高二新课程数学第一章《导数及其应用》章末质量评估（新人教A版）选修2-2 试卷

章末质量评估(一)(时间：100分钟　满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为(　　)．A．－135°   B．45°  C．－45°   D．135°解析　y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此，倾斜角为135°.答案　D2．下列求导运算正确的是(　　)．A.′＝1＋   B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3e   D．(x2cos x)′＝－2xsin x解析　′＝1－，所以A不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C不正确；(x2cos x)′＝2xcos x＋x2·(－sin x)，所以D不正确；(log2x)′＝，所以B正确．故选B.答案　B3．|sin x|dx等于(　　)．A．0  B．1  C．2  D．4解析　∫2π0|sin x|dx＝∫π0sin xdx＋∫2ππ(－sin x)dx＝＋cos x＝1＋1＋1＋1＝4.答案　D4．函数y＝1＋3x－x3有(　　)．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析　y′＝－3x2＋3，令y′＝0得，x＝1或x＝－1，∴f(1)＝3，f(－1)＝－1.答案　D5．函数f(x)＝(　　)．A．在(0,2)上单调递减B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C．在(0,2)上单调递增D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减解析　f′(x)＝＝＝.令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.∴x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0.x∈(0,1)∪(1,2)时，f′(x)<0.答案　B6．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　)．A．72  B．36  C．12  D．0解析　y′＝4x3－4，令y′＝0,4x3－4＝0，x＝1，当x<1时，y′<0；当x>1时，y′>0得y极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，得ymin＝0.答案　D7．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)．A．－1＜a＜2   B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2   D．a＜－3或a＞6解析　因为f(x)有极大值和极小值，所以导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)有两个不等实根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，得a＜－3或a＞6.答案　D8．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x) 的图象最有可能是图中的(　　)．解析　∵x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．答案　A9．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为(　　)．解析　画出图形，由定积分定义可知选C.答案　C10．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为(　　)．A．－log2 0102 009   B．－1C．(log2 0102 009)－1   D．1解析　∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.所以log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009＝log2 010(x1·x2·…·x2 009)＝log2 010＝log2 010＝－1.答案　B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)11．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________． 解析　f′(x0)＝3x＝3，∴x0＝±1. 答案　±112．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________．解析　由于y′＝，∴k＝y′|x＝e＝，故切线的方程为y－1＝(x－e)，故y＝x.答案　　x－ey＝013．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________．解析　由y′＝3x2＋2x－5>0得x<－，或x>1.答案　，(1，＋∞)14．若 (x－k)dx＝，则实数k的值为________．解析　∫10(x－k)dx＝＝－k＝，∴k＝－1.答案　－1三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.16．(10分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．解　函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.17．(10分)给定函数f(x)＝－ax2＋(a2－1)x和g(x)＝x＋.(1)求证：f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值．(1)证明　因为f′(x)＝x2－2ax＋(a2－1)＝[x－(a＋1)]·[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝a＋1，x2＝a－1.当x<a－1时，f′(x)>0；当a－1<x<a＋1，f′(x)<0.所以x＝a－1为f(x)的一个极大值点．同理可证x＝a＋1为f(x)的一个极小值点．所以f(x)总有两个极值点．(2)解　因为g′(x)＝1－＝.令g′(x)＝0，则x1＝a，x2＝－a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且x1＝a和a＋1，a－1不可能相等，所以当－a＝a＋1时，a＝－；当－a＝a－1时，a＝.经检验，当a＝－和a＝时，x1＝a，x2＝－a都是g(x)的极值点．18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c<c2恒成立，求c的取值范围．解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得即解得∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.令f′(x)<0，解得－1<x<2；令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.∴f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．要使f(x)＋c<c2，只需c2>f(－1)＋c，即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪.19．(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数的解析式．(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．解　f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：    x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－<k<.