广东省佛山市禅城区华英中学2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷（Word版含答案）

2021-2022学年广东省佛山市禅城区华英中学九年级（上）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则它的左视图是

A. B. C. D.

2. 小明从家到学校公里，那么小明骑车时间与平均速度之间的函数关系式是

A.  B.  C.  D.

3. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线为

A.  B.
C.  D.

4. 在中，，、、的对边分别是、、当已知和时，求，应选择的关系式是

A.  B.  C.  D.  

5. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：

根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时，的值是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，，下列线段比值等于的是

A.   B.    C.    D.

7. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集为

A. 或   B. 或
C. 或   D. 或

9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论正确的有个．
    ；；是任意实数；；．

A.    B.
C.    D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 函数中，当时，随的增大而______填“增大”或“减小”
12. 发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则第______秒时，炮弹位置达到最高．
13. 点、在反比例函数图象上，则______填“”或“”号．
14. 如图，在直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为：，已知，则它对应点的坐标是______．

15. 将进货单价为元的某种商品按零售价元售出时，每天能卖出个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价元，其日销售量就增加个．设单价降价元，则每天的利润与的关系式是：______；最大利润为______元．
16. 如图，平行四边形的边在轴上，点、分别，的图象上，若平行四边形的面积是，则的值为______．
    
17. 在直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到第二次旋转后得到，，以此类推，则点的坐标为______．
    

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

18. 年国庆节前夕，全球最长跨海大桥港珠澳大桥主体桥梁工程贯通，大桥连接香港，澳门，珠海三地，总长千米大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图是从图引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为米，两拉索底端距离为米，请求出立柱的长结果精确到米，．

四、解答题（本大题共7小题，共56分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为，过的中点建立如图所示的直角坐标系．
    求抛物线的表达式；
    要在隧道入口顶部的抛物线上，左右对称地安装两个摄像头，使得这两个摄像头与地面距离相同，并且这两个摄像头之间的距离为米，求摄像头距离地面的距离．

21. 小明周末到公园里散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树和一座景观塔如图，假设小明行走到处时正好透过树顶看到景观塔的第层顶端处，此时他的视角为，已知树高米，景观塔共层塔顶高度和小明的身高忽略不计，每层米．
    当小明向前走到点处时，刚好看不到景观塔，请在图中作出点，不必写作法；
    请问，小明再向前走多少米刚好看不到景观塔？结果保留根号

22. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示．
    求反比例函数的关系式，并求点对应的指标值；
    张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由．

23. 在中，它的边，高．
    如图，正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问正方形的边长是多少？
    如图，点、分别在，上，且，点为上一点，连接、，则当______时，的面积最大值______．

24. 如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线翻折，得到．
    如图，当平分时，求的长；
    如图，当是的中点时，连接，求的值；
    连接，当时，求的面积．

25. 直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．
    求抛物线的解析式；
    如图，若点为直线上方的抛物线上的一动点，求四边形的面积的最大值；
    如图，为抛物线上的一点，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点，是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由路程速度时间可得，
，
故选：．
由路程、速度、时间的关系式可得．
本题考查函数关系式；熟练掌握路程、速度、时间的关系式是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据抛物线的平移规律，抛物线  向右平移个单位，
得：，
再向上平移个单位后，
得：整理得：，
故选：．
直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图，已知和，求，
，
．
故选A．
作出图形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，作出图形更形象直观．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，时的函数值相等，
二次函数图象的对称轴为直线，
，
时的函数值与时的函数值相同，
时的函数值为．
故选：．
根据图表数据可知二次函数图象的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相同，从而得解．
本题考查了二次函数图象的对称性，根据表中数据得到函数的对称轴为直线是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
．
在中，
，
在中，
，
在中，
，
故选：．
先根据互余关系，求出与相等的角，再利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：抛物线的解析式为，
该抛物线的对称轴为轴，
当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
当时，函数值的取值范围是．
故选：．
由二次函数的增减性即可得出答案．
本题主要考查二次函数的增减性，关键是要确定出抛物线顶点的位置．
 

8.【答案】
 

【解析】解：观察图象，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
故不等式的解集为或，
故选：．
根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：当，则，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在轴负半轴上；
时，则，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在轴正半轴上；
故选项B符合题意；
故选：．
先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：先根据图象的特点判断取值是否矛盾；根据二次函数图象判断抛物线与轴的交点是否符合要求．
 

10.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴左侧，
，同号，即，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误，不符合题意．
由图象可得时，，
，错误，不符合题意．
时，取最大值，
，
，
当时，，
正确，符合题意．
对称轴为直线，
，
，
，错误，不符合题意．
时，，时，，
，，
，即，
正确，符合题意
故选：．
通过抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可判断，根据时，可判断，由时取最大值看判断，由对称轴可得，再根据可判断，由时，，时，可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】减小
 

【解析】解：函数，
该函数图象开口向下，
当时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到时，随的增大而减小．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

12.【答案】
 

【解析】解：此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是直线，
炮弹位置达到最高时，时间是第秒．
故答案为：．
求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线的对称轴．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
．
反比例函数图象在第一、三象限内，在每一象限内随的增大而减小．
，
．
故答案为：．
利用非负数的意义得出反比例函数的比例系数为正，利用反比例函数的性质解答即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，利用非负数的意义得出反比例函数的比例系数为正是解题的关键．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：与位似，位似中心是原点，与的相似比为：，，
它对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】 
 

【解析】解：设应降价元，销售量为个，
根据题意得：

，
，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：；．
先根据利润单件利润销量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式．
 

16.【答案】
 

【解析】解：过点作轴，过点作轴，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形，
平行四边形的面积是，
，
又，
．
故答案为：．
首先把平行四边形转化为矩形，然后根据的几何意义求解．
本题考查了反比例函数的几何意义，平行四边形的性质．把平行四边形转化为矩形是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由已知可得：
第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，

如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴，而，
在第四象限，且，示意图如下：

，，
，
故答案为：
每旋转次，的对应点又回到轴正半轴，故A在第四象限，且，画出示意图，即可得到答案．
本题考查旋转变换，涉及等边三角形、的直角三角形等知识，解题的关键是确定所在的象限．
 

18.【答案】解：设米，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
米．
答：立柱的长约为米．
 

【解析】设米，由三角函数得出，得出，求出，由得出方程，解方程求出，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出和是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：原式



．
 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

20.【答案】解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
设此抛物线的解析式为，
，
解得，，
此抛物线的解析式为；
这两个摄像头之间的距离为米，
当时，，
摄像头距离地面的距离为米．
 

【解析】根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为，再有条件求出的值即可；
令，代入解析式求函数值即可．
本题考查了二次函数的应用，关键是根据条件求求抛物线解析式．
 

21.【答案】解：如图，点即为所求．


由题意得，米，米，
在中，
，米，
米，
在中，
，米，
米，
米，
，
∽，
，
设米，则米，
，
解得，，
米，
答：小明再向前走米刚好看不到景观塔．
 

【解析】连接并延长交于点．
利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质进行解答即可．
本题考查直角三角形的边角关系，相似三角形的判断和性质，连接和掌握直角三角形的边角关系、相似三角形的性质是解决问题的前提．
 

22.【答案】解：设反比例函数的关系式为，
由图知，反比例函数过点，
代入解析式得，
解得，
反比例函数的关系式为，
当时，，
故A点对应的指标值为；
不能，理由如下：
由图知学生的注意力指标最高为，
故注意力指标达不到．
 

【解析】设出反比例函数的解析式，根据图中数据用待定系数法求解析式即可；
无论怎么安排都做不到，由图知学生的注意力指标最高为．
本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：四边形为正方形，
，
，，
∽，
，
，
设正方形的边长为，
，，
，
解得：，
正方形的边长是；
，
，，
∽，
，
，
设，
，
，



，
当时，有最大值为，
故答案为：，．
先证明∽，利用相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
设，先证明∽，根据相似三角形的性质用表示的长，进而用表示的面积，最后利用二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键．
 

24.【答案】解：由折叠的性质得≌，
，
平分，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
如图，连接交于，

将沿直线翻折，得到，
，，
，，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，延长交点，连接，

四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得，≌，
，，，
，
，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】由折叠的性质得≌，根据全等三角形性质及角平分线概念得，再由矩形性质可得答案；
如图，连接交于，根据折叠的性质得到，，求得，，推出，根据等腰三角形的性质和三角形的面积和定理得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义即可得到结论；
延长交的延长线于点，由矩形性质及折叠性质可得，设，则，根据勾股定理及三角形面积公式可得答案．
本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，
 

25.【答案】解：当时，，当时，，
，，
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
如图，连接，

设，
点为直线上方的抛物线上的一动点，
，，
，，
，

，

当时，四边形取得面积最大值为；
令，则，
解得：或，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
，
，
当时，，
，
以点，，，为顶点的四边形是正方形，
分两种情况讨论：
如图、图，当时，点在上，点在上，

点在抛物线上，
或，
当时，，
，

的中点为，则的中点也为，
，
此时与轴重合，不符合与轴平行，
不符合题意；
当时，，
，

的中点为，则的中点也为，
；
如图、图，当时，此时轴，

令，则，
解得：，
或，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，点的坐标为或或
 

【解析】由直线与轴相交于点，与轴相交于点，取得、点的坐标，把、点的坐标代入取得、的值，即可求出抛物线的解析式；
连接，设，由得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的最值即可求出四边形的面积的最大值；
分和两种情况分类讨论，即可求出点的坐标．
本题考查了二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键．