人教版新课标A必修41.4 三角函数的图象与性质教学设计及反思

三角函数的图象与性质

　　一、知识网络

二、高考考点
　　（一）三角函数的性质
　　1、三角函数的定义域，值域或最值问题；
　　2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等.
　　3、三角函数的周期性；　　寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.
　　（二）三角函数的图象
　　1、基本三角函数图象的变换；
　2、 型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；
　　3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；　　4、利用函数图象解决应用问题.
　　（三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.
　　三、知识要点
　　（一）三角函数的性质
　　1、定义域与值域
　　2、奇偶性
　　（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：y＝sinx，y＝tanx；　　偶函数：y＝cosx.
　　（2） 型三角函数的奇偶性
　　（ⅰ）g（x）＝ （x∈R）
g（x）为偶函数

　　由此得 ；
　　同理， 为奇函数　　 .
　　（ⅱ）
为偶函数 ； 为奇函数 .
　　3、周期性
　　（1）基本公式
　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为 ；　　y＝tanx，y＝cotx的周期为 .
　　（ⅱ） 型三角函数的周期
　　 的周期为 ；
　　 的周期为 .
　　（2）认知
　　（ⅰ） 型函数的周期
的周期为 ；

的周期为 .
　　（ⅱ） 的周期
的周期为；

的周期为 .
　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.
　　（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.
　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.
　　（3）特殊情形研究
　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；　　

（ⅱ） 的最小正周期为 ；
　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .　　

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.
　　4、单调性
　　（1）基本三角函数的单调区间（族）
　　依从三角函数图象识证“三部曲”：
　　①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；
　　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；
　　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）
　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.
　　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.
　　（2）y＝ 型三角函数的单调区间
　　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为
　　①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ；
　　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；
　　③还原、结论：将u＝ 代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.
　　（二）三角函数的图象
　　1、对称轴与对称中心
　　（1）基本三角函数图象的对称性
　　（ⅰ）　正弦曲线y＝sinx的对称轴为 ；　正弦曲线y＝sinx的对称中心为（ ，0） .
　　（ⅱ）　余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ；　余弦曲线y＝cosx的对称中心
　　（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为 ；　正切曲线y＝tanx无对称轴.
　　认知：
　　①两弦函数的共性：
x＝ 为两弦函数f（x）对称轴 为最大值或最小值；（ ，0）为两弦函数f（x）对称中心 ＝0.
　　②正切函数的个性：
　　（ ，0）为正切函数f（x）的对称中心 ＝0或 不存在.
　　（2） 型三角函数的对称性（服从上述认知）
　　（ⅰ）对于g（x）＝ 或g（x）＝ 的图象
x＝ 为g（x）对称轴 为最值（最大值或最小值）；（ ，0）为两弦函数g（x）对称中心 ＝0.
（ⅱ）对于g（x）＝ 的图象（ ，0）为两弦函数g（x）的对称中心 ＝0或 不存在.
　　2、基本变换
　（1）对称变换　（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移
　　3、y＝ 的图象
　　（1）五点作图法
　　（2）对于A，T， ， 的认知与寻求：　①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；
　　                                         2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离.
　　② ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.
　　 ： 由T＝ 得出.　              　③ ：
　　解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根；
　　解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.
　　四、经典例题
　　例1、求下列函数的值域：
　　（1） 　（2） 　（3）
　　（4） 　　（5） 　（6）
　　分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为 的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.
　　解：
　　（1） 　

　　 　∵
　　∴ ，　　即所求函数的值域为 .
　　（2）由 　　

∴
　　∴ 　注意到这里x∈R， ，
　　∴
　　∴所求函数的值域为[－1，1].
　　（3）这里 　令sinx＋cosx＝t　则有
　　且由
　　于是有 　

∵ ∴

 因此，所求函数的值域为 .
（4）注意到这里y>0，且 ∵ ∴即所求函数的值域为 .

　　（5）注意到所给函数为偶函数，又当 　∴此时
　　同理，当 亦有 .　∴所求函数的值域为 .
　　（6）令 　则易见f（x）为偶函数，且
　　∴ 是f（x）的一个正周期.　①　　只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.
　　当x∈[0， ]时， 　又注意到 ，
　　∴x＝ 为f（x）图象的一条对称轴　②　　

∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.
　　而在[0， ]上， 递增.    ③ 亦递增④
　　∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.　　

∴ 　　即  ⑤
　　于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 .
　　点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.
　　例2、求下列函数的周期：
　　（1） ；　　（2） ；
　　（3） ；　　（4） ；　　（5）
　　分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 ＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.
　　解：　（1） 　　＝
　　＝ 　　

∴所求最小正周期 .
　　（2） ＝ 　　＝ ＝
　　∴所求周期 .
　　（3） 　＝ 　

＝
＝ .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 .
　　（4） 　注意到3sinx及-sinx的周期为2 ，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 .　　∴所求函数的周期为2 .
　　（5） 　
　　注意到sin2x的最小正周期 ，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期 ，这里 的最小公倍数为 .　　∴所求函数的周期 .
　　点评：对于（5），令 　则由 知， 是f（x）的一个正周期.①
　　又 　∴ 不是f（x）的最小正周期. ②
　　于是由①②知，f（x）的最小正周期为 .
　　在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.
　　

请大家研究 的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.
　　例3、已知函数的部分图象，
　　（1）求 的值；　　（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.
　　解：
　　（1）令 ，则由题意得f（0）＝1
　　∵ 　　∴
　　注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 ，故逆用“五点作图法”　得： 　由此解得 　∴所求 ， .
　　（2）由（1）得 　令 ，解得 ，
　　∴函数f（x）图象的对称轴方程为 ；令 解得 ，
　　∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 .
　　点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：
　　 　　 　　
　　例4、　（1）函数 的单调递增区间为　　　　　　　　 。
　　（2）若函数 上为单调函数，则a的最大值为　　　　　　 。
　　（3）　函数 的图象的对称中心是　　　　　　　　　　 。
　　函数 的图象中相邻两条对称轴的距离为　　　　　　 。
（4）把函数 的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为　　　　　　　　　　 。
　　（5）对于函数 ，给出四个论断：
　　①它的图象关于直线x＝ 对称；　　②它的图象关于点（ ,0）对称；
　　③它的周期为 ；　　④它在区间〔－ ，0〕上单调递增.
　　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是　　　　　　　　　。
　　分析：
　　（1）这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且
　　 　　 　

∴应填
　　（2）由f（x）递增得

　　易见，
　　由f（x）递减得

　　当k＝0时， 　注意到 而不会属于其它减区间，　故知这里a的最大值为 .
（3）（ⅰ）令

∴所给函数图象的对称中心为（ ，0） ；
　　（ⅱ） 　　　　 ①
　　解法一（直接寻求）　在①中令 　则有②
　　又在②中令k＝0得 ，　　令k＝1得 　　∴所求距离为 －
　　解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为
T＝ ，故所求距离为 .
　　（4）这里 将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为 　　令
　　则由题设知f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）　
∴所求m的最小值为 .
　　（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察
　　①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形.
　　（ⅰ）考察①、③ ②、④是否成立.
由③得 ，故 ；又由①得
　　注意到 .　∴在①、③之下， ，易知此时②、④成立.
　　（ⅱ）考察②、③ ①、④是否成立.　　由③得 ，故 ；
　　又由②得 　注意到 .
　　∴在②、③之下， ，易知此时①、④成立.
　　于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③ ②、④与②、③ ①、④.
　　点评：对于（4）利用了如下认知： ；
　　 .
　　对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.
　　例5、已知 的最小正周期为2，当 时，f（x）取得最大值2.
　　（1）求f（x）的表达式；
　　（2）在闭区间 上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.
　　分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为＋k的形式，这是此类问题的解题的基础.
　　解：　（1）去
　　令 ， ，即 　则有①
　　由题意得②　又由①知 ，注意到这里A>0且B>0，取辅助角 ，
　　则由②得③
　　（2）在③中令 　解得x＝k＋
　　解不等式④　　注意到 ，故由④得k＝5.
　　于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .
　　点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为 ＋k的形式，解题便胜券在握.
　　例6、已知点 的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f（x）]<0且x∈[0， ]时，实数a的取值范围.
　　分析：由点A、B都在函数 的图象上　得： ，∴b＝a，c＝1－a.
　　∴ 　∴
　　此时，由g[f（x）]<0且x∈[0， ]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.
　　解：由分析得
　　∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0， ①
　　∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0②　∴由①②知，当x<-2或0<x<2时，g（x）<0③
又设 .则 h（t）＝at＋（1－a）， .
　　∴g[f（x）]<0且x∈[0， ] g[h(t)]<0，且 .　∴由③得，当 时，h（t）<－2或0<h(t)<2④
　　注意到h（t）＝at＋（1－a）　∴由h（t）<－2得h（1）<－2(a<0)或h( )<-2(a>0),
　　由0<h(t)<2得 ，解得 .于是综上可知，所求a的取值范围为 .
　　点评：在这里，由③到④的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0<h(t)<2亦可通过分类讨论来完成.
　　对于h（t）＝at＋（1－a） ，　　0<h(t)<2 h（t）>0且h（t）<2
　　（1）h(t)>0， ⑤　当a>0时，h(t)在 上递增，　∴由⑤得，h(1)>0，显然成立；
　　当a<0时，h(t)在 上递减　　∴由⑤得，h( )>0 （ －1）a＋1>0 ；
　　当a＝0时，h（t）显然满足1<h(t)<2.　　因此由h(t)>0， 得　　 － －1<a≤0　 ⑥
　　（2）h(t)<2， ⑦当a>0时，h(t)在 上递增，∴由⑦得，h( )<2 ；
　　当a<0时，h(t)在 上递减　　∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件；　当a＝0时，h（t）＝1，显然满足条件.
　　因此由⑦得  ⑧　　于是综合（1）（2）知，由0<h(t)<2推出
　　五、高考真题
　　（一）选择题
　　1、（湖北卷）若 （　　　　 ）
　　A. 　　　B. 　　　　　C. 　　　　　　D.
　　分析：注意到我们对 的熟悉，故考虑从认知 的范围入手，去了解 的范围.
　　由 ∴ ，　∴
　　应选C.
　　2、函数 的部分图象如图，则（　　 ）
　　A. 　　　　　　

B.
　　C. 　　　　　　

D.
　　分析：由图象得 .　∴ ，　∴
　　又f(1)=1，∴ 　注意到 ，∴ 　　应选C.
　　（二）、填空题
　　1、（湖北卷）函数 的最小正周期与最大值的和为　　　　　　　　 。
　　分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论.
　　
　　（1）注意到sin2x的最小正周期 ，而sinx≥0的解区间重复出现的最小正周期 ，而 的最小公倍数为 ，故所求函数的最小正周期为 .
　　（2）由分段函数知，y的最大值为 ，　　于是由（1）（2）知应填 .
　　2、（辽宁卷） 是正实数，设 .若对每个实数a， 的元素不超过两个，且有a使 含2个元素，则 的取值范围是　　　　 。
　　分析： 　　

∴
　　注意到有a使 含有两个元素，　∴相邻两 值之差①
　　注意到 的元素不超过两个，　∴相间的两个 值之差②
　　∴由①、②得 .
　　点评：　　对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.
　　对于（2），这里的 决定于f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个 值之差 的意义.
　　（三）解答题
　　1、若函数 的最大值为2，试确定常数a的值.
　　分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f（x）化为 ＋k的形式，而后便会一路坦途.
　　解： 　＝
　　＝ 　由已知得 .
　　点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力.
　　2、设函数 y＝f（x）图象的一条对称轴是直线 .
　　（1）求 ；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；（3）证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f（x）的图象不相切.
　　分析：对于（3），由于f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线ｌ与ｙ＝ｆ（x）的图象不相切，只需证直线ｌ的斜率不属于y＝f（x）图象上点的切线斜率的取值集合.
　　解：（1）∵ 为函数 图象的对称轴，　∴
　　∴ 即 　　

又 .
　　（2）由（1）知 ，　当 时，y＝f（x）递增，
　　∴所求函数f（x）的增区间为 .
　　（3）∵ 　

∴y＝f（x）图象上点的切线的斜率范围为[－2，2].
而直线5x－2y＋c＝0 ，

∴直线5x－2y＋c＝0与函数 的图象不相切.
　　点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题（3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.
　　3、已知函数 是R上的偶函数，其图象关于点M（ ）对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.
　　分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定 的值；已知函数图象关于某直线（或某点）对称，则只能导出关于 的可能取值，此时要进一步确定 的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.
　　解：由f（x）为偶函数得f（－x）＝f（x）（x∈R）
　　即
　　又 　故有 由f（x）图象关于点M（ ）对称得

　　令x＝0得 　而 　　

由此解得
　　当k＝0时， ，此时
　　当k＝1时，
当k≥2时， 　　 ，  故此时
　　因此，综合以上讨论得 或 .　∴所求 ，而 或 .
　　点评：对于正弦函数y＝ ＋k或余弦函数y＝ ＋k，在单调区间“完整”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期T上，增区间（或减区间）的长度均不超过 .因此，若区间 的长度大于 ，则函数在区间 上不会是单调函数.
　　4、设函数f（x）＝xsinx（x∈R）.
　　（1）证明： ，其中k为正整数.
　　（2）设
　　（3）设f（x）在（0，＋∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ，
　　证明：
　　分析：注意到正弦函数为f（x）的成员函数之一，试题中又指出f（x）的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解（2）（3），均需要从f＇（x）切入.
　　证明：　（1）　∵f（x）＝xsinx（x∈R）
∴
　　（2）        令　　 ①
　　显然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx　 ②
　　 　　 ②，即有 ，
　　于是 　＝ 　＝
　　（3）设 是 的一个正整数根，即 ，则由直线y＝x与曲线y＝－tanx的位置关系知：对每一个 ，存在 ，使 ，注意到g（x）＝x＋tanx在 上是增函数，且 　∴g（x）在    又cosx在 内符号不变，

∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝ 在 与在 内异号，
　　∴所有满足 的 都是f（x）的极值点.
由题设 为方程x＝－tanx的全部正根.且 ，
　　∴  ③
　　再注意到 　 ④
　　而 　∴1＋ 　

∴由④得 　⑤
　　于是由③、⑤得，
　　点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对于（2）， 只需满足 即可；对于（3）中的 不仅要满足 ，还需认定 在点x＝ 左右两边异号.