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2021-2022学年人教版九年级数学上册期末考试模拟卷（word版 含答案）
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这是一份2021-2022学年人教版九年级数学上册期末考试模拟卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了在函数y＝2等内容，欢迎下载使用。
人教版2021-2022学年九年级数学上册期末考试模拟卷
一．选择题（共12小题）
1．下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（ ）
A．36 B．50 C．28 D．25
3．将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（ ）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2，则m等于（ ）
A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣ D．2或﹣2
5．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝kx﹣2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．在函数y＝2（x+1）2﹣的图象上有三点A（1，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3
10．如图，矩形纸片ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤
二．填空题（共6小题）
13．如图，在两个同心圆中，三条直径把大，小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概率是 ．
14．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为 ．
15．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
16．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为4cm，分别以OA、OB为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 ．
18．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：2y2+6y＝y+3．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
21．已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．
22．如图，在⊙O中，＝＝2π，∠BAC＝60°，求OA的长度．
23．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 ，并直接写出x的取值范围是 ；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
25．如图1，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD．
（1）求∠BCD的大小；
（2）求证：CD＝DM；
（3）如图2，连接OM，若AM＝，OM＝，求AC的长．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由；
（4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（ ）
A．36 B．50 C．28 D．25
【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，
故选：C．
3．将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（ ）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．
∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，
∴2a＝4，a2+b＝2．
∴a＝2，b＝﹣2．
故选：C．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2，则m等于（ ）
A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣ D．2或﹣2
【解答】解：设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为a、b，
根据根与系数的关系得a+b＝m，ab＝1，
而|a﹣b|＝2，
∴（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣4ab＝4，
∴m2﹣4×1＝4，
解得m＝±2，
∵Δ＝m2﹣4＞0，
∴m的值为2或﹣2．
故选：D．
5．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵共4+6＝10个球，黑球有4个，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是＝．
故选：D．
6．如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝kx﹣2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2经过点（0，﹣2），
∴排除B选项，
A选项中，抛物线开口向上，k＞0，直线从左至右下降，k＜0，错误，不符合题意．
C选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右下降，k＜0，正确，符合题意．
D选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右上升，k＞0，错误，不符合题意．
故选：C．
7．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0和x2+2ax﹣12＝0有一个共同的根x1，
把x＝x1代入ax2+2x﹣12＝0得ax12+2x1﹣12＝0 ①，
把x＝x1代入x2+2ax﹣12＝0得x12+2ax1﹣12＝0 ②，
①﹣②并整理得（a﹣1）x12﹣2（a﹣1）x1＝0，
即x1（a﹣1）（x1﹣2）＝0，
若x1＝0，则方程ax12+2x1﹣12＝0 的左边等于﹣12，不等于右边，
∴x1＝0不符合题意；
若a﹣1＝0，则a＝1，此时两个方程都变为x2+2x﹣12＝0，
则两个方程的根相同，与x1≠x2≠x3不符，所以a＝1不符合题意，
若x1﹣2＝0，则x1＝2，
把x1＝2代入ax2+2x﹣12＝0，
得4a+4﹣12＝0，解得a＝2，
当a＝2时，两个方程分别为2x2+2x﹣12＝0和x2+4x﹣12＝0，
即x2+x﹣6＝0和x2+4x﹣12＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣3，x3＝﹣6，符合题意，
所以a＝2，
故选：D．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故选：A．
9．在函数y＝2（x+1）2﹣的图象上有三点A（1，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3
【解答】解：由二次函数y＝2（x+1）2﹣可知其对称轴为x＝﹣1，图象开口向上，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，点A（1，y1）与点（﹣3，y1）对称，
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y1＝y2＞y3，
故选：A．
10．如图，矩形纸片ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵△PCD沿PD翻折得到△PC′D，
∴∠CPD＝∠C′PD，
∵PE平分∠BPF，
∴∠BPE＝∠EPC′，
∴∠BPE+∠CPD＝×180°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CPD+∠PDC＝90°，
∴∠BPE＝∠PDC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CDP，
∴＝，
∵BP＝x，BE＝y，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，
∴CP＝4﹣x，CD＝AB＝3，
∴＝，
整理得，y＝x（4﹣x）＝﹣x（x﹣4），
纵观各选项，A选项图象符合．
故选：A．
11．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，
由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠FAD，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝CE，
由旋转可得，AB＝AE＝1，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝1，∠ABE＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴EG＝BE＝，BG＝，
∴CG＝1﹣，
∴Rt△CEG中，CE＝＝＝＝＝＝，
∴DF＝，
故选：A．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
又可知b＝﹣a，
∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴0＝4a+2b+c，
故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且＝1，﹣＝2，
∴y1＞y2，
故④不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x＝，
∴当x＝时，抛物线y取得最大值ymax＝（）2a+b+c＝b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，
∴（其中）．
故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．如图，在两个同心圆中，三条直径把大，小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概率是 ．
【解答】解：由图可知黑色区域与白色区域的面积相等，故球落在黑色区域的概率是＝．
14．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为 ﹣3 ．
【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
16．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为4cm，分别以OA、OB为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 8cm2 ．
【解答】解：如图，连接AB，OC，过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OA是直径，
∴∠ACO＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE＝AE，OC＝AC，
∴Rt△OCE≌Rt△ACE（HL），
∵S扇形OEC＝S扇形AEC，
∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，
同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，
∴S阴影＝S△AOB＝×4×4＝8（cm2）．
故答案为8cm2．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 2 ．
【解答】解：将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H，如图：
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∵PB＝BF，∠PBF＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，
根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，
在Rt△EBH中，∠EBH＝180°﹣∠EBC＝60°，EB＝AB＝4，
∴BH＝BE•cos60°＝2，EH＝EB•sin60°＝2，
∴CH＝BH+CB＝2+6＝8，
∴EC＝＝＝2，
故答案为：2．
18．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
【解答】解：如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于D2R，，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′．
∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵∠D+∠DEC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠B＝∠D，
∴∠DEC＝∠BAC＝定值，
∴∠AEC是定值，
∴点E的运动轨迹是，
∵∠R+∠AEC＝180°，∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠R＝∠DEC＝∠BAC，
∴∠R+∠B＝90°，
∴∠BAR＝90°，
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BAR＝90°，
∴△BCA∽△BAR，
∴＝，
∴＝，
∴BR＝，
∴CR＝BR﹣BC＝，
∴AR＝＝＝，
∴EO′＝AR＝，
∵AO＝OB，AO′＝O′R，
∴OO′＝BR＝，
∵OE≥OO′﹣EO′＝﹣＝，
∴OE的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：2y2+6y＝y+3．
【解答】解：∵2y2+6y＝y+3，
∴2y（y+3）﹣（y+3）＝0，
∴（y+3）（2y﹣1）＝0，
∴y+3＝0或2y﹣1＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：＝．
21．已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）
＝4k2﹣4k2+4
＝4＞0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为3，
∴32+6k+k2﹣1＝0，
整理，得：k2+6k＝﹣8，
∴2k2+12k+2021
＝2（k2+6k）+2021
＝2×（﹣8）+2021
＝﹣16+2021
＝2005．
22．如图，在⊙O中，＝＝2π，∠BAC＝60°，求OA的长度．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵＝＝2π，
∴∠AOB＝∠AOC＝＝120°，
∴＝2π，
∴OA＝3．
故OA的长度为3．
23．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 S＝﹣2x2+100x ，并直接写出x的取值范围是 30≤x＜50 ；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x，
∵0＜100﹣2x≤40，
∴30≤x＜50，
∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x，自变量x的取值范围是30≤x＜50，
故答案安为：S＝﹣2x2+100x，30≤x＜50；
（2）令S＝1050，则﹣2x2+100x＝1050，
解得：x1＝15，x2＝35，
∵30≤x＜50，
∴x＝35，
∴当x为35m时，面积S为1050m2；
（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＞25时，S随着x的增大而减小，
∵30≤x＜50，
∴当x＝30时，S有最大值为1200，
∴当AB＝30m，BC＝40m时，面积S有最大值为1200m2．
24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：由旋转可得△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠BCO+∠OCA＝60°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝∠OCA+∠BCO＝60°，
又∵OC＝CD，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是等腰直角三角形，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC＝150°，
由（1）得△COD是等边三角形，
∵∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝90°，
∴∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠DOC＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形．
25．如图1，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD．
（1）求∠BCD的大小；
（2）求证：CD＝DM；
（3）如图2，连接OM，若AM＝，OM＝，求AC的长．
【解答】（1）解：∵BC 为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵M为△ABC的内心，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°；
（2）如图1，
证明：连接CM，
∵M为△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ACM＝∠BCM，
∵＝，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠DMC＝∠DAC+∠ACM，∠DCM＝∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC＝∠DCM，
∴CD＝DM；
（3）如图2，
解：过M作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，MG⊥AC于G，
四边形AEMG是正方形．
∵AM＝，
∴AE＝AG＝MF＝2．
在Rt△OMF中，，
设CF＝CG＝x，则OC＝OB＝x+1，BF＝BE＝x+2，
∴AB＝x+2+2＝x+4，AC＝x+2，BC＝2（x+1），
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴（x+4）2+（x+2）2＝[2（x+1）]2，
解得x＝4或﹣2（舍去），
∴AC＝x+2＝6．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由；
（4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）点B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，
解得：；
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）连接OP，如图：
设点P（x，﹣x2﹣x+2），
∵y＝﹣x2﹣x+2；
∴C（0，2），
∴S四边形ADCP
＝S△APO+S△OPC﹣S△ODC
＝OA•yP+OC•|xP|﹣OC•OD
＝×3×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）﹣×2×1
＝﹣x2﹣3x+2
＝﹣（x+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，S有最大值，，S的最大值为；
（3）存在，
抛物线y＝﹣x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣1，
设M点坐标为（﹣1，m），
则MB2＝22+（m﹣0）2＝4+m2，MA2＝22+m2＝4+m2，且AB2＝16，
当△ABM为以AB为斜边的直角三角形时，可得MB2+MA2＝AB2，
∴4+m2+4+m2＝16，解得m＝﹣2或m＝2，
即M点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2），
综上可知存在满足条件的M点，其坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）；
（4）存在，
设N（﹣1，t），则BN2＝4+t2，CN2＝1+（t﹣2）2，BC2＝5，
①当BN为斜边时，
∴CN2+BC2＝BN2，即1+（t﹣2）2+5＝4+t2，
解得t＝，
∴N（﹣1，）；
②当CN为斜边时，
∴BN2+BC2＝CN2，即4+t2+5＝1+（t﹣2）2，
解得t＝﹣1，
∴N（﹣1，﹣1）；
③当BC为斜边时，
∴BN2+CN2＝BC2，即4+t2+1+（t﹣2）2＝5，
方程无解，
综上所述，N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1）
人教版2021-2022学年九年级数学上册期末考试模拟卷
一．选择题（共12小题）
1．下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（ ）
A．36 B．50 C．28 D．25
3．将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（ ）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2，则m等于（ ）
A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣ D．2或﹣2
5．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝kx﹣2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．在函数y＝2（x+1）2﹣的图象上有三点A（1，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3
10．如图，矩形纸片ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤
二．填空题（共6小题）
13．如图，在两个同心圆中，三条直径把大，小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概率是 ．
14．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为 ．
15．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
16．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为4cm，分别以OA、OB为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 ．
18．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：2y2+6y＝y+3．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
21．已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．
22．如图，在⊙O中，＝＝2π，∠BAC＝60°，求OA的长度．
23．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 ，并直接写出x的取值范围是 ；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
25．如图1，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD．
（1）求∠BCD的大小；
（2）求证：CD＝DM；
（3）如图2，连接OM，若AM＝，OM＝，求AC的长．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由；
（4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（ ）
A．36 B．50 C．28 D．25
【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，
故选：C．
3．将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（ ）
A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．
∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，
∴2a＝4，a2+b＝2．
∴a＝2，b＝﹣2．
故选：C．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0的两根之差为2，则m等于（ ）
A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．或﹣ D．2或﹣2
【解答】解：设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为a、b，
根据根与系数的关系得a+b＝m，ab＝1，
而|a﹣b|＝2，
∴（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣4ab＝4，
∴m2﹣4×1＝4，
解得m＝±2，
∵Δ＝m2﹣4＞0，
∴m的值为2或﹣2．
故选：D．
5．不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵共4+6＝10个球，黑球有4个，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是＝．
故选：D．
6．如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝kx﹣2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2经过点（0，﹣2），
∴排除B选项，
A选项中，抛物线开口向上，k＞0，直线从左至右下降，k＜0，错误，不符合题意．
C选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右下降，k＜0，正确，符合题意．
D选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右上升，k＞0，错误，不符合题意．
故选：C．
7．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0和x2+2ax﹣12＝0有一个共同的根x1，
把x＝x1代入ax2+2x﹣12＝0得ax12+2x1﹣12＝0 ①，
把x＝x1代入x2+2ax﹣12＝0得x12+2ax1﹣12＝0 ②，
①﹣②并整理得（a﹣1）x12﹣2（a﹣1）x1＝0，
即x1（a﹣1）（x1﹣2）＝0，
若x1＝0，则方程ax12+2x1﹣12＝0 的左边等于﹣12，不等于右边，
∴x1＝0不符合题意；
若a﹣1＝0，则a＝1，此时两个方程都变为x2+2x﹣12＝0，
则两个方程的根相同，与x1≠x2≠x3不符，所以a＝1不符合题意，
若x1﹣2＝0，则x1＝2，
把x1＝2代入ax2+2x﹣12＝0，
得4a+4﹣12＝0，解得a＝2，
当a＝2时，两个方程分别为2x2+2x﹣12＝0和x2+4x﹣12＝0，
即x2+x﹣6＝0和x2+4x﹣12＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣3，x3＝﹣6，符合题意，
所以a＝2，
故选：D．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故选：A．
9．在函数y＝2（x+1）2﹣的图象上有三点A（1，y1）、B（﹣3，y2）、C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y1＝y3＞y2 D．y2＞y1＝y3
【解答】解：由二次函数y＝2（x+1）2﹣可知其对称轴为x＝﹣1，图象开口向上，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，点A（1，y1）与点（﹣3，y1）对称，
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y1＝y2＞y3，
故选：A．
10．如图，矩形纸片ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵△PCD沿PD翻折得到△PC′D，
∴∠CPD＝∠C′PD，
∵PE平分∠BPF，
∴∠BPE＝∠EPC′，
∴∠BPE+∠CPD＝×180°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CPD+∠PDC＝90°，
∴∠BPE＝∠PDC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CDP，
∴＝，
∵BP＝x，BE＝y，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，
∴CP＝4﹣x，CD＝AB＝3，
∴＝，
整理得，y＝x（4﹣x）＝﹣x（x﹣4），
纵观各选项，A选项图象符合．
故选：A．
11．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，
由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠FAD，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝CE，
由旋转可得，AB＝AE＝1，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝1，∠ABE＝60°，
∴∠EBG＝30°，
∴EG＝BE＝，BG＝，
∴CG＝1﹣，
∴Rt△CEG中，CE＝＝＝＝＝＝，
∴DF＝，
故选：A．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若，是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
又可知b＝﹣a，
∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴0＝4a+2b+c，
故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且＝1，﹣＝2，
∴y1＞y2，
故④不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x＝，
∴当x＝时，抛物线y取得最大值ymax＝（）2a+b+c＝b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，
∴（其中）．
故⑤正确，
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．如图，在两个同心圆中，三条直径把大，小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概率是 ．
【解答】解：由图可知黑色区域与白色区域的面积相等，故球落在黑色区域的概率是＝．
14．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为 ﹣3 ．
【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
16．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为4cm，分别以OA、OB为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 8cm2 ．
【解答】解：如图，连接AB，OC，过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OB＝OA，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OA是直径，
∴∠ACO＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE＝AE，OC＝AC，
∴Rt△OCE≌Rt△ACE（HL），
∵S扇形OEC＝S扇形AEC，
∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，
同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，
∴S阴影＝S△AOB＝×4×4＝8（cm2）．
故答案为8cm2．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内一点，AB＝4，BC＝6，则PA+PB+PC的最小值是 2 ．
【解答】解：将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H，如图：
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∵PB＝BF，∠PBF＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，
根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，
在Rt△EBH中，∠EBH＝180°﹣∠EBC＝60°，EB＝AB＝4，
∴BH＝BE•cos60°＝2，EH＝EB•sin60°＝2，
∴CH＝BH+CB＝2+6＝8，
∴EC＝＝＝2，
故答案为：2．
18．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是 ．
【解答】解：如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于D2R，，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′．
∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵∠D+∠DEC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠B＝∠D，
∴∠DEC＝∠BAC＝定值，
∴∠AEC是定值，
∴点E的运动轨迹是，
∵∠R+∠AEC＝180°，∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠R＝∠DEC＝∠BAC，
∴∠R+∠B＝90°，
∴∠BAR＝90°，
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BAR＝90°，
∴△BCA∽△BAR，
∴＝，
∴＝，
∴BR＝，
∴CR＝BR﹣BC＝，
∴AR＝＝＝，
∴EO′＝AR＝，
∵AO＝OB，AO′＝O′R，
∴OO′＝BR＝，
∵OE≥OO′﹣EO′＝﹣＝，
∴OE的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：2y2+6y＝y+3．
【解答】解：∵2y2+6y＝y+3，
∴2y（y+3）﹣（y+3）＝0，
∴（y+3）（2y﹣1）＝0，
∴y+3＝0或2y﹣1＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：＝．
21．已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）
＝4k2﹣4k2+4
＝4＞0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为3，
∴32+6k+k2﹣1＝0，
整理，得：k2+6k＝﹣8，
∴2k2+12k+2021
＝2（k2+6k）+2021
＝2×（﹣8）+2021
＝﹣16+2021
＝2005．
22．如图，在⊙O中，＝＝2π，∠BAC＝60°，求OA的长度．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵＝＝2π，
∴∠AOB＝∠AOC＝＝120°，
∴＝2π，
∴OA＝3．
故OA的长度为3．
23．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为 S＝﹣2x2+100x ，并直接写出x的取值范围是 30≤x＜50 ；
（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；
（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x，
∵0＜100﹣2x≤40，
∴30≤x＜50，
∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x，自变量x的取值范围是30≤x＜50，
故答案安为：S＝﹣2x2+100x，30≤x＜50；
（2）令S＝1050，则﹣2x2+100x＝1050，
解得：x1＝15，x2＝35，
∵30≤x＜50，
∴x＝35，
∴当x为35m时，面积S为1050m2；
（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＞25时，S随着x的增大而减小，
∵30≤x＜50，
∴当x＝30时，S有最大值为1200，
∴当AB＝30m，BC＝40m时，面积S有最大值为1200m2．
24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：由旋转可得△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，∠BCO＝∠ACD，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠BCO+∠OCA＝60°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝∠OCA+∠BCO＝60°，
又∵OC＝CD，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是等腰直角三角形，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC＝150°，
由（1）得△COD是等边三角形，
∵∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝90°，
∴∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠DOC＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形．
25．如图1，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD．
（1）求∠BCD的大小；
（2）求证：CD＝DM；
（3）如图2，连接OM，若AM＝，OM＝，求AC的长．
【解答】（1）解：∵BC 为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵M为△ABC的内心，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°；
（2）如图1，
证明：连接CM，
∵M为△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ACM＝∠BCM，
∵＝，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠DMC＝∠DAC+∠ACM，∠DCM＝∠BCD+∠BCM，
∴∠DMC＝∠DCM，
∴CD＝DM；
（3）如图2，
解：过M作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，MG⊥AC于G，
四边形AEMG是正方形．
∵AM＝，
∴AE＝AG＝MF＝2．
在Rt△OMF中，，
设CF＝CG＝x，则OC＝OB＝x+1，BF＝BE＝x+2，
∴AB＝x+2+2＝x+4，AC＝x+2，BC＝2（x+1），
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴（x+4）2+（x+2）2＝[2（x+1）]2，
解得x＝4或﹣2（舍去），
∴AC＝x+2＝6．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点M，使△MAB是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由；
（4）在对称轴上是否存在点N，使△BCN为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）点B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，
解得：；
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）连接OP，如图：
设点P（x，﹣x2﹣x+2），
∵y＝﹣x2﹣x+2；
∴C（0，2），
∴S四边形ADCP
＝S△APO+S△OPC﹣S△ODC
＝OA•yP+OC•|xP|﹣OC•OD
＝×3×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）﹣×2×1
＝﹣x2﹣3x+2
＝﹣（x+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，S有最大值，，S的最大值为；
（3）存在，
抛物线y＝﹣x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣1，
设M点坐标为（﹣1，m），
则MB2＝22+（m﹣0）2＝4+m2，MA2＝22+m2＝4+m2，且AB2＝16，
当△ABM为以AB为斜边的直角三角形时，可得MB2+MA2＝AB2，
∴4+m2+4+m2＝16，解得m＝﹣2或m＝2，
即M点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2），
综上可知存在满足条件的M点，其坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）；
（4）存在，
设N（﹣1，t），则BN2＝4+t2，CN2＝1+（t﹣2）2，BC2＝5，
①当BN为斜边时，
∴CN2+BC2＝BN2，即1+（t﹣2）2+5＝4+t2，
解得t＝，
∴N（﹣1，）；
②当CN为斜边时，
∴BN2+BC2＝CN2，即4+t2+5＝1+（t﹣2）2，
解得t＝﹣1，
∴N（﹣1，﹣1）；
③当BC为斜边时，
∴BN2+CN2＝BC2，即4+t2+1+（t﹣2）2＝5，
方程无解，
综上所述，N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1）
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