专练09（解答题-压轴，20题）-2020~2021学年高一数学下学期期末考点必杀黄金200题（北师大2019版）

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2．设，．
（1）求证：是纯虚数；
（2）求的取值范围．
3．设为方程，（）的两个根，，
（1）求的解析式；
（2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值.
4．如图，已知正方形的边长为2，点为正方形内一点.
（1）如图1
（i）求的值；
（ii）求的值；
（2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，且满足，其中，求的最小值.
5．已知向量满足：.
（1）求向量与的夹角；
（2）求.
6．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
7．已知，，向量与向量夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.
8．已知函数.
（1）当时，求函数的取值范围；
（2）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.
9．已知.
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求.
10．已知向量，，其中，函数，若函数图象的两个相邻对称中心的距离为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
11．已知二次函数
（1）若为偶函数，求的值；
（2）判定函数在区间内是否有零点，请说明理由；
（3）已知函数存在最小值，求的最大值.
12．函数，，的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间,上有四个不同零点，求实数的取值范围.
13．已知函数.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.
14．已知向量，．
（1）求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若，，求的值．
15．已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）当，时，设，且关于直线对称，当时，方程恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；
（3）当，，时，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值.
16．如图，在三棱柱中，平面，，，点为棱上的一个动点.
（Ⅰ）当为的中点时，求证：平面；
（Ⅱ）当时，求到平面的距离.
17．如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：平面//平面；
（2）求异面直线与所成角的大小 ．
18．如图，四棱锥中，底面 是正方形，是四棱锥 的高，，点 分别是的中点
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积.
19．如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离．
20．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，点在以为直径的圆上，平面平面，，，平面平面.
（1）证明：直线平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求直线与直线所成角的正弦值.