期末综合复习习题选（2）2021-2022学年北师大版八年级数学上册（word版 含答案）

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2021-2022学年北师大版八年级数学第一学期期末综合复习习题精选2（附答案）1．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　）A．1 B． C． D．2．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE＝S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论有（　　）个．A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（　　）A．4 B．6 C．8 D．104．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF．现有如下结论：①AD平分∠CAB；②BF＝2；③AD⊥CF；④AF＝2；⑤∠CAF＝∠CFB．其中正确的结论有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　）A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s6．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB＝5，BM＝2，AC＝9，则∠ABC与∠C的关系为（　　）A．∠ABC＝2∠C B．∠ABC＝∠C C．∠ABC＝∠C D．∠ABC＝3∠C7．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论正确的有（　　）个．①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若CD＝，则BH＝3；⑤若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．A．5 B．4 C．3 D．28．如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是（　　）A．+2 B． C．5 D．29．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP．其中正确的是（　　）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③10．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，将线段AE沿AC翻折，得到线段AM，连接EM交AC于点N，连接DM、CM以下说法：①AD＝AM，②∠MCA＝60°，③CM＝2CN，④MA＝DM中，正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，AE与BC交于点D，CD：BD＝3：5，AC＝3，BE⊥AE，则BE的长度为　 　．12．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 　 　．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 　 　．14．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 　 　．15．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点B的坐标为（3，3），直线CD交直线OA于点D，直线OE交线段AB于E，且CD⊥OE，垂直点为F，若图中阴影部分的面积是正方形OABC的面积的，则△OFC的周长为　 　．16．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为　 　．17．在坐标平面内，从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）的运动称为一次A类跳马，从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）的运动称为一次B类跳马．现在从原点开始出发，连续10次跳马，每次跳马采取A类或B类跳马，最后恰好落在直线y＝x+6上，则最后落马的坐标是　 　．18．如图，点P（4，1），A（a，0），B（0，2a）（a＞0），若△PAB的面积为4.5，则a的值为 　 　．19．如图的三角形纸片中，AB＝AC，BC＝12cm，∠C＝30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为　 　cm．20．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE＝ME；④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF＝：1；正确的有　 　．（只填序号）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB边的中点，点E、F分别在射线CA、BC上，且AE＝CF，连接EF．（1）如图1，当点E、F分别在边CA和BC上时，求证：DE＝DF（2）探究：如图2，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，判断线段DE与DF的大小关系，并加以证明．（3）应用：如图2，若DE＝6，利用探究得到的结论，求△DEF的面积．22．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．（1）求直线AB的解析式；（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．23．已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝　 　°，∠AEC＝　 　°．（2）如图2，①求证：AE+AC＝BC；②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC的度数．24．如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）求证：BM＝CN；（2）若AB＝8，AC＝4，求BM的长．25．在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．26．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；（2）求证：BC＝2AB．27．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）连接DF，求证：AB垂直平分DF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．28．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．（1）求证：BG＝CF； （2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．29．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．30．如图1．△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q．（1）求证：△EPA≌△AGB：（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2．若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由：（4）在（3）的条件下，若BC＝10，AG＝12．请直接写出S△AEF＝　 　．参考答案1．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝2﹣＝，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正确．∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，∴∠PAH＝∠BAP＝∠PFD，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH＝PD，∴AD＝AP+PD＝PF+PH．故②正确．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，∵∠HPD＝90°，∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH＝S△EPD，∴S△APH＝S△AED，故⑤正确，∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD＝S△ABP+S△APH+S△PBD＝S△ABP+S△FPD+S△PBD＝S△ABP+S△FBP＝2S△ABP，故④不正确．若DH平分∠CDE，则∠CDH＝∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH＝∠CBE＝∠ABE，∴∠CDE＝∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，综上所述，正确的结论有3个，故选：B．3．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．4．解：①错误，∵D为BC的中点，∴CD＝DB，∴AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC＝AB，显然与已知矛盾，故错误；②正确，∵BF∥AC，∴∠DBF+ACB＝180°，∵∠ACB＝90°，∴∠DBF＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠FBE＝45°＝∠DBE，∵DE⊥AB，∴BF＝BD＝2；③正确，∵AC＝BC，∠ACD＝∠CBF，CD＝BF，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵∠BCF+∠ACF＝90°，∴∠CAD+∠ACF＝90°，∴AD⊥CF；④正确，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，∵BD＝BF，DE⊥AB，∴AB垂直平分DE，∴AF＝AD＝2；⑤正确，∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF＝AF，∴∠CAF＝∠FCA，∵AC∥BF，∴∠CFB＝∠FCA＝∠CAF．综上所述，正确的结论有4个，故选：B．5．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故选：D．6．解：延长BM，交AC于E，∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，∴∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AME＝90°，在△ABM和△AEM中，，∴△ABM≌△AEM（ASA），∴BM＝ME，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，∴BE＝BM+ME＝4，AE＝AB＝5，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∴CE＝BE，∴△BCE是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ACB，又∵∠ABE＝∠AEB＝∠ACB+∠EBC，∴∠ABE＝2∠ACB，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠ACB，故选：D．7．解：①∵∠1＝∠2＝22.5°，又∵AD是高，∴AD⊥BC，∴∠2+∠C＝∠3+∠C，∴∠1＝∠3，①正确；②∵∠1＝∠2＝22.5°，∴∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠ADC＝90°，在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴DH＝CD，BH＝AC，∵AB＝BC，∴BD+DH＝AB，②正确；③∵BH＝AC，当AC＝2AH时，2AH＝BH，③错误；④连接CH，如图1所示：∵△BDH≌△ADC，∴DH＝DC＝，∴△CDH是等腰直角三角形，∴CH＝CD＝2，∠CHD＝45°，∵∠3＝∠2＝22.5°，∴∠HCA＝22.5°＝∠3，∴AH＝CH＝2，∴BD＝AD＝2+，∴BH2＝BD2+DH2＝（2+）2+（）2≠9，∴BH≠3，④错误；⑤作DK⊥AC于K，如图2所示：则DF＝EK，∠DKC＝90°，∠C+∠CDK＝∠C+∠3，∴∠CDK＝∠3，∵BE⊥AC，DF⊥BE，∴DF∥AC，∠DFH＝90°＝∠DKC，∴∠FDH＝∠CDK，在△DFH和△DKC中，，∴△DFH≌△DKC（AAS），∴FH＝KC，DF＝DK，∵∠1＝∠2，BE⊥AC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝CB，∴AE＝CE，∵CE＝KC+EK，DF＝EK，∴AE＝FH+DF，∴AE﹣FH＝DF，⑤正确．故选：C．8．解：如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长，过A作AD⊥BC于D，∴AD∥y轴，∵A′A∥y轴，∴A′、A、D三点共线，∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AD＝BD＝1，P（0，3），∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，∴PA+PB的最小值是．故选：B．9．解：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴∠SAP＝∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2＝AP2﹣PR2，AS2＝AP2﹣PS2，∵AD＝AD，PR＝PS，∴AR＝AS，∴①正确；②∵AQ＝QP，∴∠QAP＝∠QPA，∵∠QAP＝∠BAP，∴∠QPA＝∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，不满足三角形全等的条件，故③错误故选：C．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵线段AE沿AC翻折，得到线段AM，∴AE＝AM，CE＝CM，∠ACE＝∠ACM，故②正确，∴AD＝AE＝AM，故①正确，∴AC垂直平分线段EM，∵∠ECN＝60°＝∠ACM，∠CNE＝90°，∴∠CEN＝30°＝∠CME，∴CM＝2CN，故③正确，∵∠CAE＝∠CAM，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CAM，∴∠DAM＝∠BAC＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD＝AM＝DM，故④正确，故选：D．11．解：设CD＝3x，BD＝5x，过D作DH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，∴DH＝CD＝3x，在Rt△ACD和Rt△AHD中，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH＝AC＝3，在Rt△BDH中，BH＝＝4x，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，∴（3+4x）2＝（5x+3x）2+32，解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝，∴BH＝2，DH＝CD＝，∴AB＝5，∴AD＝＝＝，∵S△ABD＝AB•DH＝AD•BE，∴BE＝＝＝，故答案为：．12．解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+3，故答案为：+1+3．13．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．14．解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴DF+DC＝AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵•BC•AH＝120，∴AH＝12，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，∵BF＝3FC，∴CF＝FH＝5，∴AF＝＝＝13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5＝18；故答案为18．15．解：∵正方形OABC顶点B的坐标为（3，3），∴正方形的面积为9．所以阴影部分面积为9×＝3．在△COD和△OAE中，∴△COD≌△OAE（ASA）．∴△COD面积＝△OAE面积．∴△OCF面积＝四边形FDAE面积＝3÷2＝1.5．设OF＝x，FC＝y，则xy＝3，x2+y2＝9，所以（x+y）2＝x2+y2+2xy＝15．所以x+y＝．所以△OFC的周长为3+．故答案为3+．16．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB＝∠A'EC，∴∠A'CB＝∠A'EC，∴A'C＝A'E＝4，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A'E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝＝4；②当∠A'FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；17．解：设采取A类跳马m次，采取B类跳马n次，则最后落马的坐标为（m+2n，2m+n），依题意，得：，解得：，∴m+2n＝12，2m+n＝18，即最后落马的坐标为（12，18）．故答案为：（12，18）．18．解：①当点A在点P的左侧时，过点P作PD⊥x轴，如图所示：∵P（4，1），A（a，0），B（0，2a）（a＞0），∴OD＝4，PD＝1，AD＝OD﹣OA＝4﹣a，OB＝2a，∵S△PAB＝S梯形ODPB﹣S△ADP﹣S△AOB，S△PAB＝4.5，∴4.5＝﹣AD•PD﹣OA•OB，4.5＝×（1+2a）×4﹣×（4﹣a）×1﹣a×2a，整理得：a2﹣a+＝0，解得：a1＝3或a2＝；②当A点在P点右侧时，作PD⊥OA，如图所示，∵P（4，1），A（a，0），B（0，2a）（a＞0），∴OD＝4，PD＝1，AD＝OA﹣OD＝a﹣4，OB＝2a，∵S△PAB＝S△ABO﹣S梯形ODPB﹣S△ADP，S△PAB＝4.5，∴4.5＝OA•OB﹣﹣AD•PD，4.5＝a×2a﹣×（1+2a）×4﹣×（a﹣4）×1，整理得：a2﹣a﹣＝0，解得：a1＝或a2＝（舍去）．综上所述：a的值为：3或或．故答案为：3或或．19．解：过D作DH⊥BC，过点A作AN⊥BC于点N，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，根据折叠可得：DF＝BF，∠EDF＝∠B＝30°，∵AB＝AC，BC＝12cm，∴BN＝NC＝6cm，∵点B落在AC的中点D处，AN∥DH，∴NH＝HC＝3cm，∴DH＝3•tan30°＝（cm），设BF＝DF＝xcm，则FH＝12﹣x﹣3＝9﹣x（cm），故在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2，故x2＝（）2+（9﹣x）2，解得：x＝，即BF的长为：cm．故答案为：．20．解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE （AAS），∴BF＝CE，故①正确；由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴△BFM≌OCEM （SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF＝EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，∴△DFM≌△NEM （ASA），∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DN＝DM，而∠DEA＝90°，∴DE2+DF2＝DN＝2DM2，故④正确；∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，∵∠DEM＝45°，∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△ACE （ASA），∴DE＝CE，∴△MEF为等腰直角三角形，∴EF＝EM，∴＝＝＝＝，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．21．（1）证明：如图1，连接CD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAD＝45°，∵D为边AB的中点，∴CD＝AD，∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠EAD＝∠FCD，在△AED和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（SAS），∴DE＝DF，（2）结论：DE＝DF，理由如下：如图2，连接CD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAD＝45°，∵D为AB中点，∴AD＝CD，∠BCD＝∠ACB＝45°，∵∠CAD+∠EAD＝∠BCD+∠FCD＝180°，∴∠EAD＝∠FCD＝135°，在△AED和△CFD中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF；（3）解：∵△ADE≌△CDF，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，∵DE＝DF＝6，∴S△DEF＝DE2＝×62＝18．22．解：（1）∵点A的坐标为（0，6），∴设直线AB的解析式为y＝kx+6，∵点C（2，4）在直线AB上，∴2k+6＝4，∴k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，令y＝0，∴﹣x+6＝0，∴x＝6，∴B（6，0），∴S△OBC＝OB•yC＝12，∵△OPB的面积是△OBC的面积的，∴S△OPB＝×12＝3，设P的纵坐标为m，∴S△OPB＝OB•m＝3m＝3，∴m＝1，∵C（2，4），∴直线OC的解析式为y＝2x，当点P在OC上时，x＝，∴P（，1），当点P在BC上时，x＝6﹣1＝5，∴P（5，1），即：点P（，1）或（5，1）；（3）∵△OBP是直角三角形，∴∠OPB＝90°，①当点P在OC上时，如图，过点C作CH⊥x轴于H，∵C（2，4），∴CH＝4，OC＝2∴S△OBC＝OB•CH＝OC•BP，∴BP＝＝＝，由（2）知，直线OC的解析式为y＝2x①，设点P的坐标为（m，2m），∵B（6，0），∴BP2＝（m﹣6）2+4m2＝，∴m＝∴P（，），②当点P在BC上时，同①的方法，∴P（3，3），即：点P的坐标为（，）或（3，3）．23．解：（1）∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB＝27°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECB＝27°，∵∠EAC＝2∠EBC＝54°，∴∠AEC＝180°﹣27°﹣54°＝99°，故答案为：27°，99°；（2）①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM＝ME，∴∠MBE＝∠MEB，∵∠EAC＝2∠MBE，∠EMC＝∠MBE+∠MEB＝2∠MBE，∴∠EAC＝∠EMC，在△ACE与△MCE中，，∴△ACE≌△MCE，∴AE＝ME，CM＝AC，∴AE＝BM，∴BC＝BM+CM＝AE+AC；②如图2在BC上取一点M，使BM＝ME，连接AM，∵∠ECB＝30°，∴∠ACB＝60°，由①可知；△AMC是等边三角形（M点与B点重合），∴AM＝AC＝BE，在△EMB与△MEA中，，∴△EMB≌△MEA，∴∠EBC＝∠MAE，∵∠MAC＝60°，∵∠EAC＝2∠EBC＝2∠MAE，∴∠MAE＝20°，∠EAC＝40°，∴∠EBC＝20°．24．（1）证明：连接BD、CD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：BM＝CN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴AM＝AN，∵AM＝AB﹣BM，AN＝AC+CN，∴AB﹣BM＝AC+CN，∴2BM＝AB﹣AC＝8﹣4＝4，∴BM＝2．25．解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF＝＝＝；（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．26．（1）解：∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴，∵EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝20°，∵∠DEC是△EBC的一个外角，∴∠DEC＝∠ECB+∠EBC＝40°；（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA＝EF，在Rt△AEB 和Rt△FEB中，∵∴Rt△AEB≌Rt△FEB （HL），∴AB＝FB（全等三角形的对应边相等），∵EB＝EC，EF⊥BC，∴BC＝2FB，∴BC＝2AB．27．（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠BCF+∠ADC＝90°，∵∠BCA＝90°，BF∥AC，∴∠CBF＝180°﹣∠BCA＝90°，∴∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠ADC，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（AAS）；（2）证明：由（1）得：△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BF＝BD，∵∠BCA＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°﹣∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠ABF，∵BF＝BD，∴AB垂直平分DF；（3）解：△ACF是等腰三角形，理由如下：由（1）得：△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，由（2）得：AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形．28．（1）证明：连接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．29．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，答：OC＝2，BC＝2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°，∴CH＝CP＝（2﹣t），HP＝（2﹣t），∴S△CPQ＝CQ×PH＝×t×（2﹣t），即S＝﹣t2+t；②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO＝2，∠NOC＝60°，∴CZ＝，CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，∴OG＝OP＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∴S△CPQ＝S△COQ﹣S△OPQ＝×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），即S＝t2﹣t+；④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，∴CM＝BC＝1，有勾股定理得：BM＝，∵OB＝2，∴OM＝2﹣＝＝CK，∴S＝PQ×CK＝×2×＝；综合上述：S与t的函数关系式是：S＝；．（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．30．解：（1）如图1，∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，∴∠PEA＝∠BAG，在△EPA和△AGB中，，∴△EPA≌△AGB（AAS），（2）结论：EP＝FQ，证明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，∴EP＝AG，同理可得，△FQA≌△AGC，∴AG＝FQ，∴EP＝FQ；（3）结论：EH＝FH，理由：如图，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，∴∠EPH＝∠FQH＝90°，在△EPH和△FQH中，，∴△EPH≌△FQH（AAS），∴EH＝FH．（4））∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，∴S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，∴S△AEF＝S△EPA+S△FQA＝S△AGB+S△AGC＝S△ABC＝×BC×AG＝×10×12＝60故答案为：60．