2020-2021学年2.2 直线、平面平行的判定及其性质导学案

直线与平面平行和平面与平面平行

高考要求  

1掌握空间直线和平面的位置关系；

2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化

3掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；

4掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化

知识点归纳

1．直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:，

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．

符号表示为: ．

2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

推理模式：．

3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

推理模式：．

4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．

5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．

6．平行平面的判定定理：  如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．

推理模式：：，，，，．

7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．

推理模式：

．

8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

推理模式：．

9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．

推理模式：．

题型讲解

例1  如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE

证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ

∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ

又NQ= BN=CM=MP，

∴MPQN是平行四边形

∴MN∥PQ，PQ平面BCE

而MN平面BCE，

∴MN∥平面BCE

证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG

∵MG∥BC，BC平面BCE，

MG平面BCE，

∴MG∥平面BCE

又==，

∴GN∥AF∥BE，

同样可证明GN∥平面BCE

又面MG∩NG=G，

∴平面MNG∥平面BCE

又MN平面MNG∴MN∥平面BCE

点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行

例2   如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF∥平面ABCD

证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN

∵BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AB，BB1⊥BC

∴EM∥BB1，FN∥BB1∴EM∥FN

又B1E=C1F，∴EM=FN

故四边形MNFE是平行四边形

∴EF∥MN又MN在平面ABCD中，

∴EF∥平面ABCD

证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则=

∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴=

∴FG∥B1C1∥BC

又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，

∴平面EFG∥平面ABCD而EF在平面EFG中，

∴EF∥平面ABCD

点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行

例3  已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8

（1）求证：直线MN∥平面PBC；

（2）求直线MN与平面ABCD所成的角

（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE

∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND

又∵BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MA

∴MN∥PE

又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC

（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角

设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角

由正棱锥的性质知PO==

由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，

∴BE=

在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，

根据余弦定理，得PE=

在Rt△POE中，PO=，PE=，

∴sin∠PEO==

故MN与平面ABCD所成的角为arcsin

点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易可见平移是求线线角、线面角的重要方法当然，也可以建立坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍

例4  如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点

证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ

∵b∥α，b平面ABN，平面ABN∩α=OQ，

∴b∥OQ又O为AB的中点，

∴Q为AN的中点   

∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ，

∴a∥PQ∴P为MN的中点

点评：本题重点考查直线与平面平行的性质

例5  在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b

（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，

求证：EF∥平面ABC；

（2）求证：A1C1⊥AB；

（3）求点B1到平面ABC1的距离

（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点，

∴EF∥A1C1∵A1C1∥AC，∴EF∥AC

∴EF∥平面ABC

（2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1

又三棱柱为直三棱柱，

∴四边形ABB1A1为正方形连结A1B，则A1B⊥AB1

又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1

∴AB1⊥A1C1

又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1

∴A1C1⊥AB

（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1

∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离

过A1作A1G⊥AC1于点G，

∵AB⊥平面ACC1A1，

∴AB⊥A1G从而A1G⊥平面ABC1，

故A1G即为所求的距离，即A1G=

评述：本题（3）也可用等体积变换法或向量法求解 

例6  如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在直线AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，（0<a<）

⑴求证： MN∥平面CBE

⑵求MN的长度

⑶当a为何值时，MN的长度最小

分析：证明直线与平面平行的基本方法是，

在平面内找一条直线与平面外的已知直线平行

证明（1）：作MP∥AB交BC于P，作NQ∥AB交BE于Q，连结PQ，依题意易证△CMP≌△BNQ，所以MP∥NQ，从而MNPQ是平行四边形，

MN∥PQ，从而得MN∥平面CBE

（2）由（1）知MN=PQ=，

由CM=BN=a,CB=AB=BE=1，得AC=BF=，CP=，BQ=，

 MN=PQ=

（3）由（2）有：MN=

所以，当a=时，MN取最小值（即M，N分别在AC，BF的中点时，MN的长度最小）

另解：（1）建立空间直角坐标系如图，则

M（

∴

又∵平面CBE的一个法向量

 ∴

∴

又点M平面CBE，∥平面CBE

（2）由两点距离公式得

|

例7  如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点，

求证：平面EFG∥平面MNQ

分析：只要证明平面EFG内的两条相交直线EF，FG分别与平面MNQ内的两条直线QN和MQ平行即可

证法一：由已知EF∥AB1，AB1∥DC1，DC1∥QN，

EF∥QN，同理FG∥MQ

所以，面EFG∥MNQ

证法二：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，

则E（0，0，1），F（1，0，2），

G（0，1，2），M（2，1，0），

N（2，2，1），Q（1，2，0）

 =（1，0，1），

=（1，0，1），

=（-1，1，0），

 =，

EF∥QN，FG∥MQ，又EF∩FG=F，QN∩MQ=Q，

所以，平面EFG∥平面MNQ

小结:

1证明两直线平行的常用的方法有（1）定义法，即证两线共面且无公共点（2）证明两直线都与第三条直线平行（3）同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所作直线与第一条直线重合

（4）应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线

2证明直线与平面平行的常用方法有：（1）根据定义，用反证法证明（2）证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行（3）证明直线在与已知平面平行的平面内（4）向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直

    3证明两平面平行的常用方法有：（1）根据定义用反证法证明（2）证明一平面内的两相交直线与另一平面平行（或与另一平面内的两条相交直线平行）（3）证明两平面都垂直于同一条直线

4解题中，要注意灵活地实施下面的转化，使立体几何问题转化为平面几何问题，从而使问题简化

学生练习

1设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是

Aα⊥β且m⊥β    Bα∩β=n且m∥n Cm∥n且n∥α  Dα∥β且mβ

答案：D

2设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面给出下列四个命题，其中正确命题的序号是

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n  ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ 

③若m∥α，n∥α，则m∥n  ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

A①②  B②③    C③④    D①④

解析：①②显然正确③中m与n可能相交或异面④考虑长方体的顶点，α与β可以相交

答案：A

3一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

A异面   B相交   

C平行   D不能确定

解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，

过直线a作与α、β都相交的平面γ，

记α∩γ=b，β∩γ=c，

则a∥b且a∥c，

∴b∥c

又bα，α∩β=l，∴b∥l∴a∥l

答案：C

4两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是

Aa∥α    Ba与α相交  Ca与α不相交 Daα

答案：C

5a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是

A过A有且只有一个平面平行于a、b

B过A至少有一个平面平行于a、b

C过A有无数个平面平行于a、b   

D过A且平行a、b的平面可能不存在

解析：过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′=A

∴a′、b′可确定一个平面，记为α

如果aα，bα，则a∥α，b∥α

由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在

答案：D

6设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=________，②当S不在α、β之间时，SC=_________

解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272

答案：①16  ②272

7设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________

解析：解法类同于上题

答案：

8已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为______

解：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′

设AA′=BB′=x，则AC2=（）2=2x2，

BC2=（）2=4x2

又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（2）2，x=2

答案：2

9在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________

解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==得MN∥AB，

因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD

答案：平面ABC、平面ABD

10已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点

在上面结论中，正确结论的编号是______（写出所有正确结论的编号）

解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；

AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；

DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点

答案：①②④

11如下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD

解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG

∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∴CD⊥PD∴CD∥EG

又AB∥CD，∴EG∥AB

若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，

∴四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF

∵CE==a，△PBC为直角三角形，

∴BC2=CE·CPCP=a，====

故得AF∶FB=2∶1时，EF∥平面PAD

12如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC

分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC

证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得

====

NR=MB

∵NR∥DC∥AB，

∴四边形MNRB是平行四边形∴MN∥RB

又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC

证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，

∵==，∴QM∥PB又NQ∥AD∥BC，

∴平面MQN∥平面PBC∴直线MN∥平面PBC

证法三：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，

依题意有==，

∴=，=+ + =

∴MN∥RB又∵RB平面PBC，

∴直线MN∥平面PBC

13在空间直角坐标系中，已知A（0，0，0） B（a,b,0),  C(a,0,c), E(0,b,0)

F(a,b,c), G(0,0,c),求证：平面ABC∥平面EFG

课前后备注