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2020-2021学年江苏省扬州市仪征市某校高三（上）11月一模考试2_数学（理）试卷
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这是一份2020-2021学年江苏省扬州市仪征市某校高三（上）11月一模考试2_数学（理）试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=x,y|x2+y2=1，B=x,y|y=2x+1，则集合A∩B中元素的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
2. 若复数z1=1+2i，复数z2=1−i，则|z1z2|= ( )
A.6B.10C.6D.2
3. 已知函数f(x)=x2−2x+m．若p：f(x)有零点；q:0A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 已知角α是第三象限角，则α2终边落在( )
A.第一象限或第二象限B.第二象限或第三象限
C.第二象限或第四象限D.第一象限或第三象限
5. 已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )
A.a=e, b=−1B.a=e, b=1
C.a=e−1, b=1D.a=e−1，b=−1
6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a：b：c=4：3：2，则2sinA−sinBsin2C=( )
A.37B.57C.97D.107
7. 函数y=ln|x|−x2的图象大致为( )
A.B.
C.D.
8. 已知菱形ABCD的边长为4, ∠ABC=60∘，E是BC的中点， DF→=−2AF→，则AE→⋅BF→=( )
A.24B.−7C.−10D.−12
二、多选题
下列说法中，正确的命题是( )
A.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2， PX<4=0.8，则P2B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx，若b=2，x=1，y=3，则a=1
D.若样本数据2x1+1 ，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为2
下列不等式不一定成立的是( )
A.若a>b，则a2>b2B.若a>b>0，则baC.若ab=4，则a+b≥4D.若ac2>bc2，则a>b
函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示，将函数fx的图像向左平移π3个单位长度后得到y=gx的图像，则下列说法正确的是( )
A.函数gx为奇函数
B.函数gx的最小正周期为π
C.函数gx的图像的对称轴为直线x=kπ+π6k∈Z
D.函数gx的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90∘
C.二面角P−BC−A的大小为45∘
D.BD⊥平面PAC
三、填空题
若sinx=−23，则cs2x=________.
已知向量OA→=3，−4，OB→=6，−3，OC→=2m，m+1，若AB→//OC→，则实数m的值为________.
函数f(x)=ax2+(b−2a)x−2b为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(x)>0的解集为________．
函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln2)=2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是________.
四、解答题
已知命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若q:−4
已知向量m→=(−1,csωx+3sinωx)，n→=(f(x),csωx)，其中ω>0，m→⊥n→，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为32π．
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，求sin(α+π4)cs(π+2α)的值．
已知函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1），且f3=1.
(1)求a的值，并写出函数fx的定义域；
(2)设函数gx=f1+x−f1−x，试判断gx的奇偶性，并说明理由；
(3)若不等式ft⋅4x≥f2x−t对任意x∈1,2恒成立，求实数t的取值范围．
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：BE // 平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BCD夹角的余弦值．
中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为"锻炼达标"与性别有关？
(2)在”锻炼达标“的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
①求这10人中，男生、女生各有多少人？
②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
临界值表
已知函数f(x)=lnx+ax2−3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=−2，求函数f(x)的极值；
(2)若a=1时，对于任意x1，x2∈[1, 10]，当x1m(x2−x1)x1x2恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市仪征市某校高三（上）11月一模考试2 数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合中元素的个数
直线与圆的位置关系
交集及其运算
【解析】
利用点到直线的距离公式得到d【解答】
解：∵ 圆x2+y2=1的圆心坐标为O0,0，半径为r=1，
O0,0到直线y=2x+1的距离为d=122+12=55∴ 圆x2+y2=1与直线y=2x+1相交，有两个公共点，
∴ 集合A∩B中元素的个数为2个.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数的模等于模的乘积求解．
【解答】
解：∵ z1=1+2i，z2=1−i，
∴ |z1z2|=|1+2i|⋅|1−i|=5×2=10．
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用判别式大于等于0求得m的范围，然后结合充分必要条件的判定方法得答案．
【解答】
解：函数f(x)=x2−2x+m有零点，
则Δ=4−4m≥0，即m≤1．
∴ p不能推出q，但q能够推出p，
∴ p是q的必要不充分条件．
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
先根据α所在的象限确定α的范围，进而确定α2的范围，进而看当k为偶数和为奇数时所在的象限．
【解答】
解：∵ 解：∵ α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+32π，k∈Z．
当k为偶数时，α2为第二象限角；
当k为奇数时，α2为第四象限角．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：y′=aex+lnx+1,
∵ 曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，
∴ ae+ln1+1=2,
解得a=e−1.
∴ 切线方程为y=2x−1，
解得b=−1.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设a=4k，b=3k，c=2k，根据余弦定理可知：
csC=a2+b2−c22ab=21k224k2=78，
根据正弦定理可知2sinA−sinBsin2C=2a−b2c×csC
=2×4k−3k2×2k×78=107.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
【解析】
【解答】
解：令f(x)=y=ln|x|−x2，
定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，
且f(−x)=ln|x|−x2=f(x)，
所以函数y=ln|x|−x2为偶函数，因此图象关于y轴对称，故排除B，D；
当x>0时，设g(x)=lnx−x2，
g′(x)=1x−2x，
当x∈0,22时，g′(x)=1x−2x>0，
所以g(x)=lnx−x2在(0,22)上单调递增，故排除C.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得AF→=13AD→，BE→=12BC→，AD→=BC→，
所以AE→=AB→+12AD→，
BF→=AF→−AB→=13AD→−AB→.
因为在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，
所以 ∠BAD=120∘.
又因为菱形ABCD的边长为4，
所以AB→⋅AD→=|AB→|⋅|AD→|cs120∘
=4×4×(−12)=−8，
所以AE→⋅BF→=(AB→+12AD→)⋅(13AD→−AB→)
=−|AB→|2−16AB→⋅AD→+16|AD→|2
=−16−16×(−8)+16×16=−12.
故选D.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
正态分布密度曲线
求解线性回归方程
相关系数
极差、方差与标准差
【解析】
由正态分布的性质可判断A，由相关系数的概念可判断B，由回归方程过样本中心x，y可判断C，由方差的性质可判断D.
【解答】
解：对于A选项，随机变量X服从正态分布N2,σ2， PX<4=0.8，
则P2对于B选项，因为线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故B错误；
对于C选项，因为回归方程过样本中Dx,y，所以有3=a+2×1，解得a=1，故C正确；
对于D选项，由方差的性质DaX+b=a2DX，可得，
若样本数据2x1+1 ，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为822=2，故D正确．
故选CD.
【答案】
A,B,C
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
本题考查不等式，考查推理论证能力．
【解答】
解：对于A，当a=−1，b=−2时，a2对于B，ba−b+ma+m=b(a+m)−a(b+m)a(a+m)=(b−a)ma(a+m)，
因为a>b>0，所以b−a<0，
当a+m>0，m<0时，
(b−a)ma(a+m)>0，即ba>b+ma+m，故选项B不一定成立；
对于C，当a=−1，b=−4时，a+b=−5，故选项C不一定成立；
对于D，因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故选项D一定成立．
故选ABC．
【答案】
B,D
【考点】
正弦函数的周期性
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
正弦函数的奇偶性
【解析】
根据函数fx的部分函数图像得到fx=3sin2x−π3，即可得到将函数gx=3sin2x+π3，再结合选项逐一判定即可得解.
【解答】
解：依题意，A=3，3T4=5π12+π3=3π4，
∴ T=π，
∴ ω=2，
∴ fx=3sin2x+φ.
又∵ 函数图像过点5π12,3,
∴ 3=3sin2×5π12+φ，
∴ 5π6+φ=2kπ+π2k∈Z，
∴ φ=2kπ−π3.
又∵ φ<π2，
∴ φ=−π3，
∴ fx=3sin2x−π3.
将函数fx的图象向左平移π3个单位长度，得gx=3sin2x+π3，
显然gx不是奇函数，故A错误；
函数gx=3sin2x+π3的最小正周期T=2π2=π，故B正确；
由2kπ−π2≤2π+π3≤2kπ+π2k∈Z，可得−5π12+kπ≤x≤π12+kπk∈Z，
∴ gx的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z，故D正确．
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
【解答】
解：对于A，如图取AD的中点M，连结PM，BM，
∵ 侧面PAD为正三角形，
∴ PM⊥AD，
又底面ABCD是菱形，且∠DAB=60∘，
∴ 三角形ABD是等边三角形，
∴ AD⊥BM，
∴ AD⊥平面PBM，故A正确，
对于B，∵ AD⊥平面PBM，
∴ AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90∘，故B正确，
对于C，
∵ 底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘,平面PAD⊥平面ABCD，
∴ BM⊥BC，则∠PBM是二面角P−BC−A的平面角，
设AB=1，则BM=32，PM=32，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=PMBM=1，
即∠PBM=45∘，故二面角P−BC−A的大小为45∘，故C正确；
对于D，∵ BD与PA不垂直，
∴ BD与平面PAC不垂直，故D错误.
故选ABC．
三、填空题
【答案】
19
【考点】
二倍角的余弦公式
【解析】
由已知条件利用二倍角的余弦公式计算即可得到结果.
【解答】
解：由二倍角的余弦公式可得：
cs2x=1−2sin2x=1−2−232=1−89=19.
故答案为：19.
【答案】
−3
【考点】
平面向量的坐标运算
平行向量的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 向量OA→=3，−4，OB→=6，−3，
∴ AB→=3，1，OC→=2m，m+1，
由AB→//OC→
可得：3m+3=2m，
解得m=−3．
故答案为：−3.
【答案】
{x|x<−2或x>2}
【考点】
二次函数的性质
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得f(x)为二次函数且对称轴为y轴，
∴ a≠0，−b−2a2a=0，
即b=2a，
∴ f(x)=ax2−4a．
再根据函数在(0,+∞)上单调递增，
可得a>0．
令f(x)=0，求得x=2或x=−2，
故由f(x)>0，可得x<−2或x>2，
故解集为{x|x<−2或x>2}．
故答案为：{x|x<−2或x>2}．
【答案】
(ln2,+∞)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
造函数g(x)=f(x)ex，利用导数可判断g(x)的单调性，再根据f(ln2)＝2，求得g(ln2)＝1，继而求出答案．
【解答】
解：∵ ∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，
∴ f′(x)−f(x)>0，于是有(f(x)ex)′>0，
令g(x)=f(x)ex，则有g(x)在R上单调递增，
∵ 不等式f(x)>ex，
∴ g(x)>1，
∵ f(ln2)=2，
∴ g(ln2)=1，
∴ x>ln2.
故答案为：(ln2,+∞).
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，
∴ m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，
即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，
因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2, +∞).
(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，
设B={m|a−4因为q:−4所以q⇒p，但p推不出q，所以B⫋A，
所以a−4≥2，即a≥6，
所以实数a的取值范围是[6, +∞)．
【考点】
命题的真假判断与应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
(Ⅰ)分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出(x2−x)max，求出m的范围．
(Ⅱ)设p对应集合A，q对应集合B，“q是p的充分不必要条件”即B⫋A，求出a的范围
【解答】
解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，
∴ m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，
即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，
因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2, +∞).
(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，
设B={m|a−4因为q:−4所以q⇒p，但p推不出q，所以B⫋A，
所以a−4≥2，即a≥6，
所以实数a的取值范围是[6, +∞)．
【答案】
解：(1)由题意得m→⋅n→=0，
所以，f(x)=csωx⋅(csωx+3sinωx)
=1+cs2ωx2+3sin2ωx2
=sin(2ωx+π6)+12.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，
所以ω=13.
(2)由(1)知f(x)=sin(23x+π6)+12，
所以f(32α+π2)=sin(α+π2)+12
=csα+12=2326，
解得csα=513.
因为α是第一象限角，故sinα=1213，
所以sin(α+π4)cs(π+2α)=sin(α+π4)−cs2α
=2−2(csα−sinα)=13142.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
数量积判断两个平面向量的垂直关系
三角函数的化简求值
【解析】
（1）利用向量的数量积，而二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简数量积为sin(2ωx+π6)+12，利用周期求出ω的值．
（2）设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，化简方程为csα=513，求出sinα=1213，利用两角和的正弦函数，诱导公式化简sin(α+π4)cs(π+2α)并求出它的值．
【解答】
解：(1)由题意得m→⋅n→=0，
所以，f(x)=csωx⋅(csωx+3sinωx)
=1+cs2ωx2+3sin2ωx2
=sin(2ωx+π6)+12.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，
所以ω=13.
(2)由(1)知f(x)=sin(23x+π6)+12，
所以f(32α+π2)=sin(α+π2)+12
=csα+12=2326，
解得csα=513.
因为α是第一象限角，故sinα=1213，
所以sin(α+π4)cs(π+2α)=sin(α+π4)−cs2α
=2−2(csα−sinα)=13142.
【答案】
解：(1)f3=lga3=1，
故a=3.
fx=lg3x定义域为0,+∞.
(2)gx=f1+x−f1−x，
∴ 1+x>0，1−x>0，
∴ −1g−x=f1−x−f1+x=−gx，
∴ gx为奇函数.
(3)fx=lg3x，
∴ fx是单调递增函数，ft⋅4x≥f2x−t，
∴ t⋅4x≥2x−t>0 ，
∴ t4x+1≥2x，
∴ t≥2x4x+1=12x+12x.
令y=2x+12x, x∈1,2时该函数为增函数，
∴ ymin=2+12=52，
∴t≥152=25.
又∵ 2x−t>0，
∴ t<2xmin=2.
综上t∈[25,2).
【考点】
对数函数的定义域
对数函数的定义
函数奇偶性的判断
函数恒成立问题
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)f3=lga3=1，
故a=3.
fx=lg3x定义域为0,+∞.
(2)gx=f1+x−f1−x，
∴ 1+x>0，1−x>0，
∴ −1g−x=f1−x−f1+x=−gx，
∴ gx为奇函数.
(3)fx=lg3x，
∴ fx是单调递增函数，ft⋅4x≥f2x−t，
∴ t⋅4x≥2x−t>0 ，
∴ t4x+1≥2x，
∴ t≥2x4x+1=12x+12x.
令y=2x+12x, x∈1,2时该函数为增函数，
∴ ymin=2+12=52，
∴t≥152=25.
又∵ 2x−t>0，
∴ t<2xmin=2.
综上t∈[25,2).
【答案】
(1)证明：设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，
AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0, 0, 0)，B(a, 0, 0)，P(0, 0, b)，
C(2a, 2a, 0)，D(0, 2a, 0)，E(a, a, b2)．
BE→=(0,a,b2)，AD→=(0,2a,0)，AP→=(0,0,b)，
∴ BE→=12AD→+12AP→．
又∵ BE⊄平面PAD，
∴ BE // 平面PAD．
(2)解：∵ BE⊥平面PCD，∴ BE⊥PC，即BE→⋅PC→=0．
又∵ PC→=(2a,2a,−b)，
∴ BE→⋅PC→=2a2−b22=0．即b=2a，
在平面BDE和平面BDC中，
BE→=(0,a,a)，BD→=(−a,2a,0)，BC→=(a,2a,0)，
∴ 平面BDE的一个法向量为n1→=(2,1,−1)，
平面BDC的一个法向量为n2→=(0,0,1)，
∴ cs=−16．
∴ 平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为66．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，根据向量的共线关系得到线与线之间的平行关系，得到线与面平行的结论．
（2）根据面面垂直得到线线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出两个字母之间的关系，设出平面的法向量，根据数量积等于0，做出法向量，进而求出面面角．
【解答】
(1)证明：设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，
AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0, 0, 0)，B(a, 0, 0)，P(0, 0, b)，
C(2a, 2a, 0)，D(0, 2a, 0)，E(a, a, b2)．
BE→=(0,a,b2)，AD→=(0,2a,0)，AP→=(0,0,b)，
∴ BE→=12AD→+12AP→．
又∵ BE⊄平面PAD，
∴ BE // 平面PAD．
(2)解：∵ BE⊥平面PCD，∴ BE⊥PC，即BE→⋅PC→=0．
又∵ PC→=(2a,2a,−b)，
∴ BE→⋅PC→=2a2−b22=0．即b=2a，
在平面BDE和平面BDC中，
BE→=(0,a,a)，BD→=(−a,2a,0)，BC→=(a,2a,0)，
∴ 平面BDE的一个法向量为n1→=(2,1,−1)，
平面BDC的一个法向量为n2→=(0,0,1)，
∴ cs=−16．
∴ 平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为66．
【答案】
解：(1)列出列联表
K2=200×(60×20−30×90)2150×50×90×110=20033≈6.061>5.024，
所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
(2)①在“锻炼达标”的50名学生中，男、女生人数比为3:2，
所以用分层抽样的方法抽出10人，男生有10×35=6人，女生有10×25=4人.
②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2
则P(X=0)=C62C102=13，P(X=1)=C61C41C102=815，P(X=2)=C42C102=215，
可得X的分布列为:
所以数学期望E(X)=0×13+1×815+2×215=45.
【考点】
独立性检验的应用
离散型随机变量的期望与方差
分层抽样方法
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)列出列联表
K2=200×(60×20−30×90)2150×50×90×110=20033≈6.061>5.024，
所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
(2)①在“锻炼达标”的50名学生中，男、女生人数比为3:2，
所以用分层抽样的方法抽出10人，男生有10×35=6人，女生有10×25=4人.
②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2
则P(X=0)=C62C102=13，P(X=1)=C61C41C102=815，P(X=2)=C42C102=215，
可得X的分布列为:
所以数学期望E(X)=0×13+1×815+2×215=45.
【答案】
解：(1)函数的定义域(0, +∞)，
f′(x)=1x+2ax−3，f′(1)=2a−2=0可得a=1，
故f(x)=lnx+x2−3x.
令f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=0，
所以x=1或x=12，
当x∈(0,12)时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈(12,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，
当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，
故当x=1时，函数取得极小值f(1)=−2，
当x=12时，函数取得极大值f(12)=−ln2−54.
(2)由f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)x2x1可变为f(x1)−f(x2)>mx1−mx2，
即f(x1)−mx1>f(x2)−mx2，
所以f(x)−mx在[1, 10]上单调递减，
令h(x)=f(x)−mx=lnx+x2−3x−mx，
则h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在x∈[1, 10]上恒成立，
所以m≤−2x3+3x2−x，
令F(x)=−2x3+3x2−x，
则F′(x)=−6x2+6x−1=−6(x−12)2+12<0，
所以F(x)在[1, 10]上单调递减，F(x)min=F(10)=−1710，
故m≤−1710，
故m的取值范围为(−∞, −1710].
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，然后结合导数与单调性的关系可求函数的极值；
（2）由f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)x2x1可得f(x1)−mx1>f(x2)−mx2，构造函数h(x)＝f(x)−mx，结合单调性与导数关系可转化为h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在[1, 10]上恒成立，分离参数后转化为求解函数的范围，结合导数可求．
【解答】
解：(1)函数的定义域(0, +∞)，
f′(x)=1x+2ax−3，f′(1)=2a−2=0可得a=1，
故f(x)=lnx+x2−3x.
令f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=0，
所以x=1或x=12，
当x∈(0,12)时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈(12,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，
当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，
故当x=1时，函数取得极小值f(1)=−2，
当x=12时，函数取得极大值f(12)=−ln2−54.
(2)由f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)x2x1可变为f(x1)−f(x2)>mx1−mx2，
即f(x1)−mx1>f(x2)−mx2，
所以f(x)−mx在[1, 10]上单调递减，
令h(x)=f(x)−mx=lnx+x2−3x−mx，
则h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在x∈[1, 10]上恒成立，
所以m≤−2x3+3x2−x，
令F(x)=−2x3+3x2−x，
则F′(x)=−6x2+6x−1=−6(x−12)2+12<0，
所以F(x)在[1, 10]上单调递减，F(x)min=F(10)=−1710，
故m≤−1710，
故m的取值范围为(−∞, −1710].
1. 已知集合A=x,y|x2+y2=1，B=x,y|y=2x+1，则集合A∩B中元素的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
2. 若复数z1=1+2i，复数z2=1−i，则|z1z2|= ( )
A.6B.10C.6D.2
3. 已知函数f(x)=x2−2x+m．若p：f(x)有零点；q:0
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 已知角α是第三象限角，则α2终边落在( )
A.第一象限或第二象限B.第二象限或第三象限
C.第二象限或第四象限D.第一象限或第三象限
5. 已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )
A.a=e, b=−1B.a=e, b=1
C.a=e−1, b=1D.a=e−1，b=−1
6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a：b：c=4：3：2，则2sinA−sinBsin2C=( )
A.37B.57C.97D.107
7. 函数y=ln|x|−x2的图象大致为( )
A.B.
C.D.
8. 已知菱形ABCD的边长为4, ∠ABC=60∘，E是BC的中点， DF→=−2AF→，则AE→⋅BF→=( )
A.24B.−7C.−10D.−12
二、多选题
下列说法中，正确的命题是( )
A.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2， PX<4=0.8，则P2
C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx，若b=2，x=1，y=3，则a=1
D.若样本数据2x1+1 ，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为2
下列不等式不一定成立的是( )
A.若a>b，则a2>b2B.若a>b>0，则ba
函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示，将函数fx的图像向左平移π3个单位长度后得到y=gx的图像，则下列说法正确的是( )
A.函数gx为奇函数
B.函数gx的最小正周期为π
C.函数gx的图像的对称轴为直线x=kπ+π6k∈Z
D.函数gx的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90∘
C.二面角P−BC−A的大小为45∘
D.BD⊥平面PAC
三、填空题
若sinx=−23，则cs2x=________.
已知向量OA→=3，−4，OB→=6，−3，OC→=2m，m+1，若AB→//OC→，则实数m的值为________.
函数f(x)=ax2+(b−2a)x−2b为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(x)>0的解集为________．
函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln2)=2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是________.
四、解答题
已知命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若q:−4
已知向量m→=(−1,csωx+3sinωx)，n→=(f(x),csωx)，其中ω>0，m→⊥n→，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为32π．
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，求sin(α+π4)cs(π+2α)的值．
已知函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1），且f3=1.
(1)求a的值，并写出函数fx的定义域；
(2)设函数gx=f1+x−f1−x，试判断gx的奇偶性，并说明理由；
(3)若不等式ft⋅4x≥f2x−t对任意x∈1,2恒成立，求实数t的取值范围．
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：BE // 平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BCD夹角的余弦值．
中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为"锻炼达标"与性别有关？
(2)在”锻炼达标“的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
①求这10人中，男生、女生各有多少人？
②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
临界值表
已知函数f(x)=lnx+ax2−3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=−2，求函数f(x)的极值；
(2)若a=1时，对于任意x1，x2∈[1, 10]，当x1
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市仪征市某校高三（上）11月一模考试2 数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合中元素的个数
直线与圆的位置关系
交集及其运算
【解析】
利用点到直线的距离公式得到d
解：∵ 圆x2+y2=1的圆心坐标为O0,0，半径为r=1，
O0,0到直线y=2x+1的距离为d=122+12=55
∴ 集合A∩B中元素的个数为2个.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数的模等于模的乘积求解．
【解答】
解：∵ z1=1+2i，z2=1−i，
∴ |z1z2|=|1+2i|⋅|1−i|=5×2=10．
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用判别式大于等于0求得m的范围，然后结合充分必要条件的判定方法得答案．
【解答】
解：函数f(x)=x2−2x+m有零点，
则Δ=4−4m≥0，即m≤1．
∴ p不能推出q，但q能够推出p，
∴ p是q的必要不充分条件．
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
先根据α所在的象限确定α的范围，进而确定α2的范围，进而看当k为偶数和为奇数时所在的象限．
【解答】
解：∵ 解：∵ α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+32π，k∈Z．
当k为偶数时，α2为第二象限角；
当k为奇数时，α2为第四象限角．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：y′=aex+lnx+1,
∵ 曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，
∴ ae+ln1+1=2,
解得a=e−1.
∴ 切线方程为y=2x−1，
解得b=−1.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设a=4k，b=3k，c=2k，根据余弦定理可知：
csC=a2+b2−c22ab=21k224k2=78，
根据正弦定理可知2sinA−sinBsin2C=2a−b2c×csC
=2×4k−3k2×2k×78=107.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
【解析】
【解答】
解：令f(x)=y=ln|x|−x2，
定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，
且f(−x)=ln|x|−x2=f(x)，
所以函数y=ln|x|−x2为偶函数，因此图象关于y轴对称，故排除B，D；
当x>0时，设g(x)=lnx−x2，
g′(x)=1x−2x，
当x∈0,22时，g′(x)=1x−2x>0，
所以g(x)=lnx−x2在(0,22)上单调递增，故排除C.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得AF→=13AD→，BE→=12BC→，AD→=BC→，
所以AE→=AB→+12AD→，
BF→=AF→−AB→=13AD→−AB→.
因为在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，
所以 ∠BAD=120∘.
又因为菱形ABCD的边长为4，
所以AB→⋅AD→=|AB→|⋅|AD→|cs120∘
=4×4×(−12)=−8，
所以AE→⋅BF→=(AB→+12AD→)⋅(13AD→−AB→)
=−|AB→|2−16AB→⋅AD→+16|AD→|2
=−16−16×(−8)+16×16=−12.
故选D.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
正态分布密度曲线
求解线性回归方程
相关系数
极差、方差与标准差
【解析】
由正态分布的性质可判断A，由相关系数的概念可判断B，由回归方程过样本中心x，y可判断C，由方差的性质可判断D.
【解答】
解：对于A选项，随机变量X服从正态分布N2,σ2， PX<4=0.8，
则P2
对于C选项，因为回归方程过样本中Dx,y，所以有3=a+2×1，解得a=1，故C正确；
对于D选项，由方差的性质DaX+b=a2DX，可得，
若样本数据2x1+1 ，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为822=2，故D正确．
故选CD.
【答案】
A,B,C
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
本题考查不等式，考查推理论证能力．
【解答】
解：对于A，当a=−1，b=−2时，a2
因为a>b>0，所以b−a<0，
当a+m>0，m<0时，
(b−a)ma(a+m)>0，即ba>b+ma+m，故选项B不一定成立；
对于C，当a=−1，b=−4时，a+b=−5，故选项C不一定成立；
对于D，因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故选项D一定成立．
故选ABC．
【答案】
B,D
【考点】
正弦函数的周期性
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
正弦函数的奇偶性
【解析】
根据函数fx的部分函数图像得到fx=3sin2x−π3，即可得到将函数gx=3sin2x+π3，再结合选项逐一判定即可得解.
【解答】
解：依题意，A=3，3T4=5π12+π3=3π4，
∴ T=π，
∴ ω=2，
∴ fx=3sin2x+φ.
又∵ 函数图像过点5π12,3,
∴ 3=3sin2×5π12+φ，
∴ 5π6+φ=2kπ+π2k∈Z，
∴ φ=2kπ−π3.
又∵ φ<π2，
∴ φ=−π3，
∴ fx=3sin2x−π3.
将函数fx的图象向左平移π3个单位长度，得gx=3sin2x+π3，
显然gx不是奇函数，故A错误；
函数gx=3sin2x+π3的最小正周期T=2π2=π，故B正确；
由2kπ−π2≤2π+π3≤2kπ+π2k∈Z，可得−5π12+kπ≤x≤π12+kπk∈Z，
∴ gx的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z，故D正确．
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
【解答】
解：对于A，如图取AD的中点M，连结PM，BM，
∵ 侧面PAD为正三角形，
∴ PM⊥AD，
又底面ABCD是菱形，且∠DAB=60∘，
∴ 三角形ABD是等边三角形，
∴ AD⊥BM，
∴ AD⊥平面PBM，故A正确，
对于B，∵ AD⊥平面PBM，
∴ AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90∘，故B正确，
对于C，
∵ 底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘,平面PAD⊥平面ABCD，
∴ BM⊥BC，则∠PBM是二面角P−BC−A的平面角，
设AB=1，则BM=32，PM=32，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=PMBM=1，
即∠PBM=45∘，故二面角P−BC−A的大小为45∘，故C正确；
对于D，∵ BD与PA不垂直，
∴ BD与平面PAC不垂直，故D错误.
故选ABC．
三、填空题
【答案】
19
【考点】
二倍角的余弦公式
【解析】
由已知条件利用二倍角的余弦公式计算即可得到结果.
【解答】
解：由二倍角的余弦公式可得：
cs2x=1−2sin2x=1−2−232=1−89=19.
故答案为：19.
【答案】
−3
【考点】
平面向量的坐标运算
平行向量的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 向量OA→=3，−4，OB→=6，−3，
∴ AB→=3，1，OC→=2m，m+1，
由AB→//OC→
可得：3m+3=2m，
解得m=−3．
故答案为：−3.
【答案】
{x|x<−2或x>2}
【考点】
二次函数的性质
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得f(x)为二次函数且对称轴为y轴，
∴ a≠0，−b−2a2a=0，
即b=2a，
∴ f(x)=ax2−4a．
再根据函数在(0,+∞)上单调递增，
可得a>0．
令f(x)=0，求得x=2或x=−2，
故由f(x)>0，可得x<−2或x>2，
故解集为{x|x<−2或x>2}．
故答案为：{x|x<−2或x>2}．
【答案】
(ln2,+∞)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
造函数g(x)=f(x)ex，利用导数可判断g(x)的单调性，再根据f(ln2)＝2，求得g(ln2)＝1，继而求出答案．
【解答】
解：∵ ∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，
∴ f′(x)−f(x)>0，于是有(f(x)ex)′>0，
令g(x)=f(x)ex，则有g(x)在R上单调递增，
∵ 不等式f(x)>ex，
∴ g(x)>1，
∵ f(ln2)=2，
∴ g(ln2)=1，
∴ x>ln2.
故答案为：(ln2,+∞).
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，
∴ m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，
即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，
因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2, +∞).
(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，
设B={m|a−4
所以a−4≥2，即a≥6，
所以实数a的取值范围是[6, +∞)．
【考点】
命题的真假判断与应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
(Ⅰ)分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出(x2−x)max，求出m的范围．
(Ⅱ)设p对应集合A，q对应集合B，“q是p的充分不必要条件”即B⫋A，求出a的范围
【解答】
解：(1)由题意命题p：“∀−1≤x≤1，不等式x2−x−m<0成立”是真命题，
∴ m>x2−x在−1≤x≤1恒成立，
即m>(x2−x)max，x∈(−1, 1)，
因为x2−x=(x−12)2−14，所以−14≤x2−x≤2，即m>2，
所以实数m的取值范围是(2, +∞).
(2)由p得，设A={m|m>2}，由q得，
设B={m|a−4
所以a−4≥2，即a≥6，
所以实数a的取值范围是[6, +∞)．
【答案】
解：(1)由题意得m→⋅n→=0，
所以，f(x)=csωx⋅(csωx+3sinωx)
=1+cs2ωx2+3sin2ωx2
=sin(2ωx+π6)+12.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，
所以ω=13.
(2)由(1)知f(x)=sin(23x+π6)+12，
所以f(32α+π2)=sin(α+π2)+12
=csα+12=2326，
解得csα=513.
因为α是第一象限角，故sinα=1213，
所以sin(α+π4)cs(π+2α)=sin(α+π4)−cs2α
=2−2(csα−sinα)=13142.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
数量积判断两个平面向量的垂直关系
三角函数的化简求值
【解析】
（1）利用向量的数量积，而二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简数量积为sin(2ωx+π6)+12，利用周期求出ω的值．
（2）设α是第一象限角，且f(32α+π2)=2326，化简方程为csα=513，求出sinα=1213，利用两角和的正弦函数，诱导公式化简sin(α+π4)cs(π+2α)并求出它的值．
【解答】
解：(1)由题意得m→⋅n→=0，
所以，f(x)=csωx⋅(csωx+3sinωx)
=1+cs2ωx2+3sin2ωx2
=sin(2ωx+π6)+12.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，
所以ω=13.
(2)由(1)知f(x)=sin(23x+π6)+12，
所以f(32α+π2)=sin(α+π2)+12
=csα+12=2326，
解得csα=513.
因为α是第一象限角，故sinα=1213，
所以sin(α+π4)cs(π+2α)=sin(α+π4)−cs2α
=2−2(csα−sinα)=13142.
【答案】
解：(1)f3=lga3=1，
故a=3.
fx=lg3x定义域为0,+∞.
(2)gx=f1+x−f1−x，
∴ 1+x>0，1−x>0，
∴ −1
∴ gx为奇函数.
(3)fx=lg3x，
∴ fx是单调递增函数，ft⋅4x≥f2x−t，
∴ t⋅4x≥2x−t>0 ，
∴ t4x+1≥2x，
∴ t≥2x4x+1=12x+12x.
令y=2x+12x, x∈1,2时该函数为增函数，
∴ ymin=2+12=52，
∴t≥152=25.
又∵ 2x−t>0，
∴ t<2xmin=2.
综上t∈[25,2).
【考点】
对数函数的定义域
对数函数的定义
函数奇偶性的判断
函数恒成立问题
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)f3=lga3=1，
故a=3.
fx=lg3x定义域为0,+∞.
(2)gx=f1+x−f1−x，
∴ 1+x>0，1−x>0，
∴ −1
∴ gx为奇函数.
(3)fx=lg3x，
∴ fx是单调递增函数，ft⋅4x≥f2x−t，
∴ t⋅4x≥2x−t>0 ，
∴ t4x+1≥2x，
∴ t≥2x4x+1=12x+12x.
令y=2x+12x, x∈1,2时该函数为增函数，
∴ ymin=2+12=52，
∴t≥152=25.
又∵ 2x−t>0，
∴ t<2xmin=2.
综上t∈[25,2).
【答案】
(1)证明：设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，
AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0, 0, 0)，B(a, 0, 0)，P(0, 0, b)，
C(2a, 2a, 0)，D(0, 2a, 0)，E(a, a, b2)．
BE→=(0,a,b2)，AD→=(0,2a,0)，AP→=(0,0,b)，
∴ BE→=12AD→+12AP→．
又∵ BE⊄平面PAD，
∴ BE // 平面PAD．
(2)解：∵ BE⊥平面PCD，∴ BE⊥PC，即BE→⋅PC→=0．
又∵ PC→=(2a,2a,−b)，
∴ BE→⋅PC→=2a2−b22=0．即b=2a，
在平面BDE和平面BDC中，
BE→=(0,a,a)，BD→=(−a,2a,0)，BC→=(a,2a,0)，
∴ 平面BDE的一个法向量为n1→=(2,1,−1)，
平面BDC的一个法向量为n2→=(0,0,1)，
∴ cs
∴ 平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为66．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，根据向量的共线关系得到线与线之间的平行关系，得到线与面平行的结论．
（2）根据面面垂直得到线线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出两个字母之间的关系，设出平面的法向量，根据数量积等于0，做出法向量，进而求出面面角．
【解答】
(1)证明：设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，
AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0, 0, 0)，B(a, 0, 0)，P(0, 0, b)，
C(2a, 2a, 0)，D(0, 2a, 0)，E(a, a, b2)．
BE→=(0,a,b2)，AD→=(0,2a,0)，AP→=(0,0,b)，
∴ BE→=12AD→+12AP→．
又∵ BE⊄平面PAD，
∴ BE // 平面PAD．
(2)解：∵ BE⊥平面PCD，∴ BE⊥PC，即BE→⋅PC→=0．
又∵ PC→=(2a,2a,−b)，
∴ BE→⋅PC→=2a2−b22=0．即b=2a，
在平面BDE和平面BDC中，
BE→=(0,a,a)，BD→=(−a,2a,0)，BC→=(a,2a,0)，
∴ 平面BDE的一个法向量为n1→=(2,1,−1)，
平面BDC的一个法向量为n2→=(0,0,1)，
∴ cs
∴ 平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为66．
【答案】
解：(1)列出列联表
K2=200×(60×20−30×90)2150×50×90×110=20033≈6.061>5.024，
所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
(2)①在“锻炼达标”的50名学生中，男、女生人数比为3:2，
所以用分层抽样的方法抽出10人，男生有10×35=6人，女生有10×25=4人.
②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2
则P(X=0)=C62C102=13，P(X=1)=C61C41C102=815，P(X=2)=C42C102=215，
可得X的分布列为:
所以数学期望E(X)=0×13+1×815+2×215=45.
【考点】
独立性检验的应用
离散型随机变量的期望与方差
分层抽样方法
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)列出列联表
K2=200×(60×20−30×90)2150×50×90×110=20033≈6.061>5.024，
所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.
(2)①在“锻炼达标”的50名学生中，男、女生人数比为3:2，
所以用分层抽样的方法抽出10人，男生有10×35=6人，女生有10×25=4人.
②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2
则P(X=0)=C62C102=13，P(X=1)=C61C41C102=815，P(X=2)=C42C102=215，
可得X的分布列为:
所以数学期望E(X)=0×13+1×815+2×215=45.
【答案】
解：(1)函数的定义域(0, +∞)，
f′(x)=1x+2ax−3，f′(1)=2a−2=0可得a=1，
故f(x)=lnx+x2−3x.
令f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=0，
所以x=1或x=12，
当x∈(0,12)时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈(12,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，
当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，
故当x=1时，函数取得极小值f(1)=−2，
当x=12时，函数取得极大值f(12)=−ln2−54.
(2)由f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)x2x1可变为f(x1)−f(x2)>mx1−mx2，
即f(x1)−mx1>f(x2)−mx2，
所以f(x)−mx在[1, 10]上单调递减，
令h(x)=f(x)−mx=lnx+x2−3x−mx，
则h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在x∈[1, 10]上恒成立，
所以m≤−2x3+3x2−x，
令F(x)=−2x3+3x2−x，
则F′(x)=−6x2+6x−1=−6(x−12)2+12<0，
所以F(x)在[1, 10]上单调递减，F(x)min=F(10)=−1710，
故m≤−1710，
故m的取值范围为(−∞, −1710].
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，然后结合导数与单调性的关系可求函数的极值；
（2）由f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)x2x1可得f(x1)−mx1>f(x2)−mx2，构造函数h(x)＝f(x)−mx，结合单调性与导数关系可转化为h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在[1, 10]上恒成立，分离参数后转化为求解函数的范围，结合导数可求．
【解答】
解：(1)函数的定义域(0, +∞)，
f′(x)=1x+2ax−3，f′(1)=2a−2=0可得a=1，
故f(x)=lnx+x2−3x.
令f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=0，
所以x=1或x=12，
当x∈(0,12)时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈(12,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，
当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，
故当x=1时，函数取得极小值f(1)=−2，
当x=12时，函数取得极大值f(12)=−ln2−54.
(2)由f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)x2x1可变为f(x1)−f(x2)>mx1−mx2，
即f(x1)−mx1>f(x2)−mx2，
所以f(x)−mx在[1, 10]上单调递减，
令h(x)=f(x)−mx=lnx+x2−3x−mx，
则h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在x∈[1, 10]上恒成立，
所以m≤−2x3+3x2−x，
令F(x)=−2x3+3x2−x，
则F′(x)=−6x2+6x−1=−6(x−12)2+12<0，
所以F(x)在[1, 10]上单调递减，F(x)min=F(10)=−1710，
故m≤−1710，
故m的取值范围为(−∞, −1710].
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