专题20 反函数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）
展开专题20 反函数
（反函数的概念，反函数的图像）
知识梳理
反函数
1、反函数定义
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
2、关于反函数的结论
（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，
（2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上；
（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；
（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如；
（5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ;
（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；
（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；
（8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较；
函数 | 自变量 | 图像 |
x=f(y) | y是自变量 | 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 |
y是自变量 | 和y=f(x)的图像相同 | |
x是自变量 | 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 |
（9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称
3、求反函数的步骤
（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；
（2）反解：由y=(x)解出；
（3）改写：在中，将x,y互换得到；
（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
一、反函数的概念与存在条件
【例1】反函数是 （ ）
. .
. .
【例2】以下函数中，不存在反函数的序号是___________．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
【例3】已知函数的图像关于直线对称，求实数的值.
【例4】若函数存在反函数，则方程 ( )
.有且只有一个实根； .至少有一个实根；
.至多有一个实根； .没有实根.
【例5】若函数的图像经过点，则函数的反函数图像必经过_____.
【例6】函数f(x)= -2ax-3在区间上存在反函数的重要条件是（）
A、 B、
C、 D、
【例7】若函数y=f(x)存在反函数，则下列命题不正确的是（）
A、函数y=f(x)与函数x=f(y)的图像关于直线y=x对称
B、若y=f(x)是奇函数，则y=f-1(x)也是奇函数
C、若y=f(x)在其定义域上是增函数，则y=f-1(x)在上也是增函数
D、函数y=f(x)与函数的图像重合
【例8】下列命题正确的有
（1）偶函数一定没有反函数；(2)奇函数一定有反函数；
（3）单调函数一定存在反函数；（4）存在反函数的函数一定是单调函数；
【例9】，此函数有反函数，则的取值范围
【例10】已知函数，在存在反函数，则的取值范围。
强调：反函数存在的条件；
【巩固训练】
1．已知＝，且的图像的对称中心是0，3，则＝
2．求函数y=+2的反函数定义域。
3．已知y=x+m和y=nx-互为相反数，求m,n的值。
4．点（1，2）即在y=图像上，又在其反函数的图像上，求a与b的值。
6．已知f(x)=-1,求。
二、求函数反函数的问题
【例11】求函数的反函数
【例12】求函数y=-8x+13(x≤4)的反函数
【例13】求函数f(x)=的反函数
【例14】已知函数f(x-1)=-2x+3(x≤0),求
【例15】已知
【例16】已知函数
（1）求的表达式
（2）设，求的最小值及相应的值
（3）若不等式对区间恒成立，求实数的取值范围
【巩固训练】
1．函数y=(x0)的反函数是（ ）
（A）（x0） （B）（x0）
（C）（x0） （D）（x0）
2．若函数是函数的反函数，且，则（ ）。
A． B． C． D．2
3．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则（ ）。
A. B. C. D.
4．已知函数的反函数为，则（ ）。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
5．设a为非零实数，函数（ ）。
A、 B、
C、 D、
6．函数y=+1（x≥1）的反函数是
A.y=x2－2x+2（x＜1） B.y=x2－2x+2（x≥1）
C.y=x2－2x（x＜1） D.y=x2－2x（x≥1）
三、反函数的性质及综合应用
【例17】设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 .
【例18】函数的图像关于点对称，且存在反函数，，则
【例19】已知是方程的根，是方程的根，，判断的大小。
【例20】的反函数为，则的解集
【例21】设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F（x）=f(x)-f(-x),那么必为（）
（A）增函数且奇函数（B）增函数且偶函数
（C）减函数且奇函数（D）减函数且偶函数
【例22】已知f(x)
（1）求f(x)的反函数；
（2）若f(x)= ，求a的值。
（3）如何作出满足（2）中条件的的图像
【例23】设点M（1，2）即在函数f(x)=a+b的图像上，又在它的反函数的图像上。
（1）求
（2）证明在其定义域上是减函数
【例24】给实数设函数
（1）证明：这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形
（2）若函数图像与直线y=x无公共点，求的取值范围
【例25】设y=f(x),y=g(x)的图像与y=的图像关于直线y=x对称，求g(3)的值。
【例26】设定义域为R的函数，都有反函数，并且函数和的图像关于直线对称，若，那么_______________
【例27】已知，求它与反函数的交点坐标
【例28】对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则
【巩固训练】
1．记函数的反函数为y=g(x),则g(10)=( )
(A) 2 (B) -2 (C) 168 (D) 192
2．已知函数的反函数是，则的反函数为
3．定义在上的函数的最小正周期为，若函数时有反函数，则函数的反函数为 （ ）
A． B．
C． D．
4．若函数与其反函数的图像有公共点，求的取值范围。
5．
（1）证明：函数有反函数，并求出反函数
（2）反函数的图像是否经过点（0,1）？反函数的图像与有无交点？
（3）设反函数，求不等式的解集
反思总结
1、函数反函数成立的条件：对值域中任意一个值，在定义域中总有唯一确定的值与它对应，即与必须一一对应;
2、分段函数求反函数：把每一段的反函数分别求出来;
3、若点在图像上，则图像上必有.
课后练习
1.函数y=(x0)的反函数是（）
（A）（x0）（B）（x0）
（C）（x0）（D）（x0）
2.若函数是函数的反函数，且，则（）。
A． B． C． D．2
3.若函数是函数的反函数，其图像经过点，则（）。
A. B. C. D.
4.已知函数的反函数为，则（）。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
5.设为非零实数，函数（）。
A、 B、
C、 D、
6.函数y=－2－3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是
A.a∈（－∞，1］ B.a∈［2，+∞）
C.a∈［1，2］ D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞）
7．函数的反函数是（）
A． B． C． D．
8.若，函数，则使成立的x的取值范围是（）
A． B． C． D．
9.已知集合A＝{x|≤2}，B＝(－∞，)，若A⊆B，则实数的取值范围是
(c，＋∞)，其中c＝________.
10．已知<1，那么的取值范围是__________．
11．方程＋x＝2，＋x＝2,2x＝的根分别为、b、c，则、b、c的大小关系为________．
12.已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=－1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（－8）=______________.
13.已知函数f（x）=的图象关于直线y=x对称，求实数m.
14.已知函数f（x）=+（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），函数f－1（x+）（＞0）的图象经过点（4，2），试求函数的表达式.
15.已知函数f（x）=2（－）（＞0，且≠1）.
（1）求函数y=f（x）的反函数y=；
（2）判定的奇偶性；
（3）解不等式＞1.
16.已知函数=（（x＞1）.
（1）求的反函数；
（2）判定在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1－）＞（－）对∈［，］恒成立，求实数的取值范围.
17．已知函数（为常数），是函数图像上的点．
（1）求实数的值及函数的解析式；
（2）将的图像按向量平移，得到函数的图像，若恒成立，试求实数的取值范围．
