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人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质复习ppt课件
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这是一份人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质复习ppt课件，共55页。PPT课件主要包含了k∈Z，题型分类深度剖析，方法三，方法二，答案D，思想方法感悟提高，定时检测，⑤答案C，填空题7，答案②③等内容，欢迎下载使用。
2.三角函数的图象和性质:
3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).函数y=Asin( x+ ） 或y=Acs（ x+ ）（ >0且为常数）的周 期 函数y=Atan( x+ )( >0)的周期
基础自测1.函数y=1-2sin xcs x的最小正周期为（ ） 解析
2.设点P是函数f(x)=sin x ( ≠0)的图象C的 一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的 最小值是 则f(x)的最小正周期是（ ） 解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的 故f（x）的 最小正周期为T=
3.函数y=sin 的图象（ ） A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 解析 验证法：
4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是( ) ①在 上递减； ②以 为周期； ③是奇函数. A.y=tan x B.y=cs x C.y=-sin x D.y=sin xcs x 解析 y=tan x的周期为 ，故A错. y=cs x为偶函数，故B错. y=sin xcs x= sin 2x的周期为 ，故D错. y=-sin x的周期为2 ,是奇函数，由图象知 在 上是递减函数，故C正确.
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin (x∈R)，下面结论错误的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2 B.函数f(x)在区间 上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 A正确; 由图象知y=-cs x关于直线x=0对称，C正确. y=-cs x是偶函数，D错误.
题型一 与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cs x);(2)y= 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cs x)>0. ∵-1≤cs x≤1,∴0
方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sin x≥cs x,即MN≥OM，
(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.
知能迁移1 求下列函数的定义域：
解 (1)要使函数有意义,必须有
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：
题型二 三角函数的单调性与周期性
（1）化为 再求单调区间;
(2)先化为 ,再求单调区间.
(1)求形如y=Asin( x+ )或y=Acs( x+ ) (其中A≠0, >0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ x+ ( >0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cs x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同（反）.（2）对于y=Atan( x+ ) (A、 、 为常数),其周期 单调区间利用解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v= (x)，其单调性判定方法是:若y=f(v)和v= (x)同为增（减）函数时，y=f( (x))为增函数；若y=f(v)和v= (x)一增一减时，y=f( (x))为减函数.
知能迁移2 求函数 的单调区间. 解 方法一
题型三 三角函数的对称性与奇偶性 已知f(x)=sin x+ cs x（x∈R），函数 y=f(x+ )的图象关于直线x=0对称，则 的值可以 是 （ ） 先求出f(x+ )的函数表达式. f(x+ )关于x=0对称，即f(x+ )为偶函数.
f(x)=Asin( x+ )若为偶函数,则当x=0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x)=Asin( x+ )为奇函数，则当x=0时，f(x)=0.如果求f(x)的对称轴,只需令 x+ = 求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x+ =k 即可.
知能迁移3 使奇函数f(x)=sin(2x+ )+ cs(2x+ ) 在 上为减函数的 的值为 ( ) 解析
题型四 三角函数的值域及最值 (12分)已知函数f(x)=2asin 的定义域为 函数的最大值为1,最小值为 -5,求a和b的值.
求出2x- 的范围
a>0时，利用最值求a、b
a<0时，利用最值求a、b
解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin（ x+ ）或y=Acs（ x+ ）的最值,再由方程的思想解决问题.知能迁移4 （2009·江西理，4）若函数f(x) =(1+ tan x)·cs x,0≤x< ,则f(x)的最大 值为（ ） A.1 B.2 C. D. 解析
方法与技巧1.利用函数的有界性(-1≤sin x≤1,-1≤cs x≤1), 求三角函数的值域（最值）.2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数 的正负号).4.正余弦函数的线性关系式都可以转化为f(x)= asin x+bcs x= 特别注意把
5.注意sin x+cs x与cs xsin x的联系,令t= sin x+cs x (- ≤t≤ )时,失误与防范1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基 础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论 参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 形如y=Asin（ x+ ）（ >0）的形式，再根 据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间. 应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考 虑.注意区分下列两题的单调增区间不同：
3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有 界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1), 则y=(t-2)2+1≥1,解法错误.
一、选择题1.（2009·福建理，1）函数f(x)=sin xcs x的最 小值是（ ） 解析 ∵f(x)=sin xcs x=
2.(2009·全国Ⅰ理,8)如果函数y=3cs(2x+ )的 图象关于点 中心对称,那么|φ|的最小值 为（ ） 解析 由y=3cs(2x+φ)的图象关于点
3.已知函数 在区间［0，t］上至少取得2次最 大值，则正整数t的最小值是 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析
4.已知在函数f(x)= 图象上,相邻的一个最大 值点与一个最小值点恰好在x2+y2=R2上,则f（x）的 最小正周期为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵x2+y2=R2，∴x∈［-R，R］. ∵函数f（x）的最小正周期为2R，
5.（2009·浙江理，8）已知a是实数,则函数 f(x)=1+asin ax的图象不可能是（ ）
解析 图A中函数的最大值小于2，故0
解析 ① 是奇函数；②③④
,
.
8.（2008·辽宁理，16）已知f(x)= 且f(x)在区间 上有最小值， 无最大值，则 . 解析 如图所示,
9.关于函数f（x）=4sin （x∈R）,有下列命 题： ①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是 的整数倍； ②y=f（x）的表达式可改写为 ③y=f（x）的图象关于点 对称； ④y=f（x）的图象关于直线 对称. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正 确的命题序号都填上） 解析 函数f（x）= 的最小正周 期T= ，由相邻两个零点的横坐标间的距离 是 知①错.
三、解答题10.设函数f(x)=sin(2x+φ)(- < <0)，y=f(x)图象 的一条对称轴是直线 (1)求φ； （2）求函数y=f(x)的单调增区间. 解
11.（2008·天津文，17）已知函数f(x)=2cs2ωx +2sin ωxcs ωx+1 (x∈R,ω>0)的最小正周期 是 . （1）求ω的值； （2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取 得最大值的x的集合. 解
12.设函数f(x)=cs ωx· ( sin ωx+cs ωx),其 中0<ω<2. （1）若f(x)的周期为 ,求当 f(x)的值域； （2）若函数f(x)的图象的一条对称轴为 求ω的值. 解
2.三角函数的图象和性质:
3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个不为0的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).函数y=Asin( x+ ） 或y=Acs（ x+ ）（ >0且为常数）的周 期 函数y=Atan( x+ )( >0)的周期
基础自测1.函数y=1-2sin xcs x的最小正周期为（ ） 解析
2.设点P是函数f(x)=sin x ( ≠0)的图象C的 一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的 最小值是 则f(x)的最小正周期是（ ） 解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的 故f（x）的 最小正周期为T=
3.函数y=sin 的图象（ ） A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 解析 验证法：
4.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是( ) ①在 上递减； ②以 为周期； ③是奇函数. A.y=tan x B.y=cs x C.y=-sin x D.y=sin xcs x 解析 y=tan x的周期为 ，故A错. y=cs x为偶函数，故B错. y=sin xcs x= sin 2x的周期为 ，故D错. y=-sin x的周期为2 ,是奇函数，由图象知 在 上是递减函数，故C正确.
5.（2009·四川文，4）已知函数f(x)=sin (x∈R)，下面结论错误的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2 B.函数f(x)在区间 上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 A正确; 由图象知y=-cs x关于直线x=0对称，C正确. y=-cs x是偶函数，D错误.
题型一 与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cs x);(2)y= 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cs x)>0. ∵-1≤cs x≤1,∴0
方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sin x≥cs x,即MN≥OM，
(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.
知能迁移1 求下列函数的定义域：
解 (1)要使函数有意义,必须有
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：
题型二 三角函数的单调性与周期性
（1）化为 再求单调区间;
(2)先化为 ,再求单调区间.
(1)求形如y=Asin( x+ )或y=Acs( x+ ) (其中A≠0, >0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ x+ ( >0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cs x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同（反）.（2）对于y=Atan( x+ ) (A、 、 为常数),其周期 单调区间利用解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函数y=f(v),v= (x)，其单调性判定方法是:若y=f(v)和v= (x)同为增（减）函数时，y=f( (x))为增函数；若y=f(v)和v= (x)一增一减时，y=f( (x))为减函数.
知能迁移2 求函数 的单调区间. 解 方法一
题型三 三角函数的对称性与奇偶性 已知f(x)=sin x+ cs x（x∈R），函数 y=f(x+ )的图象关于直线x=0对称，则 的值可以 是 （ ） 先求出f(x+ )的函数表达式. f(x+ )关于x=0对称，即f(x+ )为偶函数.
f(x)=Asin( x+ )若为偶函数,则当x=0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x)=Asin( x+ )为奇函数，则当x=0时，f(x)=0.如果求f(x)的对称轴,只需令 x+ = 求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x+ =k 即可.
知能迁移3 使奇函数f(x)=sin(2x+ )+ cs(2x+ ) 在 上为减函数的 的值为 ( ) 解析
题型四 三角函数的值域及最值 (12分)已知函数f(x)=2asin 的定义域为 函数的最大值为1,最小值为 -5,求a和b的值.
求出2x- 的范围
a>0时，利用最值求a、b
a<0时，利用最值求a、b
解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin（ x+ ）或y=Acs（ x+ ）的最值,再由方程的思想解决问题.知能迁移4 （2009·江西理，4）若函数f(x) =(1+ tan x)·cs x,0≤x< ,则f(x)的最大 值为（ ） A.1 B.2 C. D. 解析
方法与技巧1.利用函数的有界性(-1≤sin x≤1,-1≤cs x≤1), 求三角函数的值域（最值）.2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数 的正负号).4.正余弦函数的线性关系式都可以转化为f(x)= asin x+bcs x= 特别注意把
5.注意sin x+cs x与cs xsin x的联系,令t= sin x+cs x (- ≤t≤ )时,失误与防范1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基 础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论 参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 形如y=Asin（ x+ ）（ >0）的形式，再根 据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间. 应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考 虑.注意区分下列两题的单调增区间不同：
3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有 界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1), 则y=(t-2)2+1≥1,解法错误.
一、选择题1.（2009·福建理，1）函数f(x)=sin xcs x的最 小值是（ ） 解析 ∵f(x)=sin xcs x=
2.(2009·全国Ⅰ理,8)如果函数y=3cs(2x+ )的 图象关于点 中心对称,那么|φ|的最小值 为（ ） 解析 由y=3cs(2x+φ)的图象关于点
3.已知函数 在区间［0，t］上至少取得2次最 大值，则正整数t的最小值是 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析
4.已知在函数f(x)= 图象上,相邻的一个最大 值点与一个最小值点恰好在x2+y2=R2上,则f（x）的 最小正周期为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵x2+y2=R2，∴x∈［-R，R］. ∵函数f（x）的最小正周期为2R，
5.（2009·浙江理，8）已知a是实数,则函数 f(x)=1+asin ax的图象不可能是（ ）
解析 图A中函数的最大值小于2，故0
解析 ① 是奇函数；②③④
,
.
8.（2008·辽宁理，16）已知f(x)= 且f(x)在区间 上有最小值， 无最大值，则 . 解析 如图所示,
9.关于函数f（x）=4sin （x∈R）,有下列命 题： ①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是 的整数倍； ②y=f（x）的表达式可改写为 ③y=f（x）的图象关于点 对称； ④y=f（x）的图象关于直线 对称. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正 确的命题序号都填上） 解析 函数f（x）= 的最小正周 期T= ，由相邻两个零点的横坐标间的距离 是 知①错.
三、解答题10.设函数f(x)=sin(2x+φ)(- < <0)，y=f(x)图象 的一条对称轴是直线 (1)求φ； （2）求函数y=f(x)的单调增区间. 解
11.（2008·天津文，17）已知函数f(x)=2cs2ωx +2sin ωxcs ωx+1 (x∈R,ω>0)的最小正周期 是 . （1）求ω的值； （2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取 得最大值的x的集合. 解
12.设函数f(x)=cs ωx· ( sin ωx+cs ωx),其 中0<ω<2. （1）若f(x)的周期为 ,求当 f(x)的值域； （2）若函数f(x)的图象的一条对称轴为 求ω的值. 解
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