湖北省蕲春县六校联考2021-2022学年九年级上学期质量检测数学试题（Word版含答案）

数学联考试题

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．四个数0，﹣，2021，中，为无理数的是（　　）

A．0 B．2021 C．﹣ D．

2．新型冠状病毒的直径约为125纳米（1纳米＝1×10﹣9米），125纳米用科学记数法表示为（　　）米．

A．1.25×10﹣11 B．12.5×10﹣8 C．1.25×10﹣8 D．1.25×10﹣7

3．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）

A．30°     B．40°     C．50° D．60°

4．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m＞﹣时，n的取值范围是（　　）

A．＜n＜4 B．＜n＜2 C．＜n＜8 D．＜n＜2

5．下列运算正确的是（　　）

A．3a+2b＝5ab                          B．﹣8a2÷（4a）＝2a 

C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a3

6．五月是水蜜桃盛产的季节，如图是小华前三次购买水蜜桃单价的统计图，第四次买的水蜜桃单价是a元/千克，若这四个单价的中位数恰好也是众数，则a的值是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（　　）

A．2       B．5    C．2 D．3

8．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（　　）

A．7.5       B．7.8         C．9          D．9.6

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为       　．

10．已知m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，则＝　               　．

11．若关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围　       　．

13．在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有　   　个白球．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点D和点E，作直线DE，交AC于点F，若∠A＝15°，AF＝4，则BC的长为　 　．

15．观察下列的“蜂窝图”

             则第2021个图案中的“”的个数是　     　．

16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为　                　．

三．解答题（共8小题，满分72分）

17．(5分)用适当的方法解方程x2﹣5x+6＝0．

18．（8分）如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．

（1）（5分）求证：BD＝CE；

（2）（3分）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．

19．（8分）在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字．其中，红色小球上的数字分别是1，2，3，白色小球上的数字分别是1，2，3，4，这些小球除颜色和数字外，其余完全相同．

（1）（3分）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率；

（2）（5分）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游戏规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数，则小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

20．（9分）（9分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB＝130°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．

（1）（3分)判断△COD的形状，并加以说明理由．

（2）（3分)若AD＝1，OC＝，OA＝时，求α的度数．

（3）（3分)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E。

（1）（5分）求证：DE⊥BC   （2）（5分）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．

22．（10分）某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件运往该地区，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．

（1）（4分）求打包成件的帐篷和食品各多少件？

（2）（4分）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

（3）（2分）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？

23．（10分）某商店销售进价为30元/件的某种商品，在第x天（1≤x≤90）的售价与销量的相关信息如下表：

设销售商品的每天利润为y元．

（1）（3分）求出y与x的函数关系式；

（2）（3分）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）（4分）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（0＜a＜10）给贫困地区，在销售的前50天内该商店当日最大利润为5832元，求a的值．

24．（12分）如图，经过定点A的直线y＝k（x﹣2）+1（k＜0）交抛物线y＝﹣x2+4x于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点．

（1）直接写出点A的坐标；

（2）如图（1），若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值；

（3）如图（2），以AC为直径作⊙E，若⊙E与直线y＝t所截的弦长恒为定值，求t的值．

参考答案

1C 2D  3D  4D  5C  6C  7C  8B   9  y2（x+3）（x﹣3）

10. ﹣              11.﹣1＜a≤0     12.300    13.30   14.2     15.6064      16.

三．解答题（共8小题）

17．17（5分）. x1＝2，x2＝3

18．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：BD＝CE；

（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．

【解答】解：（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴∠B＝∠C＝40°，

∵∠E＝80°，

∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠E，

∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，

∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．

19．在一个不透明的盒子中放入三个红色小球和四个白色小球，每个小球上写有一个数字．其中，红色小球上的数字分别是1，2，3，白色小球上的数字分别是1，2，3，4，这些小球除颜色和数字外，其余完全相同．

（1）从盒子中任意摸出一个小球，求摸出小球上的数字小于3的概率；

（2）现将四个白色小球取出后，放入另外一个不透明的盒子内，此时，小明和小亮做游戏，他俩约定游戏规则：从这两个盒子中各随机摸出一个小球，若小球上的数字之和为奇数，则小明获胜；若和为偶数，则小亮获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

【解答】解：（1）摸出小球上的数字小于3的概率＝；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果，球上的数字之和为奇数的结果数6，所以小明获胜的概率＝＝；

球上的数字之和为奇数的结果数6，所以小亮获胜的概率＝＝；

因为＝，

所以这个游戏规则对双方公平．

20．（9分）.证明：（1）∵△ADC≌△BOC，

∴CO＝CD，

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴∠DCO＝60°，

∴△COD是等边三角形．

（2）∵AD＝1，OC＝，OA＝

∴OA2＝AD2+OC2

∴△AOD是直角三角形

∴∠ADO＝90°

∴α＝90°+60°＝150°

（3）解：∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD＝360°﹣130°﹣∠α﹣60°＝170°﹣∠α，

∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝∠α﹣60°，

∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（∠α﹣60°）﹣（170°﹣∠α）＝70°，

若∠ADO＝∠AOD，即∠α﹣60°＝170°﹣∠α，

解得：∠α＝115°；

若∠ADO＝∠OAD，则∠α﹣60°＝70°，

解得：∠α＝130°；

若∠OAD＝∠AOD，即70°＝170°﹣∠α，

解得：∠α＝100°；

即当α为100°、130°、115°时，△AOD为等腰三角形．

故答案为：（1）略（2）150°，（3）100°、130°、115°

）．

21．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE是⊙O的切线．

（1）求证：DE⊥BC

（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

又∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠DBC，

∴OD∥BE，

∵DE是⊙O的切线

∴OD⊥DE，

∴BE⊥DE

（2）如图，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠FCE＝90°，

又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°，

∴四边形FDEC是矩形，

∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝5．

设⊙O的半径为r，

在Rt△OAF中（r﹣2）2+52＝r2，

∴．

22．某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．

（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？

【解答】解：（1）设食品x件，则帐篷（x+80）件，由题意得：

x+（x+80）＝320，

解得：x＝120．

∴帐篷有120+80＝200件．

答：食品120件，则帐篷200件；

（2）设租用甲种货车a辆，则乙种货车（8﹣a）辆，由题意得：

，

解得：2≤a≤4．

又∵a为整数，

∴a＝2或3或4．

∴乙种货车为：6或5或4．

∴方案共有3种：

方案一：甲车2辆，乙车6辆；

方案二：甲车3辆，乙车5辆；

方案三：甲车4辆，乙车4辆；

（3）3种方案的运费分别为：

方案一：2×2000+6×1800＝14800（元）；

方案二：3×2000+5×1800＝15000（元）；

方案三：4×2000+4×1800＝15200（元）．

∵14800＜15000＜15200

∴方案一运费最少，最少运费是14800元．

23．某商店销售进价为30元/件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

设销售商品的每天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（0＜a＜10）给贫困地区，在销售的前50天内该商店当日最大利润为5832元，求a的值．

【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，

当50≤x≤90时，

y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，

综上所述：y＝；

（2）当1≤x＜50时，

y＝﹣2x2+180x+2000，

y＝﹣2（x﹣45）2+6050．

∴a＝﹣2＜0，

∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，

当x＝45时，y最大＝6050，

当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，

当x＝50时，y最大＝6000，

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

（3）根据题意得，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣a）＝﹣2（x﹣100））（x+10﹣a），

函数的对称轴x＝＝45+a＞45，

在45＜x＜50时，

当x＝45+a时，函数取得最大值，

即y＝﹣2（45+a﹣100）（45+a+10﹣a）＝5832，

即（55﹣a）＝±54，

解得：a＝2（不合题意的值已舍去）；

故a的值为2．

24（12分）.解：（1）∵A为直线y＝k（x﹣2）+1上的定点，

∴A的坐标与k无关，

∴x﹣2＝0，

∴x＝2，此时y＝1，

∴点A的坐标为（2，1）；

（2）∵y＝﹣x2+4x

＝﹣（x﹣2）2+4，

∴顶点D的坐标为（2，4），

∵点A的坐标为（2，1），

∴AD⊥x轴．

如图（1），分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为x1，x2，

∵△ACD的面积是△ABD面积的两倍，

∴CN＝2BM，

∴x2﹣2＝2（2﹣x1），

∴2x1+x2＝6．

联立，得x2+（k﹣4）x﹣2k+1＝0，①

解得x1＝，x2＝，

∴2×+＝6，

化简得：＝﹣3k，

解得k＝﹣．

另解：接上解，由①得x1+x2＝4﹣k，

又由2x1+x2＝6，得x1＝2+k．

∴（2+k）2+（k﹣4）（2+k）﹣2k+1＝0，

解得k＝±．

∵k＜0，

∴k＝﹣；

（3）如图（2），设⊙E与直线y＝t交于点G，H，点C的坐标为（a，﹣a2+4a）．

∵E是AC的中点，

∴将线段AE沿AC方向平移与EC重合，

∴xE﹣xA＝xC﹣xE，yE﹣yA＝yC﹣yE，

∴xE＝（xA+xC），yE＝（yA+yC）．

∴E（1+，）．

分别过点E，A作x轴，y轴的平行线交于点F，在Rt△AEF中，由勾股定理得：

EA2＝+

＝+，

过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，

∴GH＝2PH，EP2＝，

又∵AE＝EH，

∴GH2＝4PH2

＝4（EH2﹣EP2）

＝4（EA2﹣EP2）

＝4[+﹣]

＝4[﹣a+1+﹣（﹣a2+4a+1）+1﹣+t（﹣a2+4a+1）﹣t2]

＝4[（﹣t）a2+（4t﹣5）a+1+t﹣t2]．

∵GH的长为定值，

∴﹣t＝0，且4t﹣5＝0，

∴t＝．

（