人教版新课标A2.1.1指数与指数幂的运算第3课时教学设计

第3课时  指数与指数幂的运算(3)

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思路1.

同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.

思路2.

同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.

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新知探究

提出问题

①我们知道=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是的什么近似值？

②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

③你能给上述思想起个名字吗?

④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?

⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?

活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.

问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.

问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.

问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.

问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.

讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于,称的过剩近似值.

②第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5.

第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向逼近5.

从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.

充分表明5是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.

④根据②③我们可以推断5是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义:

一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.

也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.

提出问题

（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?

（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?

（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?

活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.

对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.

对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.

对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.

讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.

（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:

①ar·as=ar+s(a>0,r,s都是无理数).

②(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数).

③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数).

（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.

实数指数幂的运算性质:

对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:

①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).

②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).

③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).

应用示例

思路1

例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）

（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.

活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；

对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;

对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;

对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.

学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.

答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032;

（3）3.1≈2.336;（4）≈6.705.

点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.

例2求值或化简.

(1)(a>0,b>0);

(2)()(a>0,b>0);

(3).

活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.

解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.

点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.

(2)()=aabb=a0b0=.

点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.

(3)

=

=-+2--2+

=0.

点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.

例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值.

活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.

x2=(5-5)2=(5-2·50+5)

=(5+2+5-4)

=(5+5)2-1.

这时应看到

1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,

这样先算出1+x2,再算出,带入即可.

解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,

所以(x+)n=［(5-5)+］n

=［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5.

点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.

思路2

例1计算:(1);

(2)125+()-2+343-();

(3)(-2xy)(3xy)；

(4)(x-y)÷(x-y).

活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.

解：(1)

=()+()+(0.062 5)+1-

=()2×+()+(0.5)+

=++0.5+

=5;

(2)125+()-2+343-()

=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)

=5+2-2×(-1)+7-3

=25+4+7-3=33;

(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)

==-6xy

=;

(4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y)

=(x+y)(x-y)÷(x-y)

=x+y.

点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.

例2化简下列各式:

(1);

(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］.

活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.

解：(1)原式=

=

==;

(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］

====a+a-1.

点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.

知能训练

课本P59习题2.1A组  3.

利用投影仪投射下列补充练习:

1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是(    )

A.(1-2)-1        B.(1-2)-1         C.1-2        D.(1-2)

分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.

因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),

依次类推,所以==(1-2)-1.

答案：A

2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100.

3.计算(a≥1).

解：原式=(a≥1).

本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.

4.设a>0,x=(a-a),则(x+)n的值为_______.

分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到

解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.

这样先算出1+x2,再算出,

将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.

所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n

=［(a-a)+(a+a)］n=a.

答案：a

拓展提升

参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.

活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.

解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.

我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数

21.7,21.72,21.731,21.7319,…,

同样把用2作底数, 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:

21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.

即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.

也就是说是一个实数,=3.321 997 …也可以这样解释:

当3的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近；

当3的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.

所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即≈3.321 997.

课堂小结

(1)无理指数幂的意义.

一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.

(2)实数指数幂的运算性质:

对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:

①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).

②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).

③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).

(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.

作业

课本P60习题2.1 B组  2.

设计感想

无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.