贵州省六盘水市2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试卷（Word版含答案）

这是一份贵州省六盘水市2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试卷（Word版含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年贵州省六盘水市九年级第一学期第三次月考数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。
1．如图，在△ABC中，DE∥AC，BD＝6cm，DA＝3cm，BE＝4cm，则EC的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是（　　）
A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
3．如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．在同一年出生的400名学生中，至少有两人的生日是同一天
B．某种彩票中奖的概率是1%，买100张这种彩票一定会中奖
C．天气预报明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雨
D．抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大
5．已知△ABC∽△DEF且对应中线之比为9：16，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
6．一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（　　）
A．36 B．48 C．70 D．84
7．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（　　）
A．3.2米 B．4.8米 C．5.2米 D．5.6米
8．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其内角是否均为直角
D．测量对角线是否垂直
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（　　）

A． B． C．6 D．
10．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3
11．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB的长为30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC的长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为（　　）

A．90cm B．100cm C．50cm D．30cm
12．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF．若AE＝1，则EF的值为（　　）

A．3 B． C．2 D．4
二、填空题：每小题4分，共16分。
13．一元二次方程3x2﹣6x＝2（x﹣2）的根为 　 　．
14．为了解某校九年级学生每周的零花钱情况，随机抽取了该校100名九年级学生，他们每周的零花钱x（元）统计如表：
组别（元）
0≤x＜30
30≤x＜50
50≤x＜60
x≥60
人数
16
31
33
20
根据以上结果，随机抽取该校一名学生，估计该学生每周的零花钱在60以上（包含60）的概率为 　 　．
15．如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝　 　．

16．如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，若点A的坐标为（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为　 　．

三、解答题：本大题9小题，共98分。
17．如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．

（1）下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是　 　、　 　、　 　；
（2）若大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm，求这个几何体的表面积．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k2+k+1＝0．
（1）证明：原方程有两个不相等的实数根；
（2）若原方程的两实根分别为x1，x2，且（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，求k的值．
19．如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1．

20．网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年9月份的投递任务．
21．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．

22．有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．
（1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如表：
试验次数n（次）
10
100
2000
5000
10000
50000
白色区域次数m（次）
3
34
680
1600
3405
16500
落在白色区域频率
0.30
0.34
0.34
0.32
0.34
0.33
请你利用上述试验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为 　 　（精确到0.01）；
（2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD中点，F为CD上一点，将△DEF沿EF折叠后，点D恰好落到BF上的点G处．
（1）连接BE，求证：BE⊥EF；
（2）求折痕EF的长．

24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

25．综合与实践
问题情境：
如图1，已知点E，F分别在正方形ABCD的边AB，BC上，且BE＝BF，点M为AF的中点，连接CE，BM．

（1）线段CE与BM之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
猜想证明：
（2）如图2，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角均为α（0°＜α＜90°）．点M为线段AF的中点，连接BM，请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
探索发现：
（3）将图1中的线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为α＝90°，点M为线段AF的中点，得到如图3所示的图形，请你判断线段CE与BM之间的数量关系是否发生变化，请说明理由．


参考答案
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分。
1．如图，在△ABC中，DE∥AC，BD＝6cm，DA＝3cm，BE＝4cm，则EC的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后代值计算即可得出EC．
解：∵DE∥AC，
∴＝，
∵BD＝6cm，DA＝3cm，BE＝4cm，
∴＝，
∴EC＝2（cm）．
故选：B．
2．解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是（　　）
A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法
【分析】观察方程的左右两边知，方程两边都有（x﹣1），据此可得答案．
解：解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是因式分解法，
故选：C．
3．如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
解：从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形相邻的梯形的组合图．
故选：C．
4．下列说法正确的是（　　）
A．在同一年出生的400名学生中，至少有两人的生日是同一天
B．某种彩票中奖的概率是1%，买100张这种彩票一定会中奖
C．天气预报明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雨
D．抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大
【分析】根据概率的定义结合具体的问题情境进行判断即可．
解：A．由于1年最多由366天，因此在同一年出生的400名学生中，至少有两人的生日是同一天是正确的，所以选项A符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是1%，即中奖的可能性为1%，但买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C．天气预报明天下雨的概率是50%，说明明天下雨的可能性为50%，并不是明天将有一半的时间在下雨，因此选项C不符合题意；
D．由于图钉的针尖、与针帽着地的可能性不均等，所以抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率不一样大，因此选项D不符合题意；
故选：A．
5．已知△ABC∽△DEF且对应中线之比为9：16，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
解：∵△ABC∽△DEF且对应中线之比为9：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为9：16，
∴△ABC与△DEF的周长之比为9：16，
故选：D．
6．一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（　　）
A．36 B．48 C．70 D．84
【分析】根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.3，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程求解可得．
解：设盒子中红球的个数为x，
根据题意，得：＝0.3，
解得：x＝84，
即盒子中红球的个数为84，
故选：D．
7．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（　　）
A．3.2米 B．4.8米 C．5.2米 D．5.6米
【分析】由成比例关系，列出关系式，代入数据即可求出结果．
解：设旗杆的高为x，有，可得x＝4.8米．
故选：B．
8．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某个合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其内角是否均为直角
D．测量对角线是否垂直
【分析】由矩形的判定和平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项B不符合题意；
C、其内角是否均为直角，能判定矩形，故选项C符合题意；
D、对角线是否垂直，不能判定形状，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（　　）

A． B． C．6 D．
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出OD＝3，则BD＝2OD＝6，再由S△BCD＝CD×BE＝BD×OC，即可求出BE的长．
解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，
∴CD＝AB＝5，OC＝OA＝4，OB＝OD，
∴∠COD＝90°，
∴OD＝＝＝3，
∴BD＝2OD＝6，
∵BE⊥CD，OB＝OD，
∴S△BCD＝CD×BE＝BD×OC，
∴BE＝＝＝，
故选：B．

10．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故选：A．
11．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB的长为30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC的长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为（　　）

A．90cm B．100cm C．50cm D．30cm
【分析】根据题意可证明出△ABC∽△CDB，利用相似三角形的性质解答．
解：∵AB⊥BD，AC⊥AB，
∴AC∥BD．
∴∠ACB＝∠DBC．
∵∠A＝∠BCD＝90°，
∴△ABC∽△CDB．
∴＝，
∴BC2＝AC•BD，
在Rt△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝102+302＝1000，
∴10BD＝1000．
∴BD＝100．
故选：B．
12．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF．若AE＝1，则EF的值为（　　）

A．3 B． C．2 D．4
【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．
解：∵ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE＝CF＝1
∵E是AB中点
∴AB＝BC＝2
∴BF＝3
在Rt△BEF中，EF＝＝
故选：B．
二、填空题：每小题4分，共16分。
13．一元二次方程3x2﹣6x＝2（x﹣2）的根为 　x1＝2，x2＝　．
【分析】方程变形后，左边的多项式分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：方程3x2﹣6x＝2（x﹣2），
变形得：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，即（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
可得x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝．
故答案为：x1＝2，x2＝．
14．为了解某校九年级学生每周的零花钱情况，随机抽取了该校100名九年级学生，他们每周的零花钱x（元）统计如表：
组别（元）
0≤x＜30
30≤x＜50
50≤x＜60
x≥60
人数
16
31
33
20
根据以上结果，随机抽取该校一名学生，估计该学生每周的零花钱在60以上（包含60）的概率为 　0.2　．
【分析】先计算出样本中零花钱不低于60元的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
解：每周的零花钱不低于60元的概率是＝0.2，
故答案为：0.2．
15．如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝　150°　．

【分析】根据作图过程可得△ADP是等边三角形，根据正方形的性质和等边三角形的性质即可求出结果．
解：根据作图过程可知：
AD＝AP＝PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB＝AP，DP＝DC，
∴∠ABP＝∠APB＝∠DPC＝∠DCP＝75°，
∴∠BPC＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°．
故答案为：150°．
16．如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，若点A的坐标为（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为　（﹣4，6）　．

【分析】（1）根据位似图形的概念得到DE∥OP，OD∥BC，AB∥OP，根据相似三角形性质求出BC，进而求出点B的坐标．
解：∵点A的坐标为（0，6），点E的坐标为（2，3），
∴OD＝3，AD＝3，DE＝2，
∵矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，
∴DE∥OP，OD∥BC，AB∥OP，
∵AD＝DO，
∴OP＝AB＝OC，
∵DE∥OP，
∴△ADE∽△AOP，
∴＝，即＝，
解得，OP＝4，
∵OD∥BC，
∴△POD∽△PCB，
∴＝，即＝，
解得，BC＝6，
∴点B的坐标为（﹣4，6），
故答案为：（﹣4，6）．
三、解答题：本大题9小题，共98分。
17．如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．

（1）下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是　③　、　②　、　①　；
（2）若大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm，求这个几何体的表面积．
【分析】（1）根据从上面、左面、正面看到的三视图，可得答案．
（2）依据三视图的面积，即可得到这个几何体的表面积．
解：（1）由题可得，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是③，②，①；
故答案为：③，②，①；
（2）∵大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm，
∴这个几何体的表面积为：2（400+400+400）＝2×1200＝2400（cm2）．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k2+k+1＝0．
（1）证明：原方程有两个不相等的实数根；
（2）若原方程的两实根分别为x1，x2，且（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，求k的值．
【分析】（1）计算判别式得到Δ＝（k﹣2）2+1，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝3、x1x2＝﹣k2+k+1，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2﹣1＝0，即32﹣4（﹣k2+k+1）﹣1＝0，然后解关于k的不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣3）2﹣4（﹣k2+k+1）
＝k2﹣4k+5
＝（k﹣2）2+1，
∵（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2+1＞0，即Δ＞0，
∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝3、x1x2＝﹣k2+k+1，
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，
∴（x1﹣x2）2﹣4＝﹣3，
（x1+x2）2﹣4x1x2﹣1＝0，
即32﹣4（﹣k2+k+1）﹣1＝0，
整理得k2﹣4k+4＝0，解得k1＝k2＝2，
即k的值为2．
19．如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1．

【分析】根据四边形的内角和等于360°求出∠D，再根据相似多边形的对应角相等可得∠D1＝∠D，再根据相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
解：∵∠C＝125°，∠A＝80°，∠B＝75°，
∴∠D＝360°﹣125°﹣80°﹣75°＝80°，
∵两个四边形相似，
∴∠D1＝∠D＝80°，
，
解得x＝10．
20．网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年9月份的投递任务．
【分析】（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据该快递公司今年6月份及8月份投递的快递件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用今年9月份需投递的快递件数＝今年8月份投递的快递件数×（1+增长率）可求出今年9月份需投递的快递件数，利用最多可投递快递数量＝每个快递小哥平均每月最多可投递快递件数×16可求出该公司最多可投递快递数量，将其与今年9月份需投递的快递件数比较后即可得出结论．
解：（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，
依题意，得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），
0.8×16＝12.8（万件）．
∵13.31＞12.8，
∴在不增加人手的情况下，该公司不能完成今年9月份的投递任务．
21．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD＝∠ADB，证出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝3，再由三角函数即可得出AD的长．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠CBD，
又∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
同理：AB＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝3，
∵∠ADB＝30°，
∴cos∠ADB＝＝，
∴AD＝＝2．
22．有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．
（1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如表：
试验次数n（次）
10
100
2000
5000
10000
50000
白色区域次数m（次）
3
34
680
1600
3405
16500
落在白色区域频率
0.30
0.34
0.34
0.32
0.34
0.33
请你利用上述试验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为 　0.33　（精确到0.01）；
（2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
【分析】（1）根据表格数据可得，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率；
（2）根据白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1，黑2，画出树状图即可求出指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
解：（1）根据表格数据可知：
估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为0.33．
故答案为：0.33；

（2）∵白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，
∴设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1，黑2，
画树状图如下：

从树状图可知：
共有9种等可能的结果，
其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种，
∵P（一白一黑）＝．
答：指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD中点，F为CD上一点，将△DEF沿EF折叠后，点D恰好落到BF上的点G处．
（1）连接BE，求证：BE⊥EF；
（2）求折痕EF的长．

【分析】（1）连接BE，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEB＝90°，
（2）证△FEB∽△EDF，利用相似的性质即可求出EF的长度．
【解答】证明：（1）连接EB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝4，DC＝AB＝3，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝2，
由翻折知，△DEF≌△GEF，
∴DE＝GE＝2，∠DEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EGB＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EB平分∠AEG，
∴∠AEB＝∠BEG，
∴∠BEF＝∠BEG+∠FEG＝×180°＝90°，
∴BE⊥EF，
（2）∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝∠D＝90°，
又∵∠ABE＝∠EBF，
∴△BEF∽△BAE，
∴，
∵BE＝，
∴，
∴FE＝．
24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
25．综合与实践
问题情境：
如图1，已知点E，F分别在正方形ABCD的边AB，BC上，且BE＝BF，点M为AF的中点，连接CE，BM．

（1）线段CE与BM之间的数量关系是　CE＝2BM　，位置关系是　CE⊥BM　．
猜想证明：
（2）如图2，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角均为α（0°＜α＜90°）．点M为线段AF的中点，连接BM，请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
探索发现：
（3）将图1中的线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为α＝90°，点M为线段AF的中点，得到如图3所示的图形，请你判断线段CE与BM之间的数量关系是否发生变化，请说明理由．
【分析】（1）结论：CE＝2BM，CE⊥BM．只要证明△ABF≌△CBE，推出AF＝CE，∠BAF＝∠ECB，由AM＝MF，推出BM＝AF＝EC，推出EC＝2BM，∠MAB＝∠MBA＝∠ECB，于∠ABM+∠CBM＝90°即可推出∠ECB+∠CBM＝90°得出结论．
（2）结论：（1）中的两个结论仍然成立．如图2中，延长AB到N，使得BN＝AB，连接NF．只要证明△EBC≌△FBN，即可解决问题．
（3）结论：线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．方法一：代数法证明．方法二：如图3中，连接AC延长EF交AC于G，连接MG，过G作GH⊥CE于H，理由等腰直角三角形的判定和性质证明即可．
解：（1）结论：CE＝2BM，CE⊥BM．
理由：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∵∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF＝CE，∠BAF＝∠ECB，
∵AM＝MF，
∴BM＝AF＝EC，
∴EC＝2BM，
∴∠MAB＝∠MBA＝∠ECB，
∵∠ABM+∠CBM＝90°
∴∠ECB+∠CBM＝90°，
∴BM⊥CE，
故答案为CE＝2BM，CE⊥BM．

（2）结论：（1）中的两个结论仍然成立．
理由：如图2中，延长AB到N，使得BN＝AB，连接NF．

∵M为AF中点，B为AN中点，
∴NF＝2BM，
∵∠EBF＝∠NBC＝90°，
∴∠EBC＝∠NBF，
∵BE＝BF，BC＝BN，
∴△EBC≌△FBN，
∴EC＝BF，
∴CE＝2BM，
∵BM∥FN，
∴∠MBA＝∠N，
∵∠ECB＝∠N，
∴∠MBA＝∠ECB，
∵∠MBA+∠CBM＝90°，
∴∠ECB+∠CBM＝90°，
∴CE⊥BM．

（3）结论：线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．
理由：方法一：设AB＝BC＝a，BE＝BF＝b，则EC＝a+b，
∵M为AF中点，
∴MF＝（a﹣b），
∴BM＝b+（a﹣b）＝（a+b），
∴CE＝2BM．
方法二：如图3中，连接AC延长EF交AC于G，连接MG，过G作GH⊥CE于H，

∵BC＝BA，BF＝BE，∥ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ACB＝∠E＝∠BAC＝∠AFG＝∠EFB＝45°，
∴CG＝EG，AG＝FG，∠CGE＝90°，
∴EH＝CH，
∴CE＝2GH，
∵M为AF中点，
∴GM⊥AF，∠GMB＝∠ABC＝∠GHB＝90°，
∴四边形BHGM是矩形，
∴BM＝GH，
∴CE＝2BM．