初一数学寒假讲义 第3讲 方程组巅峰突破——含参方程组.教师版

                                              变形记

考点一、三元一次方程组

解方程组．

【解析】

③+①得，④，

③×2+②得，⑤，

④﹣⑤得，，

将代入⑤得，，，

将，代入①得，，

∴方程组的解为．

【例1】基本的消元思想解决三元一次方程组；

【例2】叠加方法解决问题；

【例3】含有比值的三元一次方程组；

【例4】同解问题；

【例5】含参换元问题；

【例6】含一个参数讨论解的个数；

【例7】含两个参数讨论解的个数；

【例8】整数解问题.

对于多元一次方程组，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：先运用整体法相加或相减得到简易方程．

【例1】         解三元一次方程组：⑴

                                                                 （二中期中）

⑵

【解析】      ⑴ 由得                       

由得                       

由得                            

解得，把代入得                        

所以方程组的解是                       

⑵

【例2】         解下列三元一次方程组：

⑴ ；

⑵ .

【解析】         ⑴ ;     ⑵ .

【例3】         解含有比例的三元一次方程组：

⑴ ;    ⑵ ;     ⑶

【解析】       ⑴ ;              ⑵ .            ⑶

【点评】       对于含有比例的方程组可用设元法，即令然后代入求出．如果比例式不唯一，要把相同的未知数统一成最小公倍数再化成连比式．

若两个二元一次方程组的解相同，则称这两个方程组是同解方程组．

应先分别求出这两个方程组的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系很多，比如相等、互为相反数、多、倍等等．

【例4】         ⑴当______，      时，方程组的解和方程组的解相同．

⑵ 已知方程组和方程组的解相同，求代数式．

⑶ 若关于、的二元一次方程组的解也是方程的解，求的值．

【解析】       ⑴方法一：方程组的解为，把代入中，

得，解得．

方法二：方程组的解为，方程组的解为．

由题意解相同所以：，解得：.

⑵ ，；

⑶ .

【例5】         ⑴ 关于、的方程组，甲正确地解出，乙因把看错了，解得，

求、、的值．

⑵ 三个同学对问题“若方程的解是，求方程组的解．”

提出各自的想法：甲说：“这个题好像条件不够，不能解”；乙说：“它的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为该题目的解应该是__________．

                                                            （北京四中期中）

【解析】       ⑴ ；

⑵ ．提示：把方程组的两个方程的两边都除以，得

令，则得，

由已知得，此方程组的解为 ，即，∴．

方程组的解的情况讨论：（对于方程组的解的存在性问题消元法更具有一般性）

法一：可以写成比的形式，

⑴ 若时，方程组有无穷多组解．

⑵ 若时，方程组无解．

⑶ 若时，方程组有唯一解．

法二：用代入消元法消去一个未知数，写成的形式，再讨论的解的情况．

⑴ 当时，有无穷个解，方程组也有无穷组解．

⑵ 当时，无解，方程组也无解．

⑶ 当时，有唯一解，方程组也有唯一解．

【例6】         为何值时，方程组有无数多组解？无解？唯一一组解？

【分析】用消元法将方程组化为最简形式，利用各种解的情形所应满足的条件建立的关系式．

【解析】       原方程组整理得：，

⑴ 当时，即时，有无穷个解，方程组也有无穷组解．

⑵ 当时，即时，无解，方程组也无解．

⑶ 当，即时，有唯一解，方程组也有唯一解．

【例7】         求，为何值时，方程组的解满足：

①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解．

【解析】       方程组可化为：，

① 当，即时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解；

② 当且，即且时，方程无解，从而原方程组无解；

③ 当且，即且时，方程有无数个解，从而原方程组有无数组解．

【例8】         ⑴(2011年海淀期末考试题)

关于的方程是一元一次方程．若此方程的根为整数，求整数m的值．

⑵（2012年北大附中期中）

当整数        时，方程组的解是正整数.

【解析】       ⑴

⑵      

【备选】(2012年北京四中期中)

⑴当整数为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解．

⑵已知关于、的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是         .

【解析】       ⑴∵，∴，∴，，

⑵、

训练1.     解关于、、的方程组

【解析】      

训练2.     已知关于、的方程组，且与的和是2，求的值．

【解析】       先消，得将、的值代入中，可得

训练3.     求，为何值时，方程组的解满足：

①有唯一一组解；②无解；③有无数组解．

【解析】       方程组可化为：，

① 当，即时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解；

② 当且，即且时，方程无解，从而原方程组无解；

③ 当且，即且时，方程有无数个解，从而原方程组有无数组解．

训练4.     对于实数，，定义一种新运算“”：，其中，，为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，，那么         ．

【解析】       由定义，知．∵，，

设，可得，解得，

故．

题型一  多元一次方程组的解法  课后演练

【演练1】       ⑴ 若是二元一次方程，则　　　　，　　　　．

⑵ 当　　　时，方程组的解中与的值相等．

⑶ 已知代数式与是同类项，那么求、的值．                                                         

【解析】       ⑴ ，．⑵ ．⑶

【演练2】       解方程组：⑴ ⑵   ⑶

【解析】       ⑴         ⑵         ⑶      

题型二  同解方程组  课后演练

【演练3】       ⑴ 已知方程组的解满足，求的值．

⑵ 已知方程组与同解，求的值．

【解析】       ⑴

⑵ 解方程组得，代入方程组解得．

【演练4】       关于，的方程组

⑴ 若的值比的值小，求的值；

⑵ 若方程与方程组的解相同，求的值．

【解析】       ⑴ 解得故，故．

⑵ 即，故．

题型三  含参数的二元一次方程组   课后演练

【演练5】       ⑴ 方程组的解的情形是（   ）

A．有唯一解         B．无解        C．有两解        D．有无数解

⑵ 已知关于的方程组的解是整数，是整数，那么的值为______

【解析】       ⑴ D．

⑵ 由条件得，．

符合条件，得；

符合条件，得．