专题10 对数-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题10 对数

（对数的定义，对数的运算性质，对数的换底）

知识梳理

一、对数概念

1.对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

要点诠释：

对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.

2.对数具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即；

(2)1的对数为0，即；

(3)底的对数等于1，即.

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

二、对数的运算法则

已知

(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

推广：

(2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

loga(MN)=logaMlogaN，

loga(M·N)=logaM·logaN，

loga.

三、对数公式

1．对数恒等式：

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:

(1)

令 logaM=b， 则有ab=M，  (ab)n=Mn，即， 即，即:.

(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有

即， 即，即

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

.

例题解析

一、指数式与对数式互化及其应用

例1.将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).

【解析】运用对数的定义进行互化.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

【巩固训练】

【变式1】求下列各式中x的值：

(1)   (2)   (3)lg1000=x   (4)

【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．

【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

(1)；

(2)；

(3)10x=1000=103，于是x=3；

(4)由.

【变式2】计算：并比较．

【答案】2  3  5

【解析】

    ．

二、利用对数恒等式化简求值

例2．求值： 

【答案】35

【解析】.

【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.

【巩固训练】

【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

【答案】

【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

.

三、积、商、幂的对数

例3. 表示下列各式

【解析】（1）；

（2）；

（3）；

（4）=．

【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．

【巩固训练】

【变式1】求值

(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2     (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

【答案】（1）22；（2）1；（3）2．

【解析】(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

       =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式2】（1）已知，则        ．

 （2）已知，求．

【答案】（1）1；（2）

【解析】（1）∵ ，

∴，，

∴．

故答案为：1．

（2），，又，故

  故，又，从而，

  故．

四、换底公式的运用

例4.已知，求．

【答案】

【解析】

解法一：，，

于是．

解法二：，，

于是

解法三：，，

．

解法四：，

又．

令，则，

即

．

【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．

（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．

【巩固训练】

【变式1】求值：(1)；(2)；(3).

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】(1)

      ；

(2)；

(3)法一：

法二：.

五、对数运算法则的应用

例5.（1）计算：

（2）

（3）

（4）若，求x的值．

【思路点拨】（1）（2）（3）利用指数与对数的运算法则即可得出；

（4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出．

【答案】（1）3；（2）0；（3）3；（4）2

【解析】（1）原式

（2）原式=

=

（3）原式=

（4）∵，

∴，

∴

∴ ，

解得x=－1或x=2，

∵x＞0，

∴x=2

【巩固训练】

【变式1】求值：

【答案】2

【解析】

另解：设 =m (m>0).∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ lg2=lgm，    ∴ 2=m，即.

例6．设函数

（1）当a=0.1，求f（1000）的值．

（2）若f（10）=10，求a的值；

【思路点拨】（1）当a=0.1时，，把x=1000代入可求

（2）由，可求，进而可求a

【答案】（1）－14；（2）或

【解析】（1）当a=0.1时，

∴

（2）∵

∴

∴

∴ 或

∴ 或

【巩固训练】

【变式1】若是方程的两个实根，求的值．

【答案】12

【解析】原方程可化为，设，则原方程化为．．

由已知是原方程的两个根，

则，即，

=

=

=．

即．

【随堂检测】

1．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（    ）

A．①③   B．②④   C．①②   D．③④

【答案】C　

【解析】由知①②正确． 

2．下列等式成立的有（    ）

①；②；③；④；⑤；

A．①②  B．①②③　　　　C．②③④ D．①②③④⑤

【答案】B　

【解析】；

3．已知，那么用表示是（    ）

A．           B．          C．      D．

【答案】A　

【解析】原式==，故选A．

4．已知，且，则A的值是（    ）

A．7    B．    C．    D．98

【答案】B

【解析】∵，且，

∴，，

∴，

∴，

解得，

故选B．

5．若，则（     ）

A．         B．          C．       D．

【答案】B

【解析】，因为，所以，故选B．

6．设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有（   ）

A．    B．     C．    D．

【答案】B

【解析】设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k，

∴， 同理，，

而， ∴，即．

7．若是方程的两个实根，则ab的值等于（    ）

 A． 2  B．   C．100  D．

【答案】C

【解析】∵ 是方程的两个实根，

∴ 由韦达定理得：，

∴ ab=100．

故选C．

点评：本题考查对数的运算，由题意得到是解决问题的关键．

8．已知函数满足：当时，；当时，，则=（    ）

A．       B．        C．      D．

【答案】A

【解析】由于，所以，

则

==．

9．已知，则          ．

【答案】4

【解析】因为，

所以，故．

故答案为：4．

点评：本题主要考查指数与对数的运算．指数与对数的运算法则一定要熟练掌握．

10．（1）=        ；

 （2）=         ．

【答案】 （1）-3； （2）4．

11．已知a=0．33，b=30．3， c=log30．3， d=log0．33，则a，b，c，d的大小关系是        ．

【答案】b>a>d>c

【解析】∵0．3>0，3>0，  ∴a=0．33>0， b=30．3>0．

∵3>1，  0<0．3<1，   ∴c=log30．3<0， d=log0．33<0

又∵b=30．3>1，  a=0．33<1，  ∴ b>a

而，  ， ∴d>c．

12．已知，则的值等于        ．

【答案】2008

【解析】

2008 令，则，

，所以．

13．计算：（1）．

（2）若，求．

【答案】（1）（2）1

【解析】（1）原式=

，

故答案为：；

（2）

即

=

14．已知实数x满足且．

（1）求实数x的取值范围；

（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．

14．【答案】（1）2≤x≤4；（2）当，即时，

当或，即x=2或x=4时，．

【解析】（1）由，

解得，

即，

∴，2≤x≤4

（2）因为

当，即时，

当或，即x=2或x=4时，

15．2010年我国国民生产总值为亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍（，精确到1年）？

【答案】9

【解析】设经过年国民生产总值为2010年的2倍

    经过1年，国民生产总值为，

    经过2年，国民生产总值为，

    …

    经过年，国民生产总值为

    ，两边同取常用对数，得

即（年）

答：约经过9年，国民生产总值是2010年的2倍．

【课后练习】

1．下列说法中错误的是（    ）

A．零和负数没有对数　　　　　　　　　　B．任何一个指数式都可化为对数式

C．以10为底的对数叫做常用对数　　　　 D．以e为底的对数叫做自然对数

【答案】B

【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式．

2．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（    ）

A．①③   B．②④   C．①②   D．③④

【答案】C

【解析】由知①②正确． 

3．下列等式成立的有（    ）

①；②；③；④；⑤；

A．①②  B．①②③　　　　C．②③④ D．①②③④⑤

【答案】B

【解析】；

4．对数式中，实数的取值范围是（   ）

A． B．　　　C．    D．

【答案】C

【解析】由对数的定义可知所以且，故选C．

5．若，则下列说法正确的是（    ）

①若，则；②，则；

③，则；④若，则．

A．①③         B．②④         C．②     D．①②③④  

【答案】C

【解析】注意使成立的条件是M、N必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C．

6．若，则=（  ）

 A． 3a  B．    C．a   D．

分析：直接利用对数的性质化简表达式，然后把代入即可．

【答案】A

【解析】

故选A．

7．已知，则（    ）

A．    B．    C．a―2    D．

【答案】D

【解析】∵，

∴，

故选：D．

8．若，则（     ）

A．        B．         C．      D．

【答案】B

【解析】，因为，所以，故选B．

9．计算的结果是（      ）

 A． B． 2 C．  D． 3

【答案】B

【解析】．

故选：B．

10．若，则x=       ．

【答案】-13

【解析】 由指数式与对数式互化，可得，解得．　

11．若        ；

【答案】12

【解析】 ．

12．若，则         ．

【答案】1

【解析】因为所以，又因为所以，所以原式=．

13．设；

    ．

    求m+n的值．

【答案】

【解析】∵，

，

∴．

14．计算下列各式的值：

（1）

（2）．

分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出，

（2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可．

【答案】（1）；（2）－1

【解析】（1），

（2）