新疆2022届高三诊断性自测（第二次）数学（理）试题(含答案)

这是一份新疆2022届高三诊断性自测（第二次）数学（理）试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,则A的真子集共有( )
A.1个B.2个C.3个D.7个
2、已知实数x,y满足约束条件,设,则z最小值为( )
A.B.C.D.0
3、中国气象局规定:一天24h里的降雨的深度当作日降水量,通常用毫米表示降水量的单位,1mm的降水量是指单位面积上水深`mm.如图,这是一个雨量筒,其下部是直径为20cm､高为60cm的圆柱,上部承水口的直径为30cm.某同学将该雨量筒放在雨中,雨水从圆形容器口进入容器中,24h后,测得容器中水深40cm,则该同学测得的降水量约为( )
C.178mmD.267mm
4、已知复数z满足,则复数z在复平面内对应的点的坐标为( )
A.B.C.D.
5、若向量,满足,,.则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
6、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案,以正方形各边为直径作半圆,阴影部分为其公共部分.现从该正方形中任取一点,则此点取自于阴影部分的概率为( )
A.B.C.D.
7、在三棱锥中,平面ABC,,,,若三棱锥体积为6,则三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8、如图.已知椭圆,双曲线,若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,且椭圆与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则双曲线的离心率为( )
A.3B.C.2D.
9、若函数是定义在R上的增函数,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
10、设函数,其中,,若,,则在上的单调减区间是( )
A.B.C.D.
11、如图,在正方体中,点E,F分别为,BC的中点,设过点E,F,的平面为,则下列说法正确的是( )
A.在正方体中,存在某条棱与平面平行
B.在正方体中,存在某条面对角线与平面平行
C.在正方体中,存在某条体对角线与平面平行
D.平面截正方体所得的截面为五边形
12、已知抛物线,圆.若点P,Q分别在,上运动,且设点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、为了解某校1200名高一学生的身高状况,按性别比例采用分层抽样的方法从中抽取50人进行调查,若样本中男生比女生多10人,则该校高一学生中女生的人数为_____.
14、已知,,则_____.
15、已知函数,则不等式的解集为_____.
16、已知数列的前n项和为,且数列是首项为1,公差为2的等差数列,若,数列的前n项和为,则使得成立的n的最小值为_____.
三、解答题
17、如图,在平面四边形ABCD中,,,,.
（1）求;
（2）若为锐角三角形,求BC的取值范围.
18、如图,在三棱柱中,侧面是矩形,,,,,E,F分别为棱,BC的中点,G为线段CF的中点.
（1）证明:平面;
（2）求二面角的余弦值.
19、自2021年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作,为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义,某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动,从中抽取了100名教育工作者的答卷,得分情况统计如下(满分:分).
100名教育工作者答卷得分频数分布表
（1）若这100名教育工作者答卷得分X服从正态分布(其中用样本数据的均值表示,用样本数据的方差表示),求;
（2）若以这100名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分,则从全区所有教育工作者中任意选取3人的答卷得分,记Y为这3人的答卷得分不低于70分且低于90分的人数,试求Y的分布列和数学期望和方差.
参考数据:,,,.
20、已知椭圆的离心率为,短轴长为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设过点的动直线与椭圆交于E,F两点(点在轴上方),,为椭圆的左,右顶点,直线,与y轴分别点M,N,O为坐标原点,求的值.
21、已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程,并证明的图象除点A以外的所有点都在这条切线上方;
（2）证明:对于一切,均有.
22、在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程;
（2）若直线l和曲线C交于A,B两点,且,求实数k的值.
23、已知函数.
（1）若,求不等式的解集;
（2）若存在,使得成立,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析:集合,
所以集合A的真子集有,,.
故选:C.
2、答案：B
解析:作出约束条件,对应的平面区域如图所示:
由可得,平移直线,由图象可知当直线经过点B时,直线的截距最大,此时z最小,
由,可得,则.
故选:B
3、答案：C
解析:由题意,水的体积(),
容器口的面积().
降雨量(cm)=178(mm).
该同学测得的降水量约为178mm.
故选:C.
4、答案：B
解析:由得,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为.
故选:B.
5、答案：B
解析:
所以,即,,
所以.
故选:B.
6、答案：D
解析:设正方形的边长为2,如图1,连接对角线AC,BD相较于点O,则阴影部分被分为8个相同的弓形,其中每4个弓形的面积都可以看做图2形状,即半径为1的圆减去边长为的正方形的面积,所以题目中的阴影部分面积为,故概率为
故选:D
7、答案：D
解析:取PC的中点O,
由平面ABC,BC在平面ABC内,得,
又,,,
所以平面PAB,从而,
所以AC是的外接圆的直径,
在中,有,
在中,有,故,
故O是三棱锥的外接球的球心,
由三棱锥的体积为6可得:,
故,所以,
所以,故外接球半径,
故三棱锥外接球的表面积为,
故选:D.
8、答案：A
解析:由已知,设OA所在渐近线方程为,
设点,
所以,即,则,
所以线段AB的一个三等分点坐标为,
由于该点在椭圆上,所以,解得.
所以.
所以离心率.
故选:A.
9、答案：D
解析:如图,作出函数和的大致图象.
,得,解得,,
注意到点A是二次函数图象的最低点,
所以若,则当时,单调递减,不符合题意;
当时符合题意;
当时,则,在时函数图象“向下跳跃”,不符合题意;
当时,符合题意.
所以m的取值范围为:或.
故选:D
10、答案：C
解析:据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心,
所以,
即(),
所以;又由得,
即(),
,所以,所以;
由得的单调减区间为(),
所以在上的单调减区间是.
故选:C
11、答案：D
解析:对于选项A,BC交平面于点F,平面,
,AD,,都不与平面平行,
交平面于点E,平面,
,,AB,CD都不与平面平行,
交平面于点,平面,
,,,都不与平面平行,
故A错误;
观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交,
故B错误;
四条体对角线全部与面都相交,
故C错误.
如下图,取AB中点为G,易得,
取CD中点为H,连接BH,易得,
再取CH中点为M,连接FM,则,
,
是平面与正方体底面ABCD的交线,
延长MF,与AB的延长线交于N,连接EN,交于P,
则可得五边形即为平面交正方体的截面,
故D正确;
故选:D.
12、答案：A
解析:易知即为抛物线的焦点,即,设,
当时,上式,取等条件:,
即时,取得最小值
故选:A.
13、答案：480
解析:由抽取样本50人中,男生比女生多10人,可得样本中男生30人,女生20人,男女生比例为,
所以该校高一学生中女生的人数为.
故答案为:480
14、答案：/0.1
解析:由,,得,
所以.
故答案为:
15、答案：
解析:由,得,
,,等号不会同时取得,
,
函数为增函数.
,
函数为奇函数;
故,即,
,可得,
令,则,
且,
当时,,单调递增,此时时,,
当时,,单调递减,此时时,,
所以不等式的解集为.
故答案为:
16、答案：5
解析:因为数列是首项为1,公差为2的等差数列,易知,即①,
当时,,
当时,②
①②得:,满足,所以,又因为
则,,
易知,是关于n的递增函数,
当时,;
当时,,
故答案为:5.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）在中,
由余弦定理得:,所以,
又因为,所以.
（2）由,且,可得,
在中,由正弦定理得,
所以,
因为为锐角三角形,,,
所以,可得,
则,所以,所以,
所以BC的取值范围为.
18、答案：（1）证明见解析;
（2）
解析:（1）连接,交AE于点O,连接OF,由题意,四边形为平行四边形,所以,因为E为中点,,,且相似比为,,又,为,中点,,,又平面AEF,平面AEF,平面AEF.
（2）连接,因为,,所以,,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,则,,,
设平面AEF和平面BEF的法向量分别为,,则,,所以,因为二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
19、答案：（1）0.8186
（2）分布列见解析,,
解析:（1）由频数分布表可知,,
,
所以,,所以.
因为,则,,
所以,
.
（2）从这100名教育工作者中任意选取一名,其答卷得分不低于70分且低于90分的概率为.
由题意知,,则,,
,,
所以Y的分布列为
所以,.
20、答案：（1）;
（2）.
解析:（1）由题意,有,解得,,
所以椭圆C的方程为;
（2）由题意,点E在x轴上方且过点,则直线l的斜率不为0,
设直线l的方程为,,,则,,
由,可得,
,,,
所以,即,
由,,
所以,则直线的方程为,
令,得,所以,
所以,则直线的方程为,
令,得,所以,
所以,
所以.
21、答案：（1）,证明见解析
（2）证明见解析
解析:（1）由题意可得,,,
所以的图象在点处的切线方程为,
设,则,
令,得,单调递减,令,得,单调递增,
所以,所以,当且仅当时取等号,
所以的图象上除点A外的所有点都在这条切线上方.
（2）当时,不等式显然成立.下证当时,不等式成立.
由（1）得当时,,
令,,,则,
即,
所以,
即,所以,
即.
22、答案：（1）;;
（2）.
解析:（1）消去直线l方程中的参数t得,
所以直线l的普通方程;
消去曲线C方程中的参数得曲线C的普通方程:,
将,代入得:,
所以曲线C的极坐标方程是:.
（2）设直线l的极坐标方程为,,,
因,则,即,由消去得:,
于是得:,解得,则,解得,
所以实数k的值为.
23、答案：（1）;
（2）.
解析:（1）当时,
或或
或或
解得
的解集为.
（2）存在使得成立,等价于,
而,
当且仅当时成立,,
则,而,即,
得或,则a的取值范围为.
分组
频数
3
12
72
8
5
合计
100
Y
0
1
2
3
P