人教版新课标A2.1.1指数与指数幂的运算学案

2.1.1                第一课时根式教案

【教学目标】

1、通过与初中所学的知识进行类比，理解根式的意义，掌握根式的性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

2、掌握根式的化简，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

【教学重难点】

教学重点：

（1）根式概念的理解。

（2）根式的化简

教学难点：

（1）根式的化简

【教学过程】

一、导入新课

    同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：根式

二、新知探究

1、提出问题

（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

（2）如根据上面的结论我们又能得到什么呢？

（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

（4）可否用一个式子表达呢？

活动：教师指示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题（2）的结论进行引申、推广、相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。

讨论结果：

（1）若，则叫做的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，

如：4的平方根为，负数没有平方根，同理，若，则叫做的立方根，一个数的立方根只有一个。

（2）类比平方根、立方根的定义，得到相应的结果。

（3）类比（2）得到一个数的次方等于，则这个数叫的次方根。

（4）用一个式子表达是，若，则叫做的次方根。

教师板书次方根的意义：一般地，如果，则叫做的次方根，其中。

2、提出问题

（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？教师板书于黑板

①4的平方根；②8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦的立方根。

（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，8，16，-32，32，0，分别对应什么性质的数，有什么特点？

（3）问题（2）中，既然方根有奇次的也有偶次的，数有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

（4）任何一个数的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题（2）中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

讨论结果：（1）因为2的平方等于4，2的立方等于8，2的4次方等于16，2的5次方等于32，-2的5次方等于-32，0的7次方等于0，的立方等于，所以4的平方根，8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，的立方根分别是2，2，2，2，-2，0，。

（2）方根的指数是2，3，4，5，7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

（3）一个数的奇次方根只有一个，一个正数的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0。

（4）任何一个数的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

①当n为偶数时，的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用-表示，正的n次方根与负的n次方根合并写在（>0）。

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时的n次方根和符号表示。

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

活动：让学生举例说明上述几种情况，教师巡视，及时纠正学生在举例过程中的问题.

思考表示的n次方根，等式= 一定成立吗？如果不成立，那么等于什么？

活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和的符号，充分让学生多举例，分组讨论，教师点拨，注意归纳整理.

结论：①n为奇数，= ,②当n为偶数

3、应用示例

例1、求下列各式的值

（1）  ；  ；

解：（1）； ；

点评：不注意n的奇偶对式子的值影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础之上，记准，记熟，会用.

变式训练：

例2、求下列各式的值

拓展提升

问题：与哪个是恒等式，为什么？请举例说明.

活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义.

通过归纳，得出问题结果，对是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，再对是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论.

4、课堂小结

①如果，如果，则叫做的次方根，其中。用式子表示，式子叫根式，其中叫被开方数，n叫根指数.

说明：

（1）              当n为偶数时，的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成(>0)

（2）              n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时的n次方根用符号表示.

（3）              负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.

②掌握两个公式：n为奇数时，，n为偶数时，

【板书设计】

一、活动一

二、活动二

三、例题

例1

变式1

例2

变式2

   【作业布置】 课本习题2.1A组   1

2.1.1                第一课时  根式学案

课前预习学案

一．预习目标

1.通过填写下面知识空白更好理解根式的概念

2.准确把握根式的性质

二．预习内容

1．ｎ次方根的定义：如果＝ａ，那么ｘ叫做　　　　　　．（其中ｎ＞１且）

2．根式：形如　　　　　式子叫根式．这里ｎ叫做　　　，　　　叫做被开

数　　　　　　

3．根式的性质：（１）＝　　　；（２）　＝　　　　；（３）当ｎ是奇数时＝　　　；当是偶数时＝　　　．

三．提出疑惑

通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上　　　　　　                 

课内探究学案

一．学习目标：1.理解n次根式.根式，根指数，被开方数等概念。

              2.理解并记住方根的性质，并能熟练应用于相关计算中

学习重点：

（1）根式概念的理解。

（2）根式的化简

学习难点：

（1）根式的化简

二．课内探究

例１：化简下列根式：

（１）；（２）

（３）

例２：计算：（１），（２）

（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例３：求使等式＝成立的实数的取值范围．

三．当堂检测

１．以下说法正确的是（　　　）

Ａ．正数的ｎ次方根是正数　Ｂ．负数的ｎ次方根是负数

Ｃ．０的ｎ次方根是０　　Ｄ．ａ的ｎ次方根是

２．有意义，则的取值范围是（　　）

Ａ．　Ｂ． 且

Ｃ．　　　　　Ｄ．

３．若

４．若＝－，则　　　　　　．

５．若，则ｎ的取值范围是　　　　　．

                           课后练习与提高

1、当１＜ｘ＜３时，化简的结果是（　）

Ａ．４－２Ｘ　Ｂ．２　Ｃ．２Ｘ－４　Ｄ．４

2、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（     ）

A、1个           B、2个           C、3个           D、4个

3、若有意义，则ｘ的取值范围是（　　）

Ａ．ｘ２　Ｂ．ｘ－２　Ｃ．ｘ－２或ｘ２　Ｄ．ｘＲ

4．某企业生产总值的月平均增长率为，则年平均增长率为                  。

5．若＝３ａ－１，则ａ的取值范围是　　　　　．

6．若ｘ＜２，则的值是　　　　　　．

7．化简　（１）　＋（２）

课后练习答案　1．Ｂ　2．C　3．Ｃ　4．5．　6.－１　

7．（１）　原式＝ａ－１＋＋１－ａ＝ａ－１＋ａ＋１＋１－ａ　＝ａ－１　（２）　因为１－且－１且ａ１所以ａ＝－１，将ａ＝－１代人原式得－．