2021-2022学年九年级上数学期末模拟卷(1)(含答案与详细解析)
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这是一份2021-2022学年九年级上数学期末模拟卷(1)(含答案与详细解析),共20页。试卷主要包含了选择题,四象限D.第三,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级上数学期末模拟卷(1)
时间:100分钟 满分:120分
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)抛物线y=2(x﹣3)2﹣1的顶点坐标是( )
A.(﹣3,1) B.(3,1) C.(3,﹣1) D.(﹣3,﹣1)
3.(3分)小玲在一次班会中参与知识抢答活动,现有语文题6个,数学题5个,英语题9个,她从中随机抽取1个,抽中数学题的概率是( )
A. B. C. D.
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0,配方后得到的方程是( )
A.(x﹣2)2=1 B.(x﹣2)2=4 C.(x﹣2)2=3 D.(x﹣2)2=5
5.(3分)已知反比例函数的图象经过点P(﹣2,1),则这个函数的图象位于( )
A.第一、三象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
6.(3分)下列语句中不正确的有( )
①相等的圆心角所对的弧相等;
②平分弦的直径垂直于弦;
③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;
④长度相等的两条弧是等弧.
A.3个 B.2个 C.1个 D.4个
7.(3分)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为( )
A.5 B. C.7 D.
8.(3分)如图半径为13的⊙O中,弦AB垂直于半径OC交OC于D,AB=24,则CD的长为( )
A.5 B.12 C.8 D.7
9.(3分)如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是( )
A.(32﹣2x)(20﹣x)=570
B.32x+2×20x=32×20﹣570
C.(32﹣x)(20﹣x)=32×20﹣570
D.32x+2×20x﹣2x2=570
10.(3分)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:
①abc<0;
②2a﹣b=0;
③4a+2b+c<0;
④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.
其中说法正确的是( )
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)在平面直角坐标系中,点A(﹣1,3)关于原点对称的点A′的坐标是 .
12.(3分)把抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是 .
13.(3分)已知一个三角形的两边长分别为2和9,第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48=0的一个根,则这个三角形的周长为 .
14.(3分)关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
15.(3分)已知反比例函数y=,在x>0时,y随x的增大而减小,则k的取值范围是 .
16.(3分)如图,AB是⊙O的直径,∠C=20°,则∠ABD等于 .
17.(3分)如图,点A在双曲线上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为 .
18.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是 .
三、解答题(共8小题,满分66分)
19.(8分)解方程:
(1)x2﹣4x+1=0; (2)(x﹣2)2=6﹣3x.
20.(7分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△A′B′C′;
(2)在(1)的条件下,求点C旋转到点C′所经过的路线长及线段AC旋转到新位置时所划过区域的面积.
21.(6分)如图,PA,PB是⊙O的切线,点A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠ACB=70°.求∠P的度数.
22.(7分)为弘扬中华传统文化,黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小丽参加“单人组”,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率是多少?
(2) 小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
23.(8分)某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.
(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为 件;
(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润.
24.(8分)如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
25.(10分)如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,OP=1,求BC的长.
26.(12分)如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(3) 作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
2021-2022学年九年级上数学期末模拟卷(1)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可.
【解答】解:A、图形不是中心对称图形;
B、图形是中心对称图形;
C、图形不是中心对称图形;
D、图形不是中心对称图形,
故选:B.
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后能与自身重合.
2.【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可.
【解答】解:∵抛物线的解析式为:y=2(x﹣3)2﹣1,
∴其顶点坐标为:(3,﹣1).
故选:C.
【点评】本题考查的是二次函数的性质,二次函数的顶点式为y=a(x﹣h)2+k,此时顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h,此题考查了学生的应用能力.
3.【分析】由小玲在一次班会中参与知识抢答活动,现有语文题6个,数学题5个,英语题9个,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动,现有语文题6个,数学题5个,英语题9个,共20个,
∴她从中随机抽取1道,抽中数学题的概率是:=,
故选:A.
【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
4.【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得.
【解答】解:∵x2﹣4x=1,
∴x2﹣4x+4=1+4,即(x﹣2)2=5,
故选:D.
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键.
5.【分析】先根据点的坐标求出k值,再利用反比例函数图象的性质即可求解.
【解答】解:∵图象过(﹣2,1),
∴k=xy=﹣2<0,
∴函数图象位于第二,四象限.
故选:C.
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质.
6.【分析】①和④、没有前提;②、注意不是直径的弦;③、注意对称轴是直线.
【解答】解:①和④、错误,应强调在同圆或等圆中;②、错误,应强调不是直径的弦;③、错误,应强调过直径所在的直线才是它的对称轴.
故选:D.
【点评】在叙述命题时注意要强调命题成立的条件.
7.【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积,进而可求出正方形的边长,再利用勾股定理得出答案.
【解答】解:∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置,
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25,
∴AD=DC=5,
∵DE=2,
∴Rt△ADE中,AE==.
故选:D.
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质,正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键.
8.【分析】连接OA,先根据垂径定理求出AD的长,再根据勾股定理求出OD的长,根据CD=OC﹣OD即可得出结论.
【解答】解:连接OA,
∵AB⊥OC,AB=24,
∴AD=AB=×24=12,
在Rt△AOD中,
∵OA=13,AD=12,
∴OD===5,
∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8.
故选:C.
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.
9.【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形,设道路的宽为xm,根据草坪的面积是570m2,即可列出方程.
【解答】解:设道路的宽为xm,根据题意得:(32﹣2x)(20﹣x)=570,
故选:A.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程.
10.【分析】根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大即可判断④.
【解答】解:∵二次函数的图象的开口向上,
∴a>0,
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,
∴﹣=﹣1,
∴b=2a>0,
∴abc<0,∴①正确;
2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).
∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c>0,∴③错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1,
∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),
根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大,
∵<3,
∴y2<y1,∴④正确;
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,可以直接写出答案.
【解答】解:点A(﹣1,3)关于原点对称的点A′的坐标是(1,﹣3),
故答案为:(1,﹣3).
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是熟练掌握坐标的变化规律.
12.【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律得出即可.
【解答】解:y=3x2先向上平移2个单位,得到y=3x2+2,再向右平移3个单位y=3(x﹣3)2+2.
故得到抛物线的解析式为y=3(x﹣3)2+2.
故答案为:y=3(x﹣3)2+2.
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减.
13.【分析】易得方程的两根,那么根据三角形的三边关系,得到符合题意的边,进而求得三角形周长即可.
【解答】解:解方程x2﹣14x+48=0得第三边的边长为6或8,
依据三角形三边关系,不难判定边长2,6,9不能构成三角形,2,8,9能构成三角形,
∴三角形的周长=2+8+9=19.
故答案为:19.
【点评】综合考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系,求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯.
14.【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ>0,即(﹣2)2﹣4×k×1>0,然后解不等式即可得到k的取值范围.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,
∴k≠0且Δ>0,即(﹣2)2﹣4×k×1>0,
解得k<1且k≠0.
∴k的取值范围为k<1且k≠0.
故答案为:k<1且k≠0.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.
15.【分析】直接利用反比例函数的性质得出k+2的符号,进而得出答案.
【解答】解:∵反比例函数y=,在x>0时,y随x的增大而减小,
∴k+2>0,
解得:k>﹣2.
故答案为:k>﹣2.
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质,正确得出系数的取值范围是解题关键.
16.【分析】连接AD,先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数,再由直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】解:连接AD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠C=20°,
∴∠A=∠C=20°,
∴∠ABD=90°﹣20°=70°.
故答案为:70°.
【点评】本题考查的是圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出圆周角是解答此题的关键.
17.【分析】根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系:S=|k|即可判断.
【解答】解:延长BA交y轴于E,
∵AB∥x轴,
∴AE垂直于y轴,
∵点A在双曲线上,
∴四边形AEOD的面积为1,
∵点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,
∴四边形BEOC的面积为3,
∴矩形ABCD的面积为3﹣1=2.
故答案为:2.
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.
18.【分析】先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD
【解答】解:∵∠ACB=90°,AC=BC=1,
∴AB=,
∴S扇形ABD==.
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,
∴Rt△ADE≌Rt△ACB,
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=.
故答案为:.
【点评】本题考查了扇形的面积公式:S=.也考查了勾股定理以及旋转的性质.
三、解答题(共8小题,满分66分)
19.【分析】(1)将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,再开方即可得;
(2)先移项,再将左边利用提公因式法因式分解,继而可得两个关于x的一元一次方程,分别求解即可得出答案.
【解答】解:(1)∵x2﹣4x+1=0,
∴x2﹣4x=﹣1,
则x2﹣4x+4=﹣1+4,即(x﹣2)2=3,
∴x﹣2=±,
∴x1=2+,x2=2﹣;
(2)∵(x﹣2)2=6﹣3x,
∴(x﹣2)2+3(x﹣2)=0,
∴(x﹣2)(x+1)=0,
则x﹣2=0或x+1=0,
解得x1=2,x2=﹣1.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
20.【分析】(1)根据旋转的定义作出点B、C绕点A按逆时针方向旋转90°后得到的对应点,再顺次连接可得;
(2)根据弧长公式和扇形的面积公式列式计算可得.
【解答】解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求:
(2)由题意可得A(1,3),C(5,1),
∴AC=,
∴点C旋转到C′所经过的路线长,
∴线段AC旋转到新位置时所划过区域的面积.
【点评】本题主要考查作图﹣旋转作图,解题的关键是根据旋转变换的定义作出旋转后所得对应点及扇形、弧长的计算公式.
21.【分析】根据PA,PB分别是⊙O的切线得到PA⊥OA,PB⊥OB,在四边形AOBP中根据内角和定理,就可以求出∠P的度数.
【解答】解:连接OB,
∴∠AOB=2∠ACB,
∵∠ACB=70°,
∴∠AOB=140°;
∵PA,PB分别是⊙O的切线,
∴PA⊥OA,PB⊥OB,
即∠PAO=∠PBO=90°,
∵四边形AOBP的内角和为360°,
∴∠P=360°﹣(90°+90°+140°)=40°.
【点评】本题主要考查了切线的性质,切线垂直于过切点的半径.
22.【分析】(1)直接利用概率公式求解;
(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率=;
(2)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1,
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
23.【分析】(1)根据“当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件”,即可解答;
(2)根据等量关系“利润=(售价﹣进价)×销量”列出函数关系式,根据二次函数的性质,即可解答.
【解答】解:(1)由题意得:200﹣10×(52﹣50)=200﹣20=180(件),
故答案为:180;
(2)由题意得:
y=(x﹣40)[200﹣10(x﹣50)]
=﹣10x2+1100x﹣28000
=﹣10(x﹣55)2+2250
∴每件销售价为55元时,获得最大利润;最大利润为2250元.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点,同学们应重点掌握.
24.【分析】(1)利用点A在y=﹣x+4上求a,进而代入反比例函数y=求k.
(2)联立方程求出交点,设出点P坐标表示三角形面积,求出P点坐标.
【解答】解:(1)把点A(﹣1,a)代入y=x+4,得a=3,
∴A(﹣1,3)
把A(﹣1,3)代入反比例函数y=
∴k=﹣3,
∴反比例函数的表达式为y=﹣
(2)联立两个函数的表达式得
解得
或
∴点B的坐标为B(﹣3,1)
当y=x+4=0时,得x=﹣4
∴点C(﹣4,0)
设点P的坐标为(x,0)
∵S△ACP=S△BOC
∴
解得x1=﹣6,x2=﹣2
∴点P(﹣6,0)或(﹣2,0)
【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题,考查利用方程思想求函数解析式,通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达.
25.【分析】(1)由垂直定义得∠A+∠APO=90°,根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB,根据对顶角相等得∠CPB=∠APO,所以∠APO=∠CBP,而∠A=∠OBA,所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°,然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线;
(2)设BC=x,则PC=x,在Rt△OBC中,根据勾股定理得到32+x2=(x+1)2,然后解方程即可.
【解答】(1)证明:连接OB,如图,
∵OP⊥OA,
∴∠AOP=90°,
∴∠A+∠APO=90°,
∵CP=CB,
∴∠CBP=∠CPB,
而∠CPB=∠APO,
∴∠APO=∠CBP,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:设BC=x,则PC=x,
在Rt△OBC中,OB=3,OC=CP+OP=x+1,
∵OB2+BC2=OC2,
∴32+x2=(x+1)2,
解得x=4,
即BC的长为4.
【点评】本题考查了切线的判定定理以及勾股定理,正确应用勾股定理求出BC的长是解题关键.
26.【分析】(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)本问要点是求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值;
(3)本问要点是明确D点的可能位置有三种情形,如答图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标.
【解答】解:(1)∵分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0),
将x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2,
将x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=,
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+x+2;
(2)如答图1,设MN交x轴于点E,
则E(t,0),则M(t,2﹣t),
又N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=﹣t2+t+2,
∴MN=yN﹣yM=﹣t2+t+2﹣(2﹣t)=﹣t2+4t,
∴当t=2时,MN有最大值4;
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示.
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,
从而D为(0,6)或D(0,﹣2),
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,
易得D1N的方程为y=x+6,D2M的方程为y=x﹣2,
由两方程联立解得D为(4,4)
故所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4).
【点评】本题是二次函数综合题,考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点.难点在于第(3)问,点D的可能位置有三种情形,解题时容易遗漏而导致失分.作为中考压轴题,本题有一定的难度,解题时比较容易下手,区分度稍低.
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日期:2022/1/6 15:22:15;用户:江凯旋;邮箱:18079131761;学号:41362289
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