高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教学设计

第二十五教时

教材：复习四——平面向量的数量积及运算律

目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。

过程：

一、    复习：

1．  定义、其结果是一个数量。

2．  a•b>00≤<90；a•b=0==90 即ab；a•b<090<≤180

3．  性质1 —5

4．  运算律

二、     例题：

1．  已知|a| = 5，|b| = 8，a 与b的夹角为60，求 |a + b |

解：a•b = |a||b|cos60 = 5×8×= 20

∴|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = 129

∴|a + b | =

2．  求证：|a + b |≤|a| + |b|

证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a•b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos

≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2

即：|a + b |≤|a| + |b|

3．  设非零向量a、b、c、d，满足d = (a•c) b  (a•b)c，求证：ad

证：内积a•c与a•b均为实数，

∴a•d = a•[(a•c) b  (a•b)c] = a•[(a•c) b]  a•[(a•b)c]

= (a•b)(a•c)  (a•c)(a•b) = 0

             ∴ad

4．  已知非零向量a、b，满足a ±b，

求证：ba垂直于a+b的充要条件是|a| = |b|

证：由题设：ba与a+b均为非零向量

必要性：设ba垂直于a+b，则(ba)(a+b) = 0

  又：(ba)(a+b) = b2  a2 = |b|2  |a|2   

∴|b|2  |a|2 = 0    即：|a| = |b|

充分性：设|a| = |b|，则(ba)(a+b) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0

即：(ba)(a+b) = 0   ∴(ba)  (a+b)

5．已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，

    a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

       解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0    ①

             (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0    ②

           两式相减：2ab = b2

           代入①或②得：a2 = b2

设a、b的夹角为，则cos =  

∴ = 60

 6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。

    证：设== a , == b

        ∵ABCD为菱形     ∴|a| = |b|

        ∴= (b + a)(b  a) = b2  a2 = |b|2  |a|2 = 0

        ∴

7．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，

求证：AD、BE、CF相交于一点。

证：设BE、CF交于一点H，

= a, = b, = h,

则= h  a , = h  b , = b  a

∵,  

∴

∴

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点

三、     作业：《导学•创新》   §5. 6