2021-2022学年吉林省吉林市九年级（上）期末数学试卷（B卷）（含答案解析）

2021-2022学年吉林省吉林市九年级（上）期末数学试卷（B卷）

1.     下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     关于“可能性是的事件在100次试验中发生的次数”，下列说法错误的是(    )

A. 一定发生一次 B. 可能发生一次 C. 可能发生两次 D. 可能一次也不发生

3.     如图，二次函数的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程的解是(    )

A. 两个正根
B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根
D. 0和一个正根

4.     如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，，连接若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.     如图，中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.     如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为(    )

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

7.     点、N关于原点对称，则点N的坐标是______.
8.     方程的实数解是______ .
9.     已知关于x的方程可以配方成，则______.
10. 抛物线与y轴的交点坐标为______.
11. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，若，，则EC等于______.

12. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接BD，若，，则______.

13. 如图，在等腰中，，，斜边AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与AB、BC相交，则图中的阴影部分的面积为______结果保留

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点过点B作轴，交抛物线于点C，过点A作轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上不与B，C重合，连结PC，PD，则面积的最大值是______.

15. 解方程：
16. 从两副完全相同的扑克中，抽出两张黑桃5和两张梅花8，现将这四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌子上.
    问从中随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率是多少？
    利用树状图或列表法表示从中随机抽取两张扑克牌成为一对的概率.
     
17. 已知近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．
18. 去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元．
    求：该店第二季度的营业额；
    该店第三、第四季度营业额的增长率．
19. 关于x的一元二次方程
    若方程有两个不相等的实数根，且，求n的取值范围；
    若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示
20. 如图，平面直角坐标系中点D坐标为，每个小正方形网格的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均在格点上．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
    将线段AD绕点A逆时针旋转，画出对应线段AE，并直接写出点E的坐标______；
    过中点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；
    找一个格点F，使得，并直接写出点F的坐标______.

21. 如图，AB为的直径，C为上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接
    求的度数；
    若，求的长.

22. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
    制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
    画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形
    原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：
    ①和为等腰三角形，则：
    ，______；
    ②四边形ABCD为平行四边形理由是______；
    ③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
    ④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的______倍得到的．

23. 在中，，，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，
    如图1，当时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由；
    如图2，当时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足
    求a，b的值及反比例函数的解析式；
    若，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由．

25. 如图，四边形ABCD中，，，，点P，Q同时从点B出发，点P以的速度沿运动，到点D停止，点Q以的速度沿运动，到点D停止．设点P的运动时间为，的面积为当点Q到达点C时，点P在AD上，此时
    
    求CD的长；
    求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
26. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
    
    【问题】
    如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则______，点A的坐标为______.
    【操作】
    将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：______.
    【探究】
    在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是______.
    【应用】结合上面的操作与探究，继续思考：
    如图③，若抛物线与x轴交于A，B两点在B左，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．
    求A、B两点的坐标；用含h的式子表示
    当时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
 

2.【答案】A 

【解析】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也有可能不发生，可能性是的事件是在大量重复试验时，平均每100次试验发生一次．
故A错误，B，C，D正确．
故选：
根据随机事件的性质依次判断．
本题考查概率的定义，正确理解偶然和必然的关系是求解本题的关键．
 

3.【答案】D 

【解析】解：抛物线经过原点和点A，且点A在x轴正半轴，
或是方程的解，
故选：
图象与x轴交点的横坐标即为的解，根据图象求解．
本题考查二次函数与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

4.【答案】D 

【解析】解：，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形ABCD内接于，
，
故选：
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

5.【答案】C 

【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两组角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
 

6.【答案】B 

【解析】解：是反比例函数的图象上一点，
的面积为，
点B在函数的图象上，四边形OABC为矩形，
矩形ABCO的面积为4，
阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积的面积
故选
根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
 

7.【答案】 

【解析】解：的相反数是，的相反数是4，
点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：
根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点：两点关于原点对称，两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，用到的知识点为：a的相反数为
 

8.【答案】， 

【解析】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：，
故答案为：，
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

9.【答案】1 

【解析】解：由，得：
，
，，
，，
，
故答案为
已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，
抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：
将代入抛物线解析式即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】2 

【解析】解：，，
：：：3，
：：
，
，
故答案为：
由，AD：：4，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：：：3，继而求得答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系．
 

12.【答案】20 

【解析】解：由旋转的性质可知：，，，
在中，，，，
，
，
，
故答案为：
根据旋转的性质可知：，，，利用勾股定理求出AB的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在等腰中，，，
，
点O是斜边AC的中点，
，
阴影部分面积为：
故答案为：
利用等腰直角三角形的性质得出AO，CO的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，求得扇形的半径是解题关键．
 

14.【答案】4 

【解析】解：抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点
，，
抛物线与的对称轴为，轴，轴，
直线AD就是抛物线与的对称轴，
、C关于直线AD对称，
，
顶点A到直线BC的距离最大，
点P与A重合时，面积最大，最大值为
故最大值为
根据抛物线的解析式求得A、B的坐标，和对称轴方程，根据轴，轴对称B、C是抛物线上的对称点，所以，因为顶点A到直线BC的距离最大，所以点P与A重合时，面积最大，最大值为
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得点P与A重合时，面积最大是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
，
， 

【解析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
 

16.【答案】解：随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率；
列表如下：

共有6种等可能的结果，其中抽取两张扑克牌成为一对的占2种，
所以随机抽取两张扑克牌成为一对的概率 

【解析】直接根据概率的定义可求出随机抽取一张扑克牌是梅花8的概率；
先列表展示所有6种等可能的结果，其中抽取两张扑克牌成为一对的占2种，然后利用概率定义求解．
本题考查了列表法与树状图法：先通过列表法或树状图法展示一个实验发生的所有等可能的结果，再从中找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义求这个事件的概率．
 

17.【答案】解：设函数的解析式为，
度近视眼镜镜片的焦距为米，
，
解析式为，
当时，，
小慧原来戴400度的近视眼镜，
小慧所戴眼镜的度数降低了度，
答：小慧所戴眼镜的度数降低了150度． 

【解析】设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后求得焦距为米时的眼镜度数，相减即可求得答案．
此题考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：由题意可得，
第二季度的营业额为：万元，
答：该店第二季度的营业额为150万元；
设该店第三、第四季度营业额的增长率为x，
，
解得，舍去，
答：该店第三、第四季度营业额的增长率是 

【解析】根据某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了，可以计算出第二季度的营业额；
根据中的结果和第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元，可以得到方程，然后求解即可．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

19.【答案】解：根据题意得，
而，
所以，
解得，
即n的取值范围为；
根据题意得，
所以 

【解析】利用根的判别式得到，然后解不等式即可；
根据根的判别式得，然后把m表示n即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，线段AE即为所求，
故答案为：；
如图，直线EK即为所求；
如图，点F即为所求，

故答案为：
根据要求作出图形即可；
连接AC，BD交于点K，作直线EK即可；
取格点，连接CF即可．
本题考查作图-旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：连接OC，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
；

连接OE，
的直径，
，
，
，
的长为： 

【解析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得是解决问题的关键．
连接OC，如图，利用切线的性质得到，则判断，所以，然后利用得到；
根据同弧上圆周角和圆心角的关系求出，根据弧长公式即可求出的长．
 

22.【答案】OCE 两组对边分别相等的四边形是平行四边形  

【解析】解：①和为等腰三角形，则：
，；
②四边形ABCD为平行四边形理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：OCE、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
根据等腰三角形的性质、平行四边形的判定及相似三角形的性质求解即可得出答案．
本题主要考查作图-位似变换，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行四边形的判定及相似三角形的性质．
 

23.【答案】解：，理由如下：
如图1中，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，
，
，，，
，是等边三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：；理由如下：
如图2中，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
 

【解析】根据SAS证≌即可；
根据线段比例关系和夹角相等证∽，即可得出PA与DC的数量关系．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：把和分别代入，
得：，，
把代入，得：，
反比例函数解析式为；
，
设CD的解析式为，
，D在x轴的正半轴上，
的坐标为，
以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：
将D代入直接CD解析式得：，
的坐标为，
，，，，
，
又，
四边形ABCD是平行四边形，
如图，过点B作轴于点E，则，

，
和都等腰直角三角形，
，
，
平行四边形ABCD是矩形． 

【解析】把A和B分别代入，得：，，再把代入得：，故反比例函数解析式为；
由于，可设CD的解析式为，由得D的坐标为，将D代入直接CD解析式得：，得C的坐标为，由A，B，C，D可算出，由得四边形ABCD是平行四边形，过点B作轴于点E得E，由和都等腰直角三角形证出，即可得平行四边形ABCD是矩形．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法、矩形的判定，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图1，过点P作于E，过D作于F，

，，
，
，
，
四边形ABEP是矩形，
，
，
同理得四边形ABFD是矩形，
，，
，
；
分三种情况：
①当时，如图2，P在AB上，Q在BC上，

，，
；
②当时，如图3，P在AD上，Q在BC上，

；
③当时，如图4，P在AD上，Q在CD上，过点D作于F，过点Q作于G，交AD的延长线于H，

，，
∽，
，
，
，
，


，
综上， 

【解析】如图1，作辅助线，构建梯形的高线，根据列等式可得，根据勾股定理可得CD的长；
分三种情况：①当时，P在AB上，Q在BC上；②当时，P在AD上，Q在BC上；③当时，P在AD上，Q在CD上时；根据三角形面积公式可得结论．
此题主要考查了直角梯形的性质、矩形的性质和判定、三角形的面积、三角形相似的性质和判定，第二问中注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
 

26.【答案】【问题】
1，
【操作】 

【探究】
或；
【应用】
令得，
解得：、，
点；
当时，新图象的函数值y随x的增大而增大，
且或，
解得：或 

【解析】

解：【问题】
将点代入，得：，
解得，
则抛物线解析式为，
令得，
解得、，
点A坐标为，
故答案为：1、；

【操作】
因为翻折后抛物线与原抛物线的开口方向相反、形状相同，且新抛物线的顶点坐标为，
所以翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式，
故答案为：；

【探究】
在图2中，新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是或，
故答案为：或；

【应用】
见答案；
见答案．
【分析】
【问题】将原点坐标代入求出a的值，得出函数解析式，再求出时x的值可得答案；
【操作】由翻折后抛物线与原抛物线的开口方向相反、形状相同，且新抛物线的顶点坐标为可得函数解析式；
【探究】结合函数图象找到函数图象自左向右逐渐上升部分所对应的x的取值范围；
【应用】求出时x的值可得；
结合函数图象，由时新图象的函数值y随x的增大而增大，知且或，据此可得答案．
本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．