2013-2014学年高中数学 3.3.2《均匀随机数的产生》目标导学 新人教A版必修3教案

3．3.2　均匀随机数的产生

1．了解均匀随机数产生的方法与意义．

2．会利用随机模拟试验估计几何概型的概率．

均匀随机数

(1)产生方法：方法一，利用几何概型产生；方法二，用转盘产生；方法三，用______或______产生．

(2)应用：利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估计______的概率．

【做一做】 下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是 (　　)

A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果

B．旋转的次数越多，估计的结果越精确

C．旋转时可以按规律旋转

D．转盘的半径越大，估计的结果越精确

答案：(1)计算机　计算器　(2)几何概型

【做一做】 B　旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C项不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D项不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以B项正确，A项不正确．

1．均匀随机数的产生

剖析：产生均匀随机数和产生整数随机数的办法基本相同，都可以采用计算器和Excel软件产生，只是具体操作时所用的函数略有不同．下面以产生[0,1]之间的均匀随机数为例来说明这种随机数的产生方法．

(1)计算器法．

比如我们要产生[0,1]之间的均匀随机数，具体操作如下：

(2)计算机法．

比如首先打开Excel软件，在想要产生随机数的第一个单元格中输入“＝rand()”，再按Enter键，这时就在此单元格中产生了一个[0,1]之间的均匀随机数，选中此单元格“复制”，再点选其他单元格中的一个，拖动鼠标直到最后一个单元格，执行“粘贴”操作，这时就得到了若干个[0,1]之间的均匀随机数．

2．产生[a，b]范围的均匀随机数

剖析：我们知道rand()函数可以产生[0,1]范围内的均匀随机数，但事实上我们需要用到的随机数的范围是各种各样的，下面就介绍如何将[0,1]范围内的随机数转化为[a，b]之间的随机数．

初探：先利用计算器或计算机产生[0,1]内的均匀随机数a1，因为0≤a1≤1，且b－a＞0，所以0≤a1(b－a)≤b－a，∴a≤a1(b－a)＋a≤b.

探究结果：rand()*(b－a)＋a表示[a，b]之间的均匀随机数．

特例：若0≤a1≤1，则－0.5≤a1－0.5≤0.5，即－1≤2(a1－0.5)≤1.所以当我们需要[－1,1]范围内的均匀随机数时，可以采用(rand()－0.5) 2，也可以采用2rand()－1来产生．

题型一  估计几何概型的概率

【例题1】 在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．

分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12 cm长的线段上取一点M，求使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概率．

反思：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率．

题型二  估计不规则图形的面积

【例题2】 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．

分析：在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．

反思：利用随机模拟方法估计图形面积的步骤是：①把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示；②利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P (A)＝；③设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，则所求图形面积的近似值为S′.

答案：

【例题1】 解：步骤：(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND．

(2)经过伸缩变换，a＝12a1得到[0,12]内的均匀随机数．

(3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数的个数N1.

(4)计算频率.

记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}＝{边长介于6 cm与9 cm之间}，则P(A)的近似值为.

【例题2】 解：步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND．

(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数．

(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b＜2a的点(a，b)的个数]．

(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．

(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，

则＝.

故S＝，即阴影部分面积的近似值为.

1．用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1,3]上，则需要经过的变换是(　　)

A．y＝3x－1    B．y＝3x＋1   C．y＝4x＋1    D．y＝4x－1

2．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．

3．利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．

步骤是：(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

(2)进行伸缩变换a＝2a1，b＝8b1；

(3)数出落在阴影内的样本点数N1(满足b＜a3的点(a，b)的个数)，用几何概型公式计算阴影部分的面积．

例如，做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝250.

由≈，得S阴影≈________.

4．取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟方法求出剪得两段的长都不小于1 m的概率．

5．如图所示，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率．

答案：1．D

2．[－6，－3]　0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．

3．4　S阴影≈·S矩＝×2×8＝4.

4．分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且[0,3]内的每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得的两段长都不小于1 m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件A发生的频率．

解：设剪得两段的长都不小于1 m为事件A．

(1)利用计算器或计算机产生一组0到1之间的均匀随机数，a1＝RAND．

(2)经过伸缩变换，a＝3a1.

(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.

(4)计算频率即为概率P(A)的近似值．

5．解：设事件A＝{所投点落入小正方形内}．

①用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND．

②经过平移和伸缩平移变换，a＝3a1－1.5，b＝3b1－1.5，得[－1.5,1.5]上的均匀随机数．

③统计落入大正方形内的点数N(即上述所有随机数构成的点(a，b)的个数)及落入小正方形内的点数N1(即满足－1＜a＜1且－1＜b＜1的点(a，b)的个数)．

④计算，即为概率P(A)的近似值．