专题09 幂与指数（指数幂的拓展）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）
展开专题09 幂与指数（指数幂的拓展）
知识梳理
一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
例题解析
一、根式
例1.计算：（1）；
（2）.
【答案】
【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
【巩固训练】
【变式1】化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）。
二、指数运算、化简、求值
例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂。
=
==
=
=
【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。
【巩固训练】
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）。
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=。
例3.计算：
(1)；
(2)
(3)。
【答案】3；0；2
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
【巩固训练】
【变式1】计算下列各式：
(1)； (2).
【答案】(1)112 （2）
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
例4.化简下列各式.
（1）；
（2）； （3）.
【答案】；；0.09
【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.
（1）原式；
（2）
（3）
【巩固训练】
【变式1】化简
【答案】
【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式
.
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式2】化简下列式子：
(1) (2) (3)
例5．已知，求的值。
【答案】【答案】；；
【解析】(1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)
.
【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。
，，
，
=
=
【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。
【巩固训练】
【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12， xy=9，且x<y，求的值.
【答案】；
【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
(2)
又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又 ∵ x<y， ∴x-y=代入(1)式得:.
【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.
(2)一般不采用分别把x， y， 2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.
【变式2】已知，求及的值．
【答案】；
【解析】∵ ，∴ x＞0，
则，
则，
∵ ，
则，
∴ ，
∴ ．
例6．（1）已知，求的值．
（2）化简
【思路点拨】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可．
（2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可．
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1），
．
（2）
【总结升华】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．
【随堂检测】
1.化简，结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】原式=
=
=
=
2.化简的结果是（ ）
A． a B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选B．
3.若，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】因为，所以，即．同理，又因为，所以，故．
4．化简，结果是（ ）
A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴，∴，
∴
故选D．
5.、、这三个数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，．，．
6. .
【答案】
【解析】原式=.
7．化简的结果是
【答案】
【解析】原式
8.若，则= .
【答案】-23
【解析】原式===4-27=-23.
9.已知，则= .
【答案】
【解析】因为，所以．
10.计算：
（1）；
（2）.
【解析】（1）原式=.
（2）原式=
=
=
=
=
11．计算：
（1）；
（2）已知x+y=12，xy=9，且x＜y，求．
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）原式．
（2）原式
12. 计算：
【解析】原式=
=
=
=0
13.已知.
求证：为定值.
证明：
同理
原式=2，结论得证．
14.（1）化简：；
（2）已知，求的值.
解：（1）原式==+
=
（2）因为，
所以 ，
所以
故当 a>b时， =a-b.当a=b时，=0.当a<b时，.
【课后练习】
1.若，则等于（ ）
A. B. C. D. 非以上答案
【答案】B
【解析】因为，所以，原式==，故选B。
2．若实数a＞0，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选D．
3.计算的结果是（ ）
A.32 B.16 C. 64 D.128
【答案】 A
【解析】，故选A。
4.化简，结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式=
=
=
=
5.等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】=
6.若，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】因为，所以，即。同理，又因为，所以，故。
- 计算= .
【答案】.
【解析】原式=
- 化简= .
【答案】.
【解析】原式=。
9．计算：的结果是 ．
【答案】
【解析】原式．
故答案为：．
10．（1）化简：；
（2）若a＞0，b＞0，化简：．
【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）原式．
（2）原式．
11.计算：
（1）；
（2）.
【解析】（1）原式=.
（2）原式=
=
=
=
=
12.计算下列各式：
（1）
（2）。
【解析】（1）原式．
（2）原式=
=-（）
=0
13. 计算：
【解析】原式=
=
=
=0
14．已知，求的值.
【答案】
【解析】由题意，，所以
原式
