解方法，进而结合代入法推出；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心，再利用函数的图像的对称性，进而推出对任意的 有 成立 ；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的单调递增区间；由题知 ，要使经过点 的直线与函数 的图象不相交，那么此直线与横轴平行，再利用正弦型函数的振幅的定义，进而推出直线必与 的图象有交点，进而判断出说法正确的选项。
12.【解析】【解答】令函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 ，可得 ，
令函数 ，那么 ，当且仅当 时取等号，
又由 ，所以 ，
所以 ，所以 。
故答案为：C.

【分析】令函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，再令函数 ，再结合均值不等式求最值的方法，进而求出，又由 ，所以 ，进而求出x,y的值，从而求出x+y的值。
二、填空题
13.【解析】【解答】如下列图，不等式组满足的平面区域为阴影局部所示区域，
设 ，当 经过点 时， 取到最小值 ,
当 经过点 时， 取到最大值 。

故答案为： ， 。

【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最值。
14.【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ，
设切点为 ，那么 ，
因为曲线 与直线 相切，可得 ，即 ，①
又由 ，即切点为 ，可得 ，②
联立①②，可得 。
故答案为：1。

【分析】设切点为 ，再利用求导的方法求出曲线再切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再利用条件曲线 与直线 相切，进而求出a的值。
15.【解析】【解答】由 得 ，所以圆心 ，半径为1，
所以 ， ， ，
所以 。

故答案为： 。

【分析】利用圆的一般方程转化为圆的标准方程，进而求出圆心坐标和半径长，再利用条件，所以 ， ， ，再结合数量积的定义，进而求出数量积的值。
16.【解析】【解答】解：∵ ，∴在等腰直角 中 ，在 中，由余弦定理得 ，又因为 ，∴ ，又因为 ，∴ ，∴ ，作 分别交 于点F，E，

∵ ，E，F分别为线段 的中点，∴ ，
∴ 。
故答案为： 。

【分析】因为，所以在等腰直角 中， ，在 中，由余弦定理结合条件 ，所以 ，又因为，所以 ，再利用勾股定理判断出两直线垂直，即 ，作 分别交 于点F，E，再利用中点的性质结合三角形面积之间的关系，再结合三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合递推公式变形和数列 是各项为正的单调递增数列 ，进而推出 ， 再利用等差数列的定义，推出数列 是首项为2，公差为2的等差数列， 再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式 。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 的前n项和。
18.【解析】【分析】〔1〕 根据得 ，又因为点G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，因为 ，G为 的中点，再结合等腰三角形三线合一，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即平面 ．又因为 ，进而证出 平面 。
〔2〕 因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，取 中点H，连接 ，那么 平面 ，又因为 ，所以以H为原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合互斥事件求概率公式，进而求出某顾客所获得的减免金额为40元的概率 。
〔2〕利用条件求出随机变量X的可能的取值，再利用条件结合求概率的方法，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出某顾客所获得的减免金额X的数学期望 。
20.【解析】【分析】〔1〕 由题意，椭圆 且长轴长等于 ，离心率为 ， 再利用长轴的定义和离心率公式，进而解方程组求出a,c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕利用 ，可得 三点共线， 再利用三点共线两直线斜率相等， 所以 ，即 ， 再利用两点求斜率公式整理得出 ① ，再利用直线 与椭圆C交于两个不同点M，N，联立二者方程结合韦达定理得出，代入①，可得 ， 所以直线l的方程为 ，即 ， 进而证出直线l经过定点〔-1，0〕。
 
21.【解析】【分析】〔1〕利用导数的运算法那么和导数的公式，得出导函数，因为 在 内有两个极值点，所以 在 内有两个不相等的变号根，即 在 上有两个不相等的变号根，设 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合要 在 上有两个不相等的变号根，从而求出实数a的取值范围。
〔2〕利用a的值求出函数f(x)的解析式， 设 ， 令 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用分类讨论的方法结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合条件，进而讨论出关于x的方程 的根的个数。
 
22.【解析】【分析】利用条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出圆C普通方程和直线l直角坐标方程。
〔2〕 利用点P极坐标为 ，再利用直线l与圆C相交于A，B两点，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用A，B中点为Q，结合中点坐标公式，进而求出点Q的坐标，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出点P的直角坐标，再利用两点距离公式，进而求出线段PQ的长。
23.【解析】【分析】〔1〕利用a,b的值求出函数的解析式，再利用零点分段法，进而求出绝对值不等式的解集。
〔2〕利用b的值结合不等式 对任意的 恒成立， 再利用不等式恒成立问题求解方法，得出 ， 再利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用分段函数的图像求出分段函数的最小值，进而求出实数a的取值范围。