专题19 等腰三角形与直角三角形（专项训练）-备战2022年中考数学一轮复习精品课件+专项训练（全国通用）

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专题19  等腰三角形与直角三角形一、单选题1．（2021·宁夏吴忠市·九年级）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠EDA，∴∠EDC=∠DEC，∴CD=CE=AB=6，即BE=BC﹣EC=8﹣6=2．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．2．（2021·四川九年级）如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°【答案】A【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．【详解】根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°=180°，
解可得，x=50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选A．3．（2021·哈尔滨工业大学附属中学校九年级）等腰三角形的一边长为4 cm,另一边长为9 cm,则它的周长为(    )A．13 cm B．17 cm C．22 cm D．17 cm或22 cm【答案】C【详解】试题解析：等腰三角形的一边长为,另一边长为则第三边的长可能是：或构不成三角形.可以构成三角形.周长为： 故选C.4．（2021·辽宁营口·）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【详解】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故选C．考点：圆周角定理．5．（2021·湖北九年级）如图，是半⊙的直径，点是弧的中点，D为弧BC的中点，连接，于点．则（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】连接，，，在上取一点，使得，连接．证明，，可得结论．【详解】解：如图，连接，BC、．∵是直径，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵∴．∵，∴．∴．∴．在上取一点，使得，连接．设，则．∵，∴．∴．∴．∴．故选：C【点睛】本题考查圆圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知上述的定理或推论是解题的基础，根据题目特征，在EA上取点T，构造出两个特殊三角形和是解题的关键．6．（2021·江苏九年级）如图，在等腰中，的面积为3，将沿射线AB方向平移至的位置，连接CE，若，则AB的长为（ ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】过点C作，根据平移的性质以及等边对等角求出，在Rt△BCD中根据30°角所对直角边等于斜边的一半求出CD与AB的关系，即可求解．【详解】解：过点C作，，∵将沿射线AB方向平移至的位置，，∴，∴，∴，∴在Rt△BCD中，，∴，解得，故选：D．【点睛】本题考查平移的性质、30°角的直角三角形性质，掌握平移的性质是解题的关键．7．（2021·黑龙江九年级）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若，则∠ABE的度数为（    ）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】由旋转的性质可得AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠BDA＝70°，由平行线的性质可求∠DAB＝∠ABC＝70°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，∴∠BAD＝∠BDA＝70°，∵ADBC，∴∠DAB＝∠ABC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．8．（2021·山东）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于、两点，连结、．若，则的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质得出∠CAB=40°，再由等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵l1∥l2，∴∠CAB=∠1，∵，∴∠CAB=40°∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，∴AC=AB，∴∠CBA=∠BCA=故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质和等腰三角形的性质，关键是根据平行线的性质得出∠CAB=40°．9．（2021·河南周口·九年级）在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则（    ）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】利用平移作图，构建一个三角形，利用勾股定理判断出是等腰直角三角形，利用等量代换的思想来解答．【详解】解：作如下图形：在的正方形方格中得，，四边形为平行四边形，，,同理利用的正方形方格的性质得，,,不妨设每个小正方形的边长为1；，,为等腰直角三角形，,即，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是：利用平移作图，构建三角形，通过等量代换的思想求解．10．（2021·福建南平市·）如图，平面直角坐标系中，△ABC的边AC=BC=，AB=4 ，且AB⊥x轴于点A，反比例函数的图像经过点C，交AB于点D，当BD=BC时，则k的值等于（   ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】过C作CE⊥AB于E，由AC=BC，可得BE=AE=，在Rt△CEA中，由勾股定理,设C点横坐标为x，点C（x，2），由BC=BD=2.5，可得AD=4-BD=1.5,可求点D（x+1.5，1.5）,由点C、D在反比例函数图像上可得,解得即可．【详解】解:过C作CE⊥AB于E，∵AC=BC，∴BE=AE=，在Rt△CEA中，由勾股定理，设C点横坐标为x，则点C（x，2），∵BC=BD=2.5，∴AD=4-BD=1.5，∴点D（x+1.5，1.5），∵点C、D在反比例函数图像上，∴，解得，∴．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数解析式，等腰三角形的性质，一元一次方程，掌握反比例函数解析式，等腰三角形的性质，一元一次方程解法是解题关键．二、填空题11．（2021·辽宁本溪·）如图，分别过等边的顶点、作直线、，使得，若，则∠2的度数为_____．
 【答案】80°【分析】利用“两直线平行，同旁内角互补”即可计算出∠2的度数．【详解】解：∵是等边三角形，∴∠BAC=60°．∵a∥b，∴∠2+∠BAC+∠1=180°．∴∠2=180°-∠BAC-∠1=180°-60°-40°=80°．故答案为：80°．【点睛】本题考查了平行线的性质和等边三角形的性质等知识点．熟知平行线的性质和等边三角形的性质是解题的关键．12．（2021·浙江）在等腰三角形ABC中，∠B＝30°，若AB＞BC．则∠C＝________．【答案】120°【分析】由题意易得BC=AC，进而可得∠B=∠A，然后问题可求解．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且AB＞BC，∴BC=AC，∴∠B=∠A，∵∠B＝30°，∴∠C＝180°-2∠B=120°，故答案为120°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．（2021·湖北十堰·九年级）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠CBE=69°.则∠C=________°.【答案】23°【分析】设∠C的度数为x，由AB=AC可知∠EAB=2x，根据垂直平分线性质可知∠EBA=∠EAB=2x，∠CBE=∠EBA +∠ABC，即可求解.【详解】解：设∠C的度数为x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=x，∠EAB=2x，∵ED为线段AB的垂直平分线，∴∠EBA=∠EAB=2x，∵∠CBE的度数为69°，∴2x+x=69°，∴∠C=x=23°.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2021·江苏无锡·九年级）菱形的周长为8，它的一个内角为60°，则菱形的较长的对角线长为__________.【答案】【分析】由菱形的性质可得AB=2，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性质可得AO=1，由勾股定理可求BO的长，即可得BD的长．【详解】解：如图所示：∵菱形ABCD的周长为8，∴AB=2，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠ABC=60°，∴∠ABO= ∠ABC=30°，∴AO=1，∴BO= ，∴BD= ,故答案为.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2021·广西河池·）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于_____．【答案】【分析】连接BD，根据菱形ABCD的性质得出AD=AB，再由∠BAD=60°得出△ADB是等边三角形，利用含30°的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可．【详解】解：连接BD，
 
∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，
∴∠AEF=90°，AB=2AE，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴∠FAE=30°，
∴AE=，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴AD=AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AB=2AE=，
∴AC=2AO=×2＝3，
∴菱形ABCD的面积=.
故答案为 .【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△ADB是等边三角形．三、解答题16．（2021·山东九年级）与都是等边三角形，连接AD、BE．（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则______度；（2）将图①中的绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）根据是等边三角形及点B、C、D在同一条直线上即可求解；（2）证明即可求解．【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，∵点B、C、D在同一条直线上，∴，∴（2）∵与都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE +∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在与中，，∴，∴BE=AD．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．17．（2021·山东青岛·九年级专题练习）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆影子恰好落在水平地面和斜坡坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平地面成角，且太阳光线与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆的高度（结果保留根号）．【答案】【分析】延长，交于点，在中，由含30°角的直角三角形的性质求出，得出，再由三角函数求出即可．【详解】解：延长，交于点，如图所示：根据平行线的性质得：，∵在中，，∴，则，在中，，答：旗杆的高度为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出，得出是解决问题的关键．18．（2021·九龙坡·重庆市育才中学）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，作CF⊥BE于F．（1）求证：BF=EF；（2）若AB=6，DE=3，求□ABCD的周长．【答案】（1）详见解析；（2）30【分析】（1）只要证明CB=CE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题； （2）根据CE=CB，求出BC的长即可解决问题；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，∴∠E=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠E=∠CBE，∴CB=CE，∵CF⊥BE，∴BF=EF．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，∵DE=3，∴BC=CE=9，∴平行四边形ABCD的周长为30．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（2021·杭州市采荷中学）如图是一个以线段为直径的半圆，请用圆规和直尺作出一个的角，使这个角的顶点在弧（、两点除外）上．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作线段AB的垂直平分线，得到线段AB的中点O，作等边△EOB，在上任意取一点P，连接AP，PE，∠APE即为所求作．【详解】解：如图，∠APE即为所求作（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是应用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．20．（2021·佛山市华英学校九年级）（1）如图：在中，，，根据图中的作图痕迹可知为的______；（2）在第（1）问的条件下，请完善以下求的过程：作于点，设为，则列方程得：__________解得：______，∴______．【答案】（1）角平分线；（2）x+x=1，-1，-1【分析】（1）根据角平分线的作法判断即可．（2）证明BD=DE，根据BC=1，构建方程求解即可．【详解】解：（1）由作图可知，AD平分∠CAB，故答案为：角平分线；（2）∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是角平分线，∴DC=DE，∴∠AED=90°，∵CA=CB=1，∠C=90°，∴∠B=45°，∴BD=DE，∴x+x=1，∴x=-1，∴tan∠BAD=tan∠CAD=-1，故答案为：x+x=1，-1，-1．【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（2021·哈尔滨市第十七中学校九年级）下面有两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）在图（1）中，画一个面积为5的等腰直角三角形；（2）在图（2）中，画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）作底为，高为的三角形即可．【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△ABC即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22．（2021·西安市铁一中学九年级）如图，四边形中，为上一点，且，求证：．【答案】见详解【分析】根据，可得，再由等腰三角形的性质得到 ，从而，可证，即可求证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴ ，∴，在和 中，∵，，，∴，∴．23．（2021·江苏九年级）如图，网格小正方形的边长都为 ，在中，试利用格点分别画出：边AC上的中线BM、边AB上的高CH，并判断的形状．【答案】见解析，等腰三角形【分析】根据三角形的中线，高的定义作出图形即可，利用勾股定理求出AC，AB，可得AC=AB．【详解】解：如图，△ABC的中线BM，高CH即为所求作．∵，∴AC=AB，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的中线，高，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．