高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念同步训练题

这是一份高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念同步训练题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列四个等式中，能表示y是x的函数的是( )
①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4.
A．①② B．①③
C．②③ D．①④
解析： ①可化为y＝eq \f(1,2)x－1，表示y是x的一次函数．
②可化为y＝eq \f(2,3)x2－eq \f(1,3)，表示y是x的二次函数．
③当x＝5时，y＝2，或y＝－2，不符合唯一性，
故y不是x的函数．
④当x＝2时，y＝±2，故y不是x的函数．
答案： A
2．下列两个函数完全相同的是( )
A．y＝eq \f(x2,x)与y＝x B．y＝eq \r(x2)与y＝x
C．y＝(eq \r(x))2与y＝x D．y＝eq \r(3,x3)与y＝x
解析： A中y＝eq \f(x2,x)的定义域为{x|x≠0}，而y＝x的定义域为R；
C中y＝(eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)，而y＝x的定义域为R，故A、C错；
B中y＝eq \r(x2)＝|x|与y＝x的对应关系不同，所以B错；
D中y＝eq \r(3,x3)＝x与y＝x定义域与对应关系均相同，故D对．
答案： D
3．函数y＝eq \f(1,\r(x＋1)) 的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
解析： 要使函数式有意义，须满足x＋1>0，
∴x>－1，故定义域为(－1，＋∞)．
答案： C
4．y＝2x＋1，x∈N＋，且2≤x≤4，则函数的值域是( )
A．(5,9) B．[5,9]
C．{5,7,9} D．{5,6,7,8,9}
解析：
所以函数的值域为{5,7,9}，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域是________．
解析： ∵f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使eq \f(f2x,x－1)有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x≤2,x－1≠0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤1,x≠1))，
∴0≤x＜1，
∴g(x)的定义域为[0,1)．
答案： [0,1)
6．f(x)＝eq \f(1,1＋x)，g(x)＝x2－1，则f(2)＝______，f(g(2))＝______，f(eq \f(1,a))＝______，f(g(b))＝______.
解析： f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3)，
∵g(2)＝22－1＝3，
∴f[g(2)]＝f(3)＝eq \f(1,1＋3)＝eq \f(1,4).
f(eq \f(1,a))＝eq \f(1,1＋\f(1,a))＝eq \f(a,a＋1)
f(g(b))＝eq \f(1,1＋gb)＝eq \f(1,1＋b2－1)＝eq \f(1,b2)
答案： eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(a,a＋1)，eq \f(1,b2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)若f(x)＝ax2－eq \r(2)，a为一个正的常数，且f(f(eq \r(2)))＝－eq \r(2)，求a的值．
(2)已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq \f(1,4)(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．
解析： (1)∵f(eq \r(2))＝a·(eq \r(2))2－eq \r(2)
＝2a－eq \r(2)，
∴f[f(eq \r(2))]＝a·(2a－eq \r(2))2－eq \r(2)＝－eq \r(2).
∴a(2a－eq \r(2))2＝0.
∵a为一个正的常数，
∴2a－eq \r(2)＝0，∴a＝eq \f(\r(2),2).
(2)∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq \f(1,4)(x2＋3)
∴g(f(x))＝eq \f(1,4)[f2(x)＋3]
＝eq \f(1,4)(2x＋a)2＋eq \f(3,4)
＝x2＋ax＋eq \f(1,4)a2＋eq \f(3,4)
又∵g(f(x))＝x2＋x＋1
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1,\f(1,4)a2＋\f(3,4)＝1))即a＝1
8．已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，
(1)求f(2x＋1)的定义域；
(2)求g(x)＝f(1＋x)＋f(2－x)的定义域．
解析： (1)设2x＋1＝t，由于y＝f(t)的定义域为[1,2]，
∴1≤t≤2,1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤eq \f(1,2).
即f(2x＋1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
(2)要使函数g(x)有意义，须使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x＋1≤2,1≤2－x≤2))
即0≤x≤1
∴函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[0,1]．
eq \x(尖子生题库)☆☆☆
9．(10分)对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)证明：A⊆B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
解析： (1)证明：若A＝∅，则A⊆B，
若A≠∅，对于任意x0∈A，则f(x0)＝x0.
∴f[f(x0)]＝f(x0)＝x0，
∴x0∈B，∴A⊆B.
(2)∵A＝{－1,3}，
∴f(－1)＝－1，且f(3)＝3.
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－12－a＋b＝－1，,32＋3a＋b＝3.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝2，,3a＋b＝－6.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－3.))
∴f(x)＝x2－x－3.
∴f(f(x))＝(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x.
整理得(x2－3)(x2－2x－3)＝0.
∴x＝±eq \r(3)或x＝－1或x＝3.
∴B＝{－eq \r(3)，－1，eq \r(3)，3}．
x
2
3
4
2x＋1
5
7
9