2021年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）（问卷）

这是一份2021年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）（问卷），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A＝{−1, 0, 1}，B＝{x|x2<1}，则A∪B＝（ ）
A.{−1, 1}B.{−1, 0, 1}
C.{x|−1≤x≤1}D.{x|x≤1}

2. 如图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）

A.B.8πC.9πD.10π

3. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2−6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（ ）
A.(−3, 0)B.(−4, 0)C.(−10, 0)D.(−5, 0)

4. 若a>0，b>0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannn)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W⋅lg2(1+）”，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯嗓声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为（ ）（参考数据：100.2≈1.58）
A.1559B.1579C.3160D.2512

6. 已知cs(π4−θ2)=23，则sinθ＝（ ）
A.79B.19C.−19D.−79

7. 在△ABC中，已知∠BAC＝90∘，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则AB→⋅AD→的值为（ ）
A.48B.24C.12D.6

8. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax+1−3（a为常数），则f(−1)的值为（ ）
A.−6B.−3C.−2D.6

9. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别 是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A.8πB.6πC.11πD.5π

10. 在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，则c的值为（ ）
A.3或5B.3或6C.3D.5

11. 已知点F为双曲线(a>0, b>0)的左焦点．直线l:y＝−x与双曲线的左支交于点P，且|OP|＝|PF|（O为坐标原点），则此双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.

12. 已知函数f(x)=13ax3+x2(a>0)．若存在实数x0∈(−1, 0)，且x0≠−12，使得f(x0)＝f(−12)，则实数a的取值范围为（ ）
A.(25, 5)B.(23, 3)∪(3, 5)
C.(187, 6)D.(187, 4)∪(4, 6)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

复数z＝的共轭复数为________．

在所有首位不为0的七位数电话号码中，任取一个电话号码，则头两位数码不相同的概率为________．

已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)的图象如图所示，f(π2)=−23，则f(0)=________．


在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的是________．
①DP与D1Q所成角的大小为；
②四面体ABPQ的体积为定值；
③△AA1Q的面积有最小值；
④平面D1PQ截正方体所得截面面积为定值．
三、解答题：第17-21题毎题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．

已知数列{an}满足Sn＝2an−1，n∈N+，Sn为其前n项和．
（1）求{an}的通项公式；

（2）求S1+S4+S7+...+S3n−2．

如图，四棱锥S−ABCD的侧面SAD是正三角形，AB // CD，且AB⊥AD，AB=2CD=4，E是BS的中点．

(1)求证：CE // 平面SAD；

(2)若平面SAD⊥平面ABCD，且BS=42，求三棱锥B−EAC的体积．

某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25, 35),[35, 45),[45, 55),[55, 65),[65, 75),[75, 85),[85, 95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中a的值；

（2）以样本数据的平均业务量为标准，该快递骑手应选择哪个方案？（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）．

已知抛物线C:y2＝2px(0（1）求抛物线C的方程；

（2）O为坐标原点，A，B为抛物线上不同的两点，且OA⊥OB，求△AFO与△ABO面积之和的最小值．

已知函数f(x)＝lnx−ax+x2．
（1）当a＝时，求f(x)的单调区间；

（2）已知a≥，x1，x2(x1>x2)为函数f(x)的两个极值点，求y＝−ln的最大值．
请考生在第22、23题中任选一题作答，并将所选的题号下的“〇”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分[选修4-4：坐标系与参数方程]

数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”，又名RC心形线．如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为＝1．

（1）求RC心形线的直角坐标方程；

（2）已知直线l过点P(0, 2)，且倾斜角为120∘，若直线l与RC心形线交于M，N两点．求|PM|⋅|PN|的值．
[选修4-5：不等式选讲]

设函数f(x)＝|2x−1|+mx+2，m∈R．
(Ⅰ)若m＝1，解不等式f(x)<6；
(Ⅱ)若f(x)有最小值，且关于x的方程f(x)＝−x2+x+1有两个不等实根，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）（问卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在毎个小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
解不等式得集合B，根据并集的定义写出A∪B．
【解答】
集合A＝{−1, 0, 1}，B＝{x|x2<1}＝{x|−1则A∪B＝{x|−1≤x≤1}．
2.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面积．
【解答】
根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为圆锥，
如图所示：
所以圆锥的母线长为，
圆锥展开图的弧长为2⋅π⋅1＝2π，
所以圆锥的侧面积为．
故选：A．
3.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
圆的标准方程
【解析】
由圆方程得到圆心坐标，从而得椭圆一个焦点为F(3, 0)，所以c=3，结合b=4可计算出a=b2+c2=5，可得椭圆的左顶点坐标．
【解答】
解：∵ 圆x2+y2−6x+8=0的圆心为(3, 0)，
∴ 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(3, 0)，得c=3
又∵ 短轴长为2b=8，得b=4
∴ a=b2+c2=5，可得椭圆的左顶点为(−5, 0)
故选D
4.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
a>0，b>0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．
【解答】
a>0，b>0，∴ a+b≥2，
若ab≥1，则a+b≥2．
反之不成立，例如取a＝5，b＝．
∴ “ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．
5.
【答案】
B
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
根据题意得到，然后利用换底公式以及对数的运算性质和指数的运算性质进行化简求解即可．
【解答】
由题意可知，信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，
所以，
则lg2(1+λ)＝1.6×lg2100，
由换底公式可得，即lg(1+λ)＝1.6lg100＝1.6×2＝3.2，
所以1+λ＝103.2＝103×100.2≈1000×1.58＝1580，
所以λ的值大约为1579．
6.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得sinθ的值．
【解答】
∵ cs(π4−θ2)=23，∴ cs(π2−θ)＝2cs2(π4−θ2)−1=−19=sinθ，
即sinθ=−19，
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据CD＝2DB，得到BD=13BC，即BD→=13BC→，然后利用平面向量的关系，利用数量积的定义进行求值即可．
【解答】
∵ CD＝2DB，
∴ BD=13BC，即BD→=13BC→，
∵ AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→=AB→+13(AC→−AB→)=23AB→+13AC→，
∴ AB→⋅AD→=AB→⋅(23AB→+13AC→)=23AB→2+13AB→⋅AC→，
∵ ∠BAC＝90∘，
∴ AB⊥AC，即AB→⋅AC→=0，
∴ AB→⋅AD→=23×62＝24．
8.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
f(x)为定义在R上的奇函数，则有f(−x)＝−f(x)，f(0)＝0，由已知解析式，求得a＝3，进而得到f(1)，再由f(−1)＝−f(1)，即可得到．
【解答】
f(x)为定义在R上的奇函数，
则有f(−x)＝−f(x)，f(0)＝0，
当x≥0时，f(x)＝ax+1−3（a为常数），
则f(0)＝a−3＝0，解得，a＝3，
即有f(x)＝3x+1−3，
即f(1)＝9−3＝6，
则f(−1)＝−f(1)＝−6．
故选：A．
9.
【答案】
B
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．
【解答】
由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：1+1+4=6．
∴ 球的半径为62，
∴ 球的表面积为4π⋅(62)2=6π．
10.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
结合正弦定理和二倍角公式可得csA＝，再由余弦定理求得c＝3或5，然后需要检验两解是否均符合题意．
【解答】
由正弦定理知，＝＝，
∴ ＝，
∴ csA＝，
由余弦定理知，a2＝b2+c2−2bc⋅csA，即9＝24+c2−2×2×c×，
化简得c2−8c+15＝0，
解得c＝3或5，
当c＝3时，有A＝C，
∵ A+B+C＝π，且B＝2A，
∴ A＝C＝，即△ABC为等腰直角三角形，此时b＝c，不符合题意，舍去，
∴ c＝5．
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，确定函数的大致图象，然后结合图象即可求解．
【解答】
f′(x)＝ax2+2x，令f′(x)＝0，得x＝0或x=−2a，
当x∈(−∞,−2a)时，f′(x)>0，函数递增，当x∈(−2a,0)时，f′(x)<0，函数递减，当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，函数递增，
若存在数x0∈(−1, 0)，且x0≠−12，使得f(x0)＝f(−12)，
则−2a<−12−2a>−1f(−1)于是可得a∈(187,4)∪(4, 6)．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
【答案】
−1+i
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
∵ z＝＝，
∴ ．
【答案】
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
先求出基本事件总数n＝9×106，其中头两位数码不相同包含的基本事件个数m＝9×9×105，由此能求出头两位数码不相同的概率．
【解答】
在所有首位不为0的七位数电话号码中，任取一个电话号码，
基本事件总数n＝9×106，
其中头两位数码不相同包含的基本事件个数m＝9×9×105，
则头两位数码不相同的概率为P＝＝＝．
【答案】
23
【考点】
余弦函数的周期性
余弦函数的图象
【解析】
根据图象求出周期，注意2π3与π2关于7π12对称，求出f(2π3)，就是f(0)的值．
【解答】
解：由图象可得最小正周期为2π3，
所以f(0)=f(2π3)，
根据图象可以看出2π3与π2关于7π12对称，
故f(2π3)=−f(π2)=23=f(0)．
故答案为：23.
【答案】
②③④
【考点】
命题的真假判断与应用
棱柱的结构特征
异面直线及其所成的角
【解析】
直接利用空间直角坐标系，异面直线的夹角，等体积转换法，几何体的截面，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用判断①②③④的结论．
【解答】
对于②：四面体ABPQ的体积为定值，故②正确（1）对于③：由于AA1⊥A1Q，且，
所以＝＝，
由于x∈[0, 2]，所以，故③正确（2）对于④：由于点Q满足2x0+y0−2＝0，即点在直线2x0+y0−2＝0上运动，取A1B1的中点E，即点Q在D1E上，则平面D1PQ截正方体的所得的截面为2△D1PE，
由于点P到D1E的距离为2，
则截面的面积为2△D1PE＝＝2为定值，故④正确．
故选：②③④．
三、解答题：第17-21题毎题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．
【答案】
∵ Sn＝2an−1，
∴ 当n≥2时，有Sn−1＝2an−1−1，
两式相减得：an＝2an−2an−1，即an＝2an−1，
当n＝1时，有S1＝2a1−1，解得：a1＝1，
∴ 数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴ an＝2n−1；
由（1）可得：Sn＝2an−1＝2n−1，
∴ S3n−2＝23n−2−1，
∴ S1+S4+S7+...+S3n−2＝(2+24+27+...+23n−2)−n＝−n＝−n．
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
（1）先由题设推导出：an＝2an−1，进而说明数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得其通项公式；
（2）先由（1）求得Sn，进而求得S3n−2，再利用分组求和法及公式法求得其前n项和即可．
【解答】
∵ Sn＝2an−1，
∴ 当n≥2时，有Sn−1＝2an−1−1，
两式相减得：an＝2an−2an−1，即an＝2an−1，
当n＝1时，有S1＝2a1−1，解得：a1＝1，
∴ 数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴ an＝2n−1；
由（1）可得：Sn＝2an−1＝2n−1，
∴ S3n−2＝23n−2−1，
∴ S1+S4+S7+...+S3n−2＝(2+24+27+...+23n−2)−n＝−n＝−n．
【答案】
(1)证明：取SA的中点F，连接EF，
∵ E是SB中点，
∴ EF // AB，且AB=2EF.
又∵ AB // CD，AB=2CD，
∴ EF // DC，EF=DC，
则四边形EFDC是平行四边形，
∴ EC // FD，
又∵ EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，
∴ CE // 平面SAD.
(2)解：取AD中点G，连接SG，
∵ SAD是正三角形，
∴ SG⊥AD，
∵ 平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，
∴ SG⊥平面ABCD.
∵ AB⊥AD，
∴ AB⊥平面SAD，则AB⊥SA，
故SA=SB2−AB2=4，SG=23.
∵ E是SB中点，
∴ 点E到平面ABCD的距离等于12SG=3，
∴ 三棱锥B−EAC的体积为：
VB−EAC=VE−BAC=13×12×4×4×3=833．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC // FD，CE // 平面SAD；
（2）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，再由等体积法求三棱锥B−EAC的体积．
【解答】
(1)证明：取SA的中点F，连接EF，
∵ E是SB中点，
∴ EF // AB，且AB=2EF.
又∵ AB // CD，AB=2CD，
∴ EF // DC，EF=DC，
则四边形EFDC是平行四边形，
∴ EC // FD，
又∵ EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，
∴ CE // 平面SAD.
(2)解：取AD中点G，连接SG，
∵ SAD是正三角形，
∴ SG⊥AD，
∵ 平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，
∴ SG⊥平面ABCD.
∵ AB⊥AD，
∴ AB⊥平面SAD，则AB⊥SA，
故SA=SB2−AB2=4，SG=23.
∵ E是SB中点，
∴ 点E到平面ABCD的距离等于12SG=3，
∴ 三棱锥B−EAC的体积为：
VB−EAC=VE−BAC=13×12×4×4×3=833．
【答案】
由频率分布直方图知，(0.005×3+2a+0.03+0.015)×10＝1，
∴ a＝0.02．
平均业务量为(30×0.005+40×0.005+50×0.02+60×0.03+70×0.02+80×0.015+90×0.005)×10＝62，
方案（1）的日工资：50+62×3＝236元，
方案（2）的日工资：150+(62−44)×5＝240元，
∵ 236<240，
故该快递骑手应选择方案（2）．
【考点】
频率分布直方图
【解析】
（1）由频率之和为1，可求得a的值；
（2）由平均值的计算方法求得平均业务量为62，再分别计算方案（1）的日工资为236元，方案（2）的日工资为240元，从而得解．
【解答】
由频率分布直方图知，(0.005×3+2a+0.03+0.015)×10＝1，
∴ a＝0.02．
平均业务量为(30×0.005+40×0.005+50×0.02+60×0.03+70×0.02+80×0.015+90×0.005)×10＝62，
方案（1）的日工资：50+62×3＝236元，
方案（2）的日工资：150+(62−44)×5＝240元，
∵ 236<240，
故该快递骑手应选择方案（2）．
【答案】
抛物线C:y2＝2px(0可得|QF|＝m+＝4，且2pm＝12，
解得p＝2（6舍去），m＝3，
则抛物线的方程为y2＝4x；
设AB的方程为x＝sy+t，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立，可得y2−4sy−4t＝0，
则16s2+16t>0，又y1y2＝−4t，
x1x2＝＝t2，
由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝t2−4t＝0，
解得t＝4（0舍去），
所以直线AB恒过定点N(4, 0)，
可设y1<0，y2>0，
则△AFO与△ABO面积之和S＝|y1|⋅|OF|+|y1−y2|⋅|ON|
＝-y1+2(y2−y1)＝2y2−y1≥2＝2＝8，
当且仅当y1＝-，y2＝2时，上式取得等号．
则△AFO与△ABO面积之和的最小值为8．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和Q的坐标满足抛物线的方程，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）设AB的方程为x＝sy+t，A(x1, y1)，B(x2, y2)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理推得t＝4，直线AB恒过定点N(4, 0)，由三角形的面积公式和基本不等式，计算可得所求最小值．
【解答】
抛物线C:y2＝2px(0可得|QF|＝m+＝4，且2pm＝12，
解得p＝2（6舍去），m＝3，
则抛物线的方程为y2＝4x；
设AB的方程为x＝sy+t，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立，可得y2−4sy−4t＝0，
则16s2+16t>0，又y1y2＝−4t，
x1x2＝＝t2，
由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝t2−4t＝0，
解得t＝4（0舍去），
所以直线AB恒过定点N(4, 0)，
可设y1<0，y2>0，
则△AFO与△ABO面积之和S＝|y1|⋅|OF|+|y1−y2|⋅|ON|
＝-y1+2(y2−y1)＝2y2−y1≥2＝2＝8，
当且仅当y1＝-，y2＝2时，上式取得等号．
则△AFO与△ABO面积之和的最小值为8．
【答案】
当a＝时，f(x)＝lnx−x+x2，x>0，
f′(x)＝-+x＝，
令f′(x)>0，可得02，令f′(x)<0，可得所以f(x)在(0，），(2, +∞)上单调递增，在（，1)上单调递减．
f′(x)＝−a+x＝，
因为x1，x2(x1>x2)为函数f(x)的两个极值点，
所以x1，x2是方程x2−ax+1＝0的两个根，
所以x1＝，x2＝，可得＝＝，
因为a≥，所以y＝a2为增函数，y＝a为增函数且大于0，y＝为增函数且大于0，
所以y＝为增函数，所以＝≥＝3，
令t＝(t≥3)，则y＝−ln＝−lnt，
令g(t)＝−lnt＝2−−lnt，
g′(t)＝-＝-<0，所以g(t)在[3, +∞)上单调递减，
所以g(t)的最大值为g(3)＝1−ln3．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）对f(x)求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
（2）f′(x)＝，由x1，x2(x1>x2)为函数f(x)的两个极值点，可得x1，x2是方程x2−ax+1＝0的两个根，求出x1，x2，可得＝，结合a的范围及单调性即可求得的范围，令t＝，则问题转化为求g(t)＝2−−lnt的最大值，利用导数即可求解．
【解答】
当a＝时，f(x)＝lnx−x+x2，x>0，
f′(x)＝-+x＝，
令f′(x)>0，可得02，令f′(x)<0，可得所以f(x)在(0，），(2, +∞)上单调递增，在（，1)上单调递减．
f′(x)＝−a+x＝，
因为x1，x2(x1>x2)为函数f(x)的两个极值点，
所以x1，x2是方程x2−ax+1＝0的两个根，
所以x1＝，x2＝，可得＝＝，
因为a≥，所以y＝a2为增函数，y＝a为增函数且大于0，y＝为增函数且大于0，
所以y＝为增函数，所以＝≥＝3，
令t＝(t≥3)，则y＝−ln＝−lnt，
令g(t)＝−lnt＝2−−lnt，
g′(t)＝-＝-<0，所以g(t)在[3, +∞)上单调递减，
所以g(t)的最大值为g(3)＝1−ln3．
请考生在第22、23题中任选一题作答，并将所选的题号下的“〇”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
RC心形线的极坐标方程为＝1，根据，整理得ρ2−|ρcsθ||ρsinθ|＝1，转换为直角坐标方程为x2+y2−|x|y＝1．
直线l过点P(0, 2)，且倾斜角为120∘，转换为参数方程为（t为参数），由于直线只能与y轴的右侧的部分相交，
故把直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2−xy＝1，
整理得，
所以|PM|⋅|PN|＝．
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】
RC心形线的极坐标方程为＝1，根据，整理得ρ2−|ρcsθ||ρsinθ|＝1，转换为直角坐标方程为x2+y2−|x|y＝1．
直线l过点P(0, 2)，且倾斜角为120∘，转换为参数方程为（t为参数），由于直线只能与y轴的右侧的部分相交，
故把直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2−xy＝1，
整理得，
所以|PM|⋅|PN|＝．
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
（1）若m＝1，f(x)＝|2x−1|+x+2，
当x≤12时，f(x)＝3−x，
由f(x)<6解得：x>−3，综合得−3当x>12时，f(x)＝3x+1，
由f(x)<6解得：x<53，综合得12故f(x)<6的解集是(−3, 53)；
（2）当x>12时，f(x)＝(2+m)x+1，
当x≤12时，f(x)＝(m−2)x+3，
要使函数f(x)有最小值，
则m+2≥0m−2≤0 ，解得：−2≤m≤2，
故f(x)在x=12时取最小值12m+2，
y＝−x2+x+1在x=12时取最大值54，
∵ 方程f(x)＝−x2+x+1有两个不等实根，
∴ 12m+2<54，解得：m<−32，
综上，m的范围是[−2, −32)．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数的零点与方程根的关系
【解析】
(Ⅰ)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
(Ⅱ)通过讨论x的范围得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】
（1）若m＝1，f(x)＝|2x−1|+x+2，
当x≤12时，f(x)＝3−x，
由f(x)<6解得：x>−3，综合得−3当x>12时，f(x)＝3x+1，
由f(x)<6解得：x<53，综合得12故f(x)<6的解集是(−3, 53)；
（2）当x>12时，f(x)＝(2+m)x+1，
当x≤12时，f(x)＝(m−2)x+3，
要使函数f(x)有最小值，
则m+2≥0m−2≤0 ，解得：−2≤m≤2，
故f(x)在x=12时取最小值12m+2，
y＝−x2+x+1在x=12时取最大值54，
∵ 方程f(x)＝−x2+x+1有两个不等实根，
∴ 12m+2<54，解得：m<−32，
综上，m的范围是[−2, −32)．